Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Deuxi` eme ´ epreuve de math´ ematiques du concours blanc
Dur´ee : 4 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
La pr´esentation, la lisibilit´e, la qualit´e de la r´edaction et la pr´ecision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
En particulier, les r´esultats non justifi´es ne seront pas pris en compte.
Les candidats sont invit´es `a encadrer les r´esultats de leurs calculs.
Les trois probl`emes sont ind´ependants
Probl` eme 1 : Inversions du plan
1On se place dans le plan P usuel, muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j). On note−→u .−→v le produit scalaire usuel entre deux vecteurs−→u et −→v du planP. Soit Ω un point du plan et soitRun r´eel strictement positif.
Partie A : D´ efinition et ´ etude de l’inversion φ
1. ´Etant donn´e un point M du plan usuel P combien existe-t-il de points M′ v´erifiant les deux conditions suivantes ?
(A) les points Ω,M etM′ sont align´es ; (B) −−→
ΩM .−−→
ΩM′=R2. 2. On consid`ere l’applicationφd´efinie par :
φ:P \ {Ω} → P \ {Ω}
M 7→ le pointM′ du planP tel que
( (A) les points Ω,M et M′ sont align´es ; (B) −−→
ΩM .−−→
ΩM′=R2. (a) Montrer queφest une involution deP \ {Ω}, i.e. :
φ◦φ=idP\{Ω}.
(b) En d´eduire queφest bijective et d´eterminer sa bijection r´eciproque.
Partie B : Images par φ de quelques ensembles remarquables du plan
1. Quelle est l’image parφdu cercle de centre Ω et de rayonR? 2. Quelle est l’image parφdu cercle de centre Ω et de rayonr6=R?
1. D’apr`es le sujet B du sujet du concours PT 2009
1
3. Quelle est l’image parφd’une droite passant par Ω, priv´ee de Ω ?
Partie C : Expression complexe de φ
SoitM un point du plan, distinct de Ω. On notez l’affixe deM,zΩl’affixe de Ω etz′ l’affixe deM′, image de M parφ.
1. D´eterminer, en fonction deR, Ω et M, le r´eelλtel que :
−−→ΩM′=λ−−→
ΩM . 2. V´erifier que :
z′=zΩ+ R2 z−zΩ
.
Partie D : Images par φ d’autres ensembles remarquables du plan
On suppose d´esormais quezΩ= 1 et que R= 1.
1. D´eterminer le module et un argument du pointM(θ) d’affixe z=1
2 1 +eiθ o`uθ∈R.
2. D´eterminer l’ensembleAdes r´eelsθ tels queM(θ)6= Ω.
3. Pourθ∈A, d´eterminer l’image parφdu pointM(θ) (on pr´ecisera le module et un argument de son affixe).
4. D´eterminer l’image parφdu cercle de diam`etre [OΩ], priv´e de Ω.
5. D´eterminer l’image parφde l’axe des ordonn´ees.
Probl` eme 2 : Matrices 2 × 2 ` a coefficients r´ eels
Une matrice 2×2 `a coefficients r´eels est un tableau de quatre nombres r´eels, `a deux lignes et deux colonnes.
Par exemple
1 −4
8 3
est une matrice 2×2 `a coefficients r´eels. Une matrice 2×2 `a coefficients r´eels se repr´esente≪g´en´eriquement≫
par :
a b c d
o`u (a, b, c, d)∈R4. L’ensemble de toutes les matrices 2×2 `a coefficients r´eels se noteM2(R). On a donc : M2(R) =
a b c d
: (a, b, c, d)∈R4
.
On d´efinit sur M2(R) une loi de composition interne, not´ee ×, comme suit. Pour tout A1 =
a1 b1
c1 d1
∈ M2(R) etA2=
a2 b2
c2 d2
∈ M2(R), on pose : A1×A2=
a1a2+b1c2 a1b2+b1d2
c1a2+d1c2 c1b2+d1d2
∈ M2(R).
2
Partie A : Propri´ et´ es de la loi de composition interne × sur M
2( R )
1. On poseA1=
−1 2 3 −4
∈ M2(R) et A2=
5 1 1 0
∈ M2(R).
(a) V´erifier que :
A1×A2=
−3 −1
11 3
en d´etaillant le calcul.
(b) CalculerA2×A1.
(c) Que peut-on d´eduire des deux calculs pr´ec´edents quant `a la loi×surM2(R) ? 2. Montrer que la loi×surM2(R) est associative.
3. Montrer queI2=
1 0 0 1
∈ M2(R) est le neutre pour la loi×surM2(R).
Partie B : ´ Etude de l’inversibilit´ e d’un ´ el´ ement de M
2( R )
1. (a) CalculerB×
0 0 0 0
et
0 0 0 0
×B, pour toutB∈ M2(R).
(b) En d´eduire que
0 0 0 0
∈ M2(R) n’est pas inversible pour la loi×.
2. SoitA=
a b c d
∈ M2(R). On associe `aA:
• le nombre r´eel det(A) =ad−bc, appel´e le d´eterminant deA;
• la matriceAedeM2(R) d´efinie par :
Ae=
d −b
−c a
.
(a) CalculerA×AeetAe×A.
(b) Dans cette question seulement, on suppose que det(A)6= 0. Montrer queA est inversible pour la loi
×et exprimerA−1en fonction de a, b, c, d.
(c) Dans cette question seulement, on suppose que det(A) = 0. Montrer queAn’est pas inversible pour la loi ×.
3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede un crit`ere d’inversibilit´e pour une matrice AdeM2(R).
Partie C : L’inversibilit´ e ` a droite implique l’inversibilit´ e dans M
2( R )
1. Soit (A1, A2)∈ M2(R)2. Montrer que :
det(A1×A2) = det(A1) det(A2).
2. Calculer det(I2).
3. SoitA∈ M2(R). On suppose queA est inversible pour la loi×`a droite, i.e. qu’il existeB ∈ M2(R) telle que :
AB=I2. Montrer qu’alorsAest inversible pour la loi×et queA−1=B.
3
Partie D : Calcul des puissances d’une matrice
SoitA=
7 −16
3 −7
∈ M2(R). Pour toutn∈N∗, on pose : An=A×A× · · · ×A
| {z }
nfois
.
1. CalculerA2, puis donner les valeurs deA3,A4 etA5, sans effectuer de calcul suppl´ementaire.
2. Conjecturer la valeur deAn, pour toutn∈N∗.
3. D´emontrer la conjecture faite `a la question pr´ec´edente.
Probl` eme 3 : Deux sous-espaces de R
3suppl´ ementaires
Soitu= (1,1,1)∈R3et soitua= (2, a,2)∈R3, o`ua∈R. On pose :
F = Vect(u, ua) et G={(x1, x2, x3)∈R3 : x1−2x2+ 3x3= 0}.
Partie A : Nature de F et G
1. Justifier queF et Gsont deux sous-espaces vectoriels deR3. 2. Donner deux vecteursv1 etv2 deR3tels que :
G= Vect(v1, v2).
Partie B : CNS sur a pour que F et G soient en somme directe
1. Soitwa= (a−2,2a−4, a−2)∈R3. Montrer que :
F ∩ G= Vect(wa).
2. En d´eduire une CNS sur apour que F et Gsoient en somme directe.
Partie C : ´ Etude du cas o` u a = 2
On suppose d´esormais quea= 2.
1. Montrer queF = Vect(u).
2. Donner la d´efinition de l’assertion :F etGsont suppl´ementaires dansR3, puis ´enoncer le crit`ere du cours pour que F et Gsoient suppl´ementaires dans R3.
3. Montrer queF etGsont suppl´ementaires dans R3.
4. Soit le vecteur t = (1,0,3) ∈R3. D´ecomposer le vecteurt suivant la d´ecomposition de R3 donn´ee par : R3=F⊕G.
Fin de l’´enonc´e.
4
