Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚6
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
(1) La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
(2) En particulier, les r´esultats non justifi´es ne seront pas pris en compte.
(3) Vous ˆetes invit´es `a encadrer les r´esultats de vos calculs et `a laisser une marge substantielle `a droite.
Bar`eme indicatif
Questions de cours 1. 2 points
2. 4+2+2 points 3. 4+10+2 points 4. 10 points 5. 2+2 points 6. 10+6 points 7. 2+2+2 points
Exercice 1 1. 6+2 points 2. 10 points
Exercice 2 1. 2 points 2. 10 points 3. 1 point
Exercice 3 1. 6 points 2. 6 points 3. 10 points
Exercice 4 1. 4 points 2. 6 points 3. 8 points 4. 8 points 5. 8 points
Probl`eme 1. 2+10 points 2. 2+10 points 3. 10+10+2 points
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Questions de cours
1. Soit G un ensemble muni d’une loi de composition interne ∗. Donner la d´efinition de l’assertion : (G,∗) est un groupe.
2. Soit (G,∗) un groupe.
(a) Soit (g1, g2)∈G2. Donner une expression de (g1∗g2)−1 en fonction de g1−1 et g2−1 et d´emontrer le r´esultat.
(b) Soit H une partie de G. Donner la d´efinition de l’assertion : H est un sous-groupe deG.
(c) Soit H une partie deG. ´Enoncer le crit`ere du cours pour queH soit un sous-groupe deG.
3. Soient (G,∗) et (G′,⊥) deux groupes. Soitϕ: G→G′ un morphisme de groupes.
(a) D´emontrer que ϕ(eG) = eG′.
(b) Soit H′ un sous-groupe de (G′,⊥). Donner la d´efinition de ϕ−1(H′), puis d´emontrer queϕ−1(H′) est un sous-groupe de G.
(c) Donner la d´efinition du noyau Ker(ϕ) de ϕ.
4. ´Enoncer et d´emontrer le crit`ere d’injectivit´e pour un morphisme de groupes.
5. Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel (K d´esignantR ouC).
(a) Soit F une partie de E. Donner la d´efinition de l’assertion : F est un sous-espace vectoriel deE.
(b) Soit F une partie de E. ´Enoncer le crit`ere du cours pour que F soit un sous-espace vectoriel deE.
6. Soitn ∈N∗.
(a) Soit (ai)1≤i≤n une famille d’´el´ements de K. D´emontrer que :
F ={(x1, x2, . . . , xn)∈Kn : a1x1+a2x2+. . .+anxn = 0}
est un sous-espace vectoriel deKn. (b) Soit (p, r) ∈ (N∗)2. Soit (aij)1≤i≤p
1≤j≤r une famille d’´el´ements de K. D´eduire de la question 6.(a) que :
F =
(x1, . . . , xn)∈Kn :
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
. . .
ap1x1 + ap2x2 + . . . + apnxn = 0
est un sous-espace vectoriel deKn.
7. Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel (K d´esignant R ou C). Soient F1 et F2 deux sous- espaces vectoriels de E.
(a) Donner la d´efinition du K-espace vectoriel F1+F2.
(b) Donner la d´efinition de l’assertion : la somme F1+F2 est directe.
(c) Donner la d´efinition de l’assertion : F1 etF2 sont suppl´ementaires dans E.
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Exercice 1 (Groupe des applications affines bijectives de R dans R) Pour tout (a, b)∈R2, on note fa,b l’application affine d´efinie par :
fa,b: R→R; x7→ax+b.
1. Soient (a, b)∈R∗×R.
(a) Montrer que fa,b est bijective.
(b) D´eterminer l’application r´eciproque de fa,b.
2. SoitA={fa,b : (a, b)∈R∗×R}. Montrer queAest un sous-groupe du groupe (S(R),◦) des bijections deR dans R.
Exercice 2 (Les morphismes du groupe (Z,+) dans lui-mˆeme) Pour tout a∈Z, on note ϕa l’application d´efinie par :
ϕa: Z→Z; n7→an.
1. Soit a ∈ Z. Montrer que l’application ϕa est un morphisme du groupe (Z,+) dans lui- mˆeme.
2. Soitψ: Z→Zun morphisme du groupe (Z,+) dans lui-mˆeme. Montrer qu’il existea∈Z tel que ψ =ϕa.
3. Conclure.
Exercice 3 (´Egalit´e de sous-espaces vectoriels engendr´es par des parties de R3) Soient les vecteurs deR3 :
u1 = (1,3,5) ; u2 = (1,4,13) ; v1 = (2,5,2) ; v2 = (4,9,−4).
1. D´emontrer : u1 ∈Vect(v1, v2) et u2 ∈Vect(v1, v2).
2. D´emontrer : v1 ∈Vect(u1, u2) et v2 ∈Vect(u1, u2).
3. Prouver que Vect(u1, u2) = Vect(v1, v2).
Exercice 4 (Deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans F(R,R)) Soit F l’ensemble des fonctions de R dans Rconstantes, i.e.
F =
R → R x 7→ a
a∈R
et soit G l’ensemble des fonctions de Rdans R nulles en 1, i.e. : G={ f: R→R| f(1) = 0}.
1. Montrer qu’il existe une fonction f ∈ F(R,R) telle que : F = Vect(f). Qu’en d´eduire quant `a la structure deF ?
2. Montrer que G est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
3. Montrer que F et G sont en somme directe.
4. Montrer que F ⊕G=F(R,R) et interpr´eter ce r´esultat.
5. D´ecomposer la fonction
exp : R → R x 7→ ex relativement `a la d´ecomposition F(R,R) =F ⊕G.
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Probl`eme (Deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans R4)
1. Etude du sous-espace vectoriel´ F de R4
Soit F la partie deR4 d´efinie par :
F = Vect(u1, u2) o`uu1 = (1,1,1,1) et u2 = (0,1,0,1).
(a) Justifier que F est un sous-espace vectoriel de R4. (b) D´eterminer une famille (aij)1≤i≤2
1≤j≤4
d’´el´ements deR telle que :
F =
(x1, x2, x3, x4)∈R4 :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = 0
.
2. Etude du sous-espace vectoriel´ G de R4 Soit G l’ensemble solution du syst`eme (S)
3x1 − 2x2 + 4x3 − x4 = 0 3x1 − x2 − 13x3 + 7x4 = 0 2x1 − x2 − 3x3 + 2x4 = 0 x1 − x2 + 7x3 − 3x4 = 0 d’inconnue (x1, x2, x3, x4)∈R4.
(a) Justifier que G est un sous-espace vectoriel deR4. (b) D´eterminer deux ´el´ements v1 etv2 deR4 tels que :
G= Vect(v1, v2).
3. Les sous-espaces F et G sont suppl´ementaires dans R4
(a) Montrer que F +G=R4.
(b) Montrer que F ∩G={(0,0,0,0)}.
(c) Que d´eduire des questions 3.(a) et 3.(b) ?
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