Exercice 1 (´ Etude de la fonction x 7→ x

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚3

Dur´ee : 4 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.

En particulier, les r´esultats non justifi´es ne seront pas pris en compte.

Vous ˆetes invit´es `a encadrer les r´esultats de vos calculs et `a laisser une marge substantielle `a droite.

Questions de cours

1. ´Enoncer le th´eor`eme de la bijection.

2. ´Enoncer le th´eor`eme sur la d´erivabilit´e et la d´eriv´ee d’une bijection r´eciproque.

Exercice 1 (´ Etude de la fonction x 7→ x

)

Soit f la fonction d´efinie par :

f: x7→x^x.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition D_f de la fonction f.

2. Justifier que la fonction f est d´erivable sur D_f. Qu’en d´eduire quant `a sa continuit´e ? 3. ´Etudier les variations de f.

4. En d´eduire que f admet un minimum, atteint en un unique point que l’on pr´ecisera.

5. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de D_f.

6. Tracer l’allure de la repr´esentation graphique de f dans un rep`ere du plan.

Exercice 2 (R´ esolution d’une ´ equation fonctionnelle)

On se propose de d´eterminer toutes les fonctions f:R→R telles que : (A) f n’est pas la fonction nulle ;

(B) f est d´erivable sur R;

(C) pour tout (x, y)∈R²,f(x+y) =f(x)f(y).

1. Soita une constante r´eelle et soit f la fonction d´efinie par : f:R→R; x7→e^ax. Montrer que f v´erifie les conditions (A), (B) et (C).

2. Soitf:R→R une fonction v´erifiant les conditions (A), (B) et (C).

(a) Ici, x d´esigne un nombre r´eel fix´e. On introduit la fonction f_x d´efinie par : f_x: R→R; y7→f_x(y) =f(x+y).

i. Justifier que f_x est d´erivable sur R.

ii. Soit y∈R. Calculer f_x^′(y) de deux mani`eres.

iii. En d´eduire que f^′(x) =f^′(0)f(x).

(b) Prouver qu’il existe deux constantes r´eelles a etK telles que : f: R→R; x7→Ke^ax.

(c) Montrer que : f(0) = 0 ou f(0) = 1.

(d) En d´eduire que :

f: R→R; x7→e^ax. 3. Conclure.

Exercice 3 (R´ esolution d’un probl` eme de Cauchy)

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) : y^′′+ 6y^′−7y= 8e^x.

d’inconnue une fonction y:R→R (ici le corps des coefficients est K=R).

2. D´eterminer l’unique solution y de (E) telle que :

y(0) = 1 et y^′(0) = 0.

Probl` eme 1 (Fonction argument cosinus hyperbolique)

I − Une formule de trigonom´etrie hyperbolique

On rappelle que les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont d´efinies par : ch : R→R; x7→ e^x+e^−x

2 et sh :R→R; x7→ e^x−e^−x

2 .

1. Soit x ∈ R. ´Enoncer et d´emontrer la formule de trigonom´etrie hyperbolique du cours liant ch²(x) et sh²(x).

II − Etude du signe de la fonction sh´ 2. R´esoudre l’in´equation

sh(x)>0 d’inconnue x∈R.

3. R´esoudre l’´equation

sh(x) = 0 d’inconnue x∈R.

4. En d´eduire le tableau de signes de la fonction sh.

III − Etude de la fonction ch´

5. ´Etudier la parit´e ´eventuelle de ch.

6. ´Etudier les limites ´eventuelles de ch aux bornes de son ensemble de d´efinition.

7. ´Etudier les variations de la fonction ch surR.

8. Donner l’allure de la repr´esentation graphique de ch dans un rep`ere du plan.

IV − Construction de la fonction argch Soit f la fonction d´efinie par :

f: R⁺ →R; x7→ch(x).

9. D´emontrer que la fonction f r´ealise une bijection de R⁺ sur un intervalle J que l’on pr´ecisera.

Dans la suite, on notera

fe: R⁺→J ; x7→f(x) = ch(x)

la bijection induite par f. La bijection r´eciproque de fe, not´ee traditionnellement fe⁻¹, est ap- pel´ee argument cosinus hyperbolique et est not´ee argch.

11. Pr´eciser l’ensemble de d´epart D_argch et l’ensemble d’arriv´ee de argch.

12. Soit x ∈ R et soit y ∈ D_argch. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que x= argch(y).

13. Calculer argch(1).

V − Etude de la fonction argch´

14. Que dire de la continuit´e et des variations de la fonction argch ? 15. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e D^′

argch de argch.

16. Soit y∈ D^′

argch. Calculer argch^′(y).

VI − Expression logarithmique de argch

17. Donner deux d´emonstrations du r´esultat suivant.

Pour tout y∈ D_argch, argch(y) = ln y+p

y²−1 .

VII − Comportement asymptotique de argch en +∞ 18. ´Etudier la limite ´eventuelle de argch en +∞.

VIII − Une primitive de argch sur son domaine de d´efinition 19. D´eterminer une primitive de argch sur D^′

argch.

Probl` eme 2 (Simplification d’une expression mettant en jeu arcsinus et arctangente)

I − Etude de la fonction´ x7→arcsin(2x−1) Soit f la fonction d´efinie par :

f: x7→arcsin(2x−1).

1. D´eterminer le domaine de d´efinition D_f de la fonction f.

2. Justifier que f est d´erivable sur D_f priv´e de ses bornes.

3. Soit xun r´eel appartenant `a D_f priv´e de ses bornes. Calculer f^′(x).

II − Etude de la fonction´ x7→ 1−x x Soit g₁ la fonction d´efinie par :

g₁: x7→ 1−x x .

4. D´eterminer le domaine de d´efinition D_g

1 deg₁. 5. Dresser le tableau de signes de la fonction g₁. 6. Justifier que g₁ est d´erivable sur D_g

1. 7. Soit x∈ D_g

1. Calculer g₁^′(x).

8. ´Etudier les variations de g₁ sur D_g

1. III − Etude de la fonction´ x7→arctan

r1−x x

!

Soit g la fonction d´efinie par :

g:x7→arctan

r1−x x

! . 9. D´eterminer le domaine de d´efinition D_g deg.

10. Justifier que g est d´erivable sur ]0,1[.

11. Soit x∈]0,1[. Calculer g^′(x).

IV − Simplification de 2 arctan

r1−x x

!

+ arcsin(2x−1) o`u cela a un sens Soit h la fonction d´efinie par :

h: x7→2 arctan

r1−x x

!

+ arcsin(2x−1).

12. D´eterminer le domaine de d´efinition D_h deh.

13. D´emontrer que pour tout x∈ D_h : 2 arctan

r1−x x

!

+ arcsin(2x−1) = π 2.

Probl` eme 3 (Courbes int´ egrales d’une ´ equation diff´ erentielle)

I − R´esolution de l’´equation diff´erentielle

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) (1 +x²)y^′+ 2xy = 1 x

d’inconnue y une fonction d´efinie sur ]0,+∞[ (le corps des coefficients est K=R).

II − Propri´et´e de non-intersection des courbes int´egrales Le plan est rapport´e `a un rep`ere (O;−→

i ,−→

j ). Pour tout K ∈R, on d´efinit la fonction f_K par : f_K : ]0,+∞[→R; x7→ ln(x) +K

1 +x² et on note C_K sa courbe repr´esentative dans (O;−→

i ,−→ j ).

2. Soit (α, β)∈R^+∗×R. Soit M le point de coordonn´ees (α, β). Montrer que par M passe une et une seule courbe C_K (K ∈R).

III − Etude d’une fonction auxiliaire´

Soit K un r´eel fix´e. Soit gK la fonction d´efinie par :

g_K : ]0,+∞[→R; x7→1 +x²−2x²(ln(x) +K).

3. Justifier que g_K est d´erivable sur ]0,+∞[.

4. Soit x∈]0,+∞[. Calculer g_K^′ (x).

5. R´esoudre l’in´equation

g_K^′ (x)>0 d’inconnue x∈]0,+∞[.

6. R´esoudre l’´equation

g_K^′ (x) = 0 d’inconnue x∈]0,+∞[.

7. Dresser le tableau de variations de gK. 8. D´emontrer que l’´equation

g_K(x) = 0

admet une unique solution sur ]0,+∞[ ; cette solution sera not´ee m_K. 9. Dresser le tableau de signes de g_K.

IV − Etude des fonctions´ f_K

Soit K un r´eel fix´e.

10. Justifier que f_K est d´erivable sur ]0,+∞[.

11. Soit x∈]0,+∞[. Montrer que f_K^′ (x) a mˆeme signe que gK(x).

12. Dresser le tableau de variations de f_K. 13. Calculer f_K(1) et f_K(e^−K).

14. ´Etudier les limites ´eventuelles defK en 0⁺ et en +∞. 15. Montrer que f(m_K) = 1

2m²_K.

V − Trac´e de l’allure de trois courbes int´egrales 16. Montrer que m₁ = 1.

17. Repr´esenter sur un mˆeme graphique les allures des courbes C

−1, C₀ etC₁.