TS La fonctionx7−→
Z x a
f(t)dt 2011-2012
Soitf une fonction continue sur un intervalleI etaun nombre deI.
La fonction F :x7−→
Z x a
f(t)dt est une primitive def surI.
C’est l’unique primitive def qui s’annule ena.
1. Application directe : On considère la fonctionF définie surRparF(x) = Z x
1
et2−1dt.
• f :t7−→et2−1est continue surRdoncF est l’unique primitive def qui s’annule en 1.
Ainsi, pour toutxdeR,F′(x) =f(x) = ex2−1.
• De plus, pour toutxdeR, ex2−1>0⇔F′(x)>0⇒F strictement croissante sur R.
• x∈]1; +∞[, F(x) >0 car c’est l’intégrale d’une fonction continue, strictement positive sur [1;x] avec 1< x (positivité de l’intégrale).
Pourx∈]− ∞; 1[,F(x) = Z x
1
et2−1dt=− Z 1
x
et2−1dt= Z 1
x
−et2−1dt. Comme−f(t)<0 sur [x; 1],F(x)<0 sur ]− ∞; 1[.
• Soitx >1. Pour tout t ∈[1;x], t2−1 >0 ⇔et2−1 >1. En utilisant la propriété de conservation de l’ordre sur [1;x], on obtient : Z x
1
et2−1dt >
Z x
1
1dt⇔F(x)>[t]x1 ⇔F(x)> x−1 Or lim
x→+∞x−1 = +∞, en appliquant le théorème de comparaison,F(x)> x−1 =⇒ lim
x→+∞F(x) = +∞ On peut réaliser un tableau de variations (incomplet) :
x Signe deF′(x) = f(x)
Variations deF
−∞ +∞
+
+∞ +∞ 1
0
2. Points délicats : Attention à la définition de la fonction par une intégrale.
• Si par exemple, pour tout x∈R,G(x) = Z 2
1
et2−1dt. La quantité Z 2
1
et2−1dtne dépend pas de xdoncG(x) est une fonction constante surRet par conséquent :
G′(x) = 0 pour toutx∈R
• Si par exemple, pour toutx∈R,H(x) = Z 2x
1
et2−1dt. Il se dissimule derrière cette définition, la composée de deux fonctions :
On poseu:x7−→2x, on a pour toutx∈R,H(x) =F[u(x)] c’est à direH =Fou.
Or siH=Foualorsuet F étant dérivables surR, on a :
H′= (F′ou)×u′ avecu′:x7−→2 etF′:x7−→f(x) = ex2−1 On obtient donc, pour toutxréel,H′(x) =f(2x)×2 = 2e(2x)2−1= 2e4x2−1.
• Si par exemple, pour toutx∈R,K(x) = Z 2x
x
et2−1dt alors on écrit : K(x) =
Z 2x x
et2−1dt= Z 1
x
et2−1dt+ Z 2x
1
et2−1dt= Z 2x
1
et2−1dt− Z x
1
et2−1dt=H(x)−F(x) Par conséquent, pour tout xréel,K′(x) =H′(x)−F′(x) = 2e4x2−1−ex2−1
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