un groupe,montrer que : ∀x, y ∈E,(x∗y)−1 =y−1∗x−1 (x∗y)∗(y−1∗x−1) =e⇒(x∗y)−1 =y−1∗x−1 1pt On d´efinit l’application ϕpar : ϕ: (G

D´epartement de math´ematiques

Module Alg`ebre 1 AU :2016/2017

dur´ee : 1 heure 30

Corrig´e du devoir surveill´e num´ero 1

Exercice 1 (6 pts). Soient E un ensemble non vide et A, B ∈ P(E) et f :E →F une application.

Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses : Vrai Faux

1. P(A∪B) =P(A)∪P(B) x

2. f surjective ⇒f _A surjective x

3. Card(A∪B) = Card(A) +Card(B) x

Exercice 2 (4 pts). Soit (G,∗) un groupe,montrer que :

∀x, y ∈E,(x∗y)⁻¹ =y⁻¹∗x⁻¹

(x∗y)∗(y⁻¹∗x⁻¹) =e⇒(x∗y)⁻¹ =y⁻¹∗x⁻¹ 1pt

On d´efinit l’application ϕpar :

ϕ: (G,∗) → (G,∗)

x → ϕ(x) = x⁻¹ avecx⁻¹ sym´etrique de x Prouver que : [ϕmorphisme de groupe] ⇔[Gab´elien]

⇒ :Soient x, y ∈G

ϕ(x⁻¹∗y⁻¹) =ϕ(x⁻¹)∗ϕ(y⁻¹)⇒(x⁻¹∗y⁻¹)⁻¹ = (x⁻¹)⁻¹∗(y⁻¹)⁻¹ 2pts

⇒y∗x=x∗y

⇐ :Soient x, y ∈G

ϕ(x∗y) = (x∗y)⁻¹ =y⁻¹ ∗x⁻¹ =x⁻¹∗y⁻¹ =ϕ(x)∗ϕ(y) 1pt

1

Exercice 3 (5 pts). Soit E un ensemble non vide et soient A, B ∈ P(E) non vides f_A:P(E) → P(E)

X 7→ X∪A

1. A quelle condition l’´equationX∪A =B admet elle au moins une solution dans P(E)

A⊂(X∪A) donc,X∪A=B ⇒A⊂B 1pt

2. R´esoudre l’´equation X∪A =B

x∈C_B^A ⇒x∈B ⇒x∈X∪A ⇒(x∈X) ou (x∈A)⇒x∈X car C_B^A∩A=∅ Donc,C_B^A⊂X ⇒X =C_B^A∪C avec C_B^A∩C =∅

En rempla¸cant dans l’´equation, on obtientX∪A=B ⇒(C_B^A∪C)∪A=B ⇒C∪B =B ⇒ C ⊂B mais C_B^A∩C=∅ d’o`u C ⊂A

Ainsi, la solution de l’´equation est X =C_B^A∪C avecC ∈P(A) 2pts

3. En d´eduire que l’application fA n’est pas injective

PrenonsX₁ =C_B^A∪A=B etX₂ =C_B^A∪ ∅=C_B^A, on aura

f_A(X₁) = f_A(X₂) =B doncf_A n’est pas injective. 2pts Exercice 4 (5 pts). Soit A,B deux parties deR de cardinal infini.

f :A → B

x 7→ x²−2x+ 3

2

1. D´eterminer A, B pour que f soit une application bijective.

Pour quef soit une application, il suffit de prendre A=B =R 1pt Injectivit´e

Soient x1, x2 ∈A tels que : f(x1) =f(x2)⇒x²₁−2x1+ 3 = x²₂ −2x2+ 3

⇒(x²₁ −x²₂)−2(x₁−x₂) = 0⇒(x₁−x₂)[(x₁ +x₂)−2] = 0

On doit choisirA tel que ∀x₁, x₂ ∈A, x₁+x₂ 6= 2 0.5pt

Par exemple, on prend A= [1,+∞[ 0.5pt

Surjectivit´e

y=x²−2x+ 3 =x²−2x+ 1 + 2 = (x−1)²+ 2

x≥1⇒(x−1)² ≥0⇒(x−1)²+ 2≥2⇒y≥2 0.5pt

On prend B = [2,+∞[ 0.5pt

2. D´eterminer dans ce cas l’application r´eciproque f⁻¹

y=x²−2x+ 3 =x²−2x+ 1 + 2 = (x−1)²+ 2⇒y−2 = (x−1)²

⇒√

y−2 =x−1⇒√

y−2 + 1 =x 1pt

f⁻¹ : [2,+∞[ → [1,+∞[

x 7→ √

x−2 + 1 1pt

3