b) Montrer que ∞ X n=1 (−1)n−1 n xn = ln(1 +x) pour |x|<1

Universit´e d’Orl´eans 28 F´evrier 2017 D´epartement de Math´ematiques

L4MT12

Feuille TD n^◦5 : suites et s´eries de fonctions

1-. On d´efinit la fonction f_n(x) = x

x+n sur R₊. a) Montrer que fn converge simplement vers 0 sur R+.

b) Montrer que f_n ne converge pas uniform´ement vers 0 sur R₊.

2-. On consid`ere la s´erie enti`ere

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n xⁿ. a) D´eterminer son rayon de convergence.

b) Montrer que

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n xⁿ = ln(1 +x) pour |x|<1.

c) Montrer que

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = ln(2) (c’est plus difficile).

3-. On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre

(∗) y+y⁰⁰ = 0

a) On cherche une solution de la formey=P∞

n=0anxⁿ. En supposant qu’une telle solution existe, donner une relation de recurrence d’ordre 2 satisfaite par la suite (an).

b) Donner la solution g´en´erale (an) de la relation de r´ecurrence.

c) Calculer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P a_nxⁿ. d) Montrer que la somme y = P∞

n=0a_nxⁿ de cette s´erie enti`ere est solution de l’´equation diff´erentielle (∗).