Montrer que ϕ Z X f(x)dµ(x

UFR de Math´ematiques Master 1 Mention Math´ematiques Universit´e Lille 1 Analyse 2018/2019

M402, Analyse : Feuille No. ? ? ? ?

Exercice 1 Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. On suppose que µ est une mesure positive telle que µ(X) = 1. Soit f ∈ L¹(µ) une fonction `a valeurs r´eelles telles que pour tout x ∈X, on a a < f(x) < b. Soit φ une fonction convexe sur ]a, b[. Montrer que

ϕ Z

X

f(x)dµ(x)

≤ Z

X

ϕ(f(x))dµ(x).

Cette in´egalit´e s’appelle l’in´egalit´e de Jensen. En d´eduire que, pour tous nombres r´eels positifsy1, y2, . . . , yn, on a

n

Y

i=1

y_i

!1/n

≤ 1 n

n

X

i=1

y_i.

Exercice 2 Soit f ∈L¹(µ) et pour n∈N, posons

gn(t) =

(|f(t)| si |f(t)| ≤n n si |f(t)|> n.

(a) Montrer que la suite (gn)nest croissante et converge ponctuellement vers |f|.

(b) Montrer que pour tout ε >, il existe δ >0 tel que A∈ A, µ(A)< δ=⇒

Z

A

|f(x)|dµ(x)< ε.

Exercice 3 Soit 1< p <∞. Le but de l’exercice est l’´etude de l’application lin´eaire T d´efinie par

T f(x) = 1 x

Z x

0

f(t)dt, x >0, f ∈L^p(]0,+∞[).

(a) Supposons dans cette question que f ∈ Cc(]0,+∞[) et est positive.

NotonsF(x) =T f(x). Montrer que (i) limx→0xF^p(x) = 0 ;

(ii) limx→+∞xF^p(x) = 0 ; (iii) F(x) +xF⁰(x) =f(x).

(b) Montrer l’in´egalit´e de Hardy : pour toute fonction f ∈L^p(]0,+∞[), on a

kT fk_p ≤ p

p−1kfk_p. 1

(c) Montrer qu’il y a ´egalit´e dans (b) si et seulement sif = 0 p.p.

(d) D´emontrer que dans (b),p/(p−1) est la meilleure constante.

(e) Montrer que si f >0 et f ∈L¹, alorsT(f)∈/ L¹. Exercice 4 Calculer f∗g pour les fonctions suivantes :

(a) f =χ_[−1,1] etg=χ_[−a,a], avec a≤1.

(b) f(x) = exp(αx)χ_[0,+∞[(x) et g(x) = exp(βx)χ_[0,+∞[(x), avec α, β deux r´eels.

Exercice 5 Soit α >0. Pourx∈R, posons

Gα(x) = 1

√

2παexp

−x² 2α

.

(a) Montrer que Z +∞

−∞

G_α(x)dx= 1,

Z +∞

−∞

xG_α(x)dx= 0,

Z +∞

−∞

x²G_α(x)dx=α.

(b) Montrer que pour tout α, β >0, on a G_α∗G_β =G_α+β. Exercice 6 Pour n≥1, on d´efinit φn:R−→Cpar

φ_n(t) = ( 1

αn(1−t²)ⁿ si |t| ≤1 0 si |t|>1, o`u αn=R₁

−1(1−t²)ⁿdt.

(a) Montrer que la suite (φn)n est une approximation de l’identit´e.

(b) Soit f ∈ C(R) v´erifiant f(x) = 0 si x /∈ I, o`u I = [−1/2,1/2].

Montrer queφ_n∗f est un polynˆome surI.

(c) En d´eduire le th´eor`eme de Weierstrass : toute fonction continue sur un compact de Rest limite uniforme d’une suite de polynˆomes.

Exercice 7 On consid`ere une barre m´etallique (de longueur infinie !). On noteu(x, t) la temp´erature de la barre au point d’abcissex `a l’instantt. La chaleur se propageant librement, la temp´erature u(x, t) satisfait l’´equation de la chaleur

1 2

∂²u

∂x² = ∂u

∂t.

On suppose par ailleurs que l’on connait la temp´erature de la barre en chaque point `a l’instant t= 0 : autrement dit, on a

u(x,0) =f(x),

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o`uf :R−→Rest une fonction connue. On se propose de trouver la fonction u(o`u plutˆot une fonctionupossible puisqu’on ne va pas montrer de r´esultat d’unicit´e). Pour ce faire, on pose

φ1(x) = 1

√ 2πexp

−x² 2

et φt(x) = 1

√tφ1

x

√t

, t >0.

(a) Montrer que la famille (φ_t)_t>0 forme une approximation de l’unit´e lorsquet→0⁺.

(b) Montrer queφ(x, t) =φt(x) satisfait l’´equation de la chaleur.

(c) On suppose f continue et born´ee. Montrer que la fonction u d´efinie par

u(x, t) = (f∗φ_t)(x), x∈R, t >0,

v´erifie l’´equation de la chaleur et que, pour tout x∈R, on a limt→0u(x, t) =f(x), x∈R.

Indication : on montrera que ^∂u_∂t =f ∗^∂φ_∂t.

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