Soit X 1 , . . . , X n un n-´ echantillon de densit´ e :

TD4 de Statistique Inf´erentielle

Test de Neyman-Pearson et Applications Magist` ere d’´ economiste statisticien

1 Loi de Pareto

Soit X ₁ , . . . , X _n un n-´ echantillon de densit´ e :

f(x) = θx ⁻⁽¹⁺

⁾ 1 [1,+∞[ (x), (1)

o` u θ > 0 est un param` etre inconnu. On pose pour j = 1, . . . , n, Y j = log X j et Y n = _n ¹ P n j=1 Y j . 1) Montrer que Y ₁ est de carr´ e int´ egrable. Calculer l’esp´ erance et la variance de Y ₁ . En d´ eduire que Y _n converge, quand n tend vers l’infini, presque sˆ urement vers θ, et que

√ n(Y n − θ) converge en loi vers une loi que l’on pr´ ecisera.

2) Calculer la fonction log-vraisemblance associ´ ee aux observations X ₁ , . . . , X _n et l’estima- teur du maximum de vraisemblance ˆ θ _n . Cet estimateur est-il sans biais ? Quelle est sa variance ? Montrer qu’il converge presque sˆ urement vers θ.

3) Pour n grand, donner un intervalle de confiance de risque α (α ∈]0, 1[). Application num´ erique : α = 5%, n = 40, Q n

j=1 x _j = 1000, 5.

4) On veut tester H ₀ θ = 2 contre H ₁ θ = ⁵ ₂ . Montrer que la strat´ egie optimale consiste ` a d´ ecider H <sub>1</sub> si Y <sub>n</sub> > C <sub>n</sub> et H <sub>0</sub> sinon. On suppose que n = 50 et on fixe l’erreur de premi` ere esp` ece ` a 5%. Calculer :

– Une approximation de C n .

– Une approximation de l’erreur de seconde esp` ece.

2 Vraisemblance gaussienne

Soit X 1 , . . . , X n un n-´ echantillon de la loi N (θ, 1), θ ∈ R . On note Φ la fonction de r´ epartition de la loi normale centr´ ee r´ eduite. Soit α ∈]0, 1[ et t _α d´ efini par l’´ equation Φ(t _α ) = 1 − α.

a) Ecrire le test du rapport de vraisemblance au niveau α de “θ = 0” contre “θ > 0”.

Calculer la fonction de puissance de ce test.

b) D´ eterminer la zone de rejet du test du signe au niveau α de “θ = 0” contre “θ > 0”.

Exprimer sa fonction de puissance.

c) Trouver un ´ equivalent de la fonction de puissance du test du signe lorsque n tend vers l’infini et θ tend vers z´ ero. (Cet ´ equivalent s’exprime ` a l’aide de Φ, t _α , n et θ).

d) On pose α = 0, 05 et θ 1 = 0, 1.

α) Soit n = 100. Calculer la puissance du test de rapport de vraisemblance au point θ = θ ₁ .

β) En utilisant l’approximation ´ etablie au c), ´ evaluer le nombre minimum d’observations n´ ecessaires pour garantir une puissance identique ` a celle calcul´ ee en α) mais cette fois pour le test du signe (toujours au point θ = θ ₁ ). Qu’en pensez-vous ?

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3 Lois hyperg´ eom´ etriques

Pour N ∈ N ^∗ et n ≤ N fix´ es, on consid` ere Θ = {0, 1, . . . , N } et la famille des lois hy- perg´ eom´ etriques sur Ω = {0, 1, . . . n}, (P _θ ) θ∈Θ ,

P _θ (k) = θ

k

N − θ n − k

N

n

, max(0, n − (N − θ)) ≤ k ≤ min(n, θ).

On observe X de loi P _θ . Bˆ atir un test uniform´ ement le plus puissant de θ ≤ θ _o contre θ > θ _o .

4 Neyman-Pearson

Soient X une variable al´ eatoire r´ eelle de loi B(n, p) et ϕ un test de Neyman-Pearson ϕ = 1I _X>c + γ1I _X=c de p ≤ p _o contre p > p _o , de taille α.

a) Pour n = 6, p _o = 0, 25 et les niveaux α = 0, 05; 0, 1 0, 2, d´ eterminer c, γ et calculer la puissance du test contre p ₁ = 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7.

b) Soient α = 0, 05 et p _o = 0, 2. Si on d´ esire une puissance β ≤ 0, 9 contre p ₁ = 0, 4 , calculer le nombre n d’observations n´ ecessaires en utilisant tantˆ ot des tables de la loi binˆ omiale, tantˆ ot l’approximation gaussienne.

c) Utiliser l’approximation gaussienne pour calculer le nombre d’observations requises pour avoir β ≥ 0, 9 quand α = 0, 05, p _o = 0, 01 et p ₁ = 0, 02.

5 Rapports de vraisemblance monotones

Soit f une densit´ e strictement positive sur R . Montrer qu’une condition n´ ecessaire et suffi- sante pour que la famille {f(· − θ)} _{θ∈ R} soit ` a rapport de vraisemblance croissant est que log(f ) soit concave.

6 Lois uniformes

Soit X ₁ , . . . , X _n un n-´ echantillon de la loi uniforme sur [0, θ]. Montrer que

a) pour tester θ ≤ θ _o contre θ > θ _o au niveau α, tout test ϕ de niveau α tel que E _θ

ϕ(X) = α et ϕ(x) = 1 lorsque max(x ₁ , . . . , x _n ) est un test uniform´ ement le plus puissant ,

b) il existe un unique test uniform´ ement le plus puissant de θ = θ _o contre θ 6= θ _o au niveau α, donn´ e par ϕ(x) = 1 lorsque max(x ₁ , . . . , x _n ) > θ _o ou max(x ₁ , . . . , x _n ) ≤ θ _o α ^1/n et ϕ(x) = 0 sinon.

7 Exponentielles d´ ecentr´ ees

Soit X ₁ , . . . , X _n un n-´ echantillon de la loi de densit´ e x 7→ a exp(−a(x − b)) 1I (x≥b) .

a) On suppose que a est connu. En utilisant l’exercice pr´ ec´ edent, montrer qu’il existe un unique test uniform´ ement le plus puissant de b = b _o contre b 6= b _o .

b) Montrer qu’il existe un unique test uniform´ ement le plus puissant de a = a _o , b = b _o

contre a > a _o , b < b _o . Expliquer l’existence (inhabituelle pour un test ` a deux param` etres)

de ce test uniform´ ement le plus puissant .