On considère la nouvelle fonction u(x, y, z) =xfy x,z x

Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique

Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)

Durée 2 heures

Documents et matériels électroniques intérdits

Examen du 10 janvier 2014

Le barème est donné à titre indicatif

Exercice 1 (2+2+2)

1. Soitf :R² →Rune fonction de classe C¹,f =f(u, v). On considère la nouvelle fonction u(x, y, z) =xfy

x,z x

.

Montrer que

x∂u

∂x +y∂u

∂y +z∂u

∂z =u.

2. Calculer ∂g

∂y et ∂²g

∂x∂y pourg(x, y) = Z y

x

sin(x²+y²−t²)dt.

3. Soitu:R² →R une fonction de classe C¹, u=u(x, y). On suppose que u(t², t³) = t² et ∂u

∂x(t², t³) = 2t pour tout t∈R. Calculer la valeur numérique de ∂u

∂y (1,1). Exercice 2 (3+1+2)

On considère les trois points A(0,1), B(1,0), C(2,2) et on note ~γ le bord du triangle ABC parcouru dans le sens anti-horaire.

1. CalculerI = I

~γ

x²dy−y²dx.

2. En déduire la circulation du champ de vecteursF~(x, y) = (y²,−x²)le long de~γ. 3. On note

J = Z Z

Ω

(x+y)dx dy

oùΩ est le domaine entouré par~γ. Trouver un lien entre I et J à l'aide de la formule de Green-Riemann et en déduire la valeur de J.

Exercice 3 (2+1,5+1,5+2) On considère la surface S =

(x, y, z) : z =p

x²+y², x²+y² ≤1 ⊂R³

orientée par la normale pointant vers le haut.

1. Trouver un paramétrage de S compatible avec l'orientation et donner l'expression de l'élément d'aireds.

2. Calculer l'aire deS. 3. CalculerZ Z

S

z²ds.

4. Calculer le ux du champ de vecteur F~(x, y, z) = (x, y, z) à travers S.

Exercice 4 (1+1+2+1) On considère le domaine Ω =

(x, y) : x² ≤y ≤x ⊂R². 1. Dessiner ce domaine et représenter Ω =

(x, y) : a ≤ x ≤ b, c(x) ≤ y ≤ d(x) où a, b, c, d sont des constantes/fonctions à déterminer.

2. Calculer l'aire deΩ. 3. CalculerI₁ =

Z Z

Ω

x dx dy etI₂ = Z Z

Ω

y dx dy.

4. En déduire les coordonnées du centre de masse deΩen supposant que la masse surfacique est égale à 1.

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