Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no11 Corps finis
Exercice 1 – Parmi ces anneaux, quels sont ceux qui sont des corps ? F2[X]
(X3+X2+X+ 1), F2[X]
(X4+X3+X2+X+ 1),
F3[X]
(X2 +X+ 2), F3[X]
(X4+X2+X+ 1)
Exercice 2 – Dresser les tables d’addition et de multiplication deF8. On décrira les éléments du corps à la fois comme combinaisons linéaires des éléments d’une base(1, α, α2)et comme puissances d’un élément primitif (générateur deF×8) s’ils sont non nuls.
Exercice 3 – Définir un isomorphisme entre K = F2[X]/(X3 +X+ 1) et L = F2[X]/(X3+X2+ 1).
Exercice 4 – Soient p un nombre premier et n un entier > 1. Soient P(X) un polynôme irréductible de Fp[X] de degré n et K le corps Fp[X]/(P(X)). Enfin soient α un élément primitif de K (générateur de K×) et ϕ un automorphisme de corps de K.
1) Montrer que ϕ(x) = xpour tout x∈Fp.
2)Montrer queϕest aussi un automorphisme d’espace vectoriel deK (vu comme Fp-espace vectoriel) et que ϕinduit un automorphisme de groupe sur K×. 3) Montrer qu’il existe un entier 1 6 s 6 pn −1 tel que ϕ(z) = zs pour tout z ∈K.
4) Montrer que pour tout polynômeQ(X)∈Fp[X],Q(X)p =Q(Xp).
5) Soit R(X) le polynôme minimal de α sur Fp. Montrer quedegR(X) = n.
6)Déduire des deux questions précédentes que R(X)est scindé à racines simples dans K[X], de racines les αpi pour 06i6n−1.
7) Déterminer les automorphisme de corps de K.
Exercice 5 – Soit K un corps fini.
1) Montrer que pour tout x ∈ K, il existe un polynôme P(X) ∈ K[X] tel que P(x) = 1 etP(y) = 0 pour tout y∈K\ {x}.
2) En déduire que toute fonction f de K dans K est polynomiale (il existe P(X)∈K[X]tel que pour tout x∈K, f(x) = P(x)).
3) Soit n un entier > 1. Montrer que toute fonction f de Kn dans K est po- lynomiale (il existe P(X1, X2, . . . , Xn) ∈ K[X1, X2, . . . , Xn] tel que pour tout (x1, x2, . . . , xn)∈Kn, f(x1, x2, . . . , xn) = P(x1, x2, . . . , xn)).
Exercice 6 – Un corps K est dit parfait si tout polynôme irréductible de K[X]
est à racines simples dans une clôture algébrique de K. La première question de l’exercice 7 de la feuille 10 montre qu’un corps de caractéristique nulle est parfait.
1) Soient K un corps fini de caractéristique p et P(X) = anXn+an−1Xn−1 +
· · ·+a0 un polynôme irréductible deK[X] oùan6= 0.
a) Montrer que si P(X)a une racine double dans une clôture algébrique de K, alors P0(X) = 0.
b) Sous cette hypothèse, montrer que p divise n et que P(X) =
n/p
X
k=0
akpXkp.
En déduire qu’il existe un polynôme Q(X)∈K[X] tel que P(X) = Q(X)p. 2) Un corps fini est-il parfait ?
3)Soitpun nombre premier et soitK =Fp(X). On poseP(T) =Tp−X ∈K[T].
a) Montrer que si t est une racine de P(T) dans une clôture algébrique de K notée L, alors P(T) = (T −t)p dans L[T].
b) Montrer queP(T)est irréductible sur K.
c) Le corps K est-il parfait ?
Exercice 7 – Soit K un corps fini de caractéristiquep. Soientα∈K etP(X) = Xp −X −α ∈ K[X]. On se propose de montrer que soit P(X) est irréductible dans K[X], soit il est scindé à racines simples dans K. Soit R(X) un polynôme unitaire irréductible de K[X]divisant P(X) dans K[X].
1) Montrer queP(X+ 1) = P(X)et en déduire que R(X−i)divise P(X)pour 06i6p−1.
2) Que dire si tous lesR(X−i)(06i6p−1) sont distincts ?
3) On suppose dorénavant qu’il existe 0 6 i < j 6 p−1 tels que R(X −i) = R(X−j). Montrer queR(X+ 1) =R(X).
4) Montrer que pour 0 < i < p, i! ∈ K×. On pose alors R0(X) = 1 et Ri(X) = i!−1X(X−1)· · ·(X−i+ 1) pour 0< i < p.
5) Montrer que Ri+1(X+ 1) =Ri+1(X) +Ri(X) pour 06i6p−2.
6)Montrer que(R0(X), R1(X), . . . , Rp−1(X))est une base duK-espace vectoriel des polynômes de K[X] de degré < p.
7) Montrer que degR(X)< p est impossible et conclure.