Math´ ematiques Devoir surveill´ e n
◦5
Janvier 2019
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
´
electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.
1
Exercice 1
.Partie 1 : ´etude d’une variable al´eatoire discr`ete sans m´emoire.
SoitX une variable al´eatoire discr`ete, `a valeurs dansNtelle que :
∀m∈N, P(X ≥m)>0.
On suppose ´egalement queX v´erifie :
∀(m, n)∈N×N, P[X≥m](X≥n+m) =P(X≥n).
On poseP(X= 0) =pet on suppose quep >0.
1. On poseq= 1−p.
Montrer que
P(X≥1) =q.
En d´eduire que 0< q <1.
2. Montrer que
∀(m, n)∈N×N, P(X ≥n+m) =P(X ≥m)P(X ≥n).
3. Pour toutndeNon pose un =P(X ≥n).
(a) Utiliser la relation obtenue `a la deuxi`eme question pour montrer que la suite (un) est g´eom´etrique de raisonq.
(b) Pour toutnde N, exprimerP(X≥n) en fonction denet de q.
(c) ´Etablir que
∀n∈N, P(X =n) =P(X≥n)−P(X≥n+ 1).
(d) En d´eduire que, pour toutndeN, on a
P(X =n) =qnp.
4. (a) Reconnaˆıtre la loi suivie par la variableX+ 1.
(b) En d´eduireE(X) et V(X).
Partie 2 : taux de panne d’une variable al´eatoire discr`ete.
Pour toute variable al´eatoire Y `a valeurs dansNet telle que,
∀n∈N, P(Y ≥n)>0.
On d´efinit le taux de panne deY `a l’instantn, not´eλn par :
∀n∈N, λn=P[Y≥n](Y =n).
1. (a) Montrer que
∀n∈N, λn =P(Y =n) P(Y ≥n). (b) En d´eduire que
∀n∈N, 1−λn =P(Y ≥n+ 1) P(Y ≥n) . (c) ´Etablir alors que
∀n∈N, 0≤λn <1.
(d) Montrer par r´ecurrence, que
∀n∈N∗, P(Y ≥n) =
n−1
Y
k=0
(1−λk).
2. (a) Montrer que
∀n∈N∗,
n−1
X
k=0
P(Y =k) = 1−P(Y ≥n).
(b) En d´eduire que lim
n→∞P(Y ≥n) = 0.
(c) Montrer que
n→∞lim
n−1
X
k=0
−ln(1−λk) = +∞.
(d) Conclure quant `a la nature de la s´erie de terme g´en´eralλn. 2
3. (a) Recopier et compl´eter le programme Scilab suivant pour que la fonctionfactorielle(n)calculen!.
function z=factorielle(n),
z= ;
If (n==0) then z= ; else
for k=1:n
z= ;
end end endfunction
(b) On consid`ere le programme Scilab suivant :
n=input(’Donner un entier naturel non nul’) a=input(’Donner un r´eel’)
g(1)=1 for k=1:n
g(k+1)=a*g(k) end
disp(g(n+1))
Dire quel est le r´esultat retourn´e.
(c) En utilisant la fonction factorielle d´efinie `a la question 3.(a), recopier et compl´eter le programme Scilab suivant pour qu’il affiche la valeur de
n−1
P
k=0
ak k!e−a. n=input(’Donner un entier naturel non nul’) a=input(’Donner un r´eel’)
s= ;
for k=0:n-1
s= ;
end disp(s);
Partie 3 : caract´erisation des variables al´eatoires dont la loi est du type de celle deX.
1. D´eterminer le taux de panne de la variable X dont la loi a ´et´e trouv´ee `a la question 3. d) de la partie 1.
2. On consid`ere une variable al´eatoireZ, `a valeurs dansN, et v´erifiant :
∀n∈N, P(Z≥n)>0.
On suppose que le taux de panne deZ est constant, c’est-`a-dire que l’on a :
∀n∈N, λn=λ.
(a) Montrer que 0< λ <1.
(b) Pour toutndeN, d´eterminer P(Z ≥n) en fonction de λet n.
(c) Conclure que les seules variables al´eatoiresZ `a valeurs dansN, dont le taux de panne est constant et telles que pour toutndeN, P(Z≥n)>0, sont les variables dont la loi est du type de celle deX.
3
Exercice 2
.On consid`ere les matrices carr´ees d’ordre trois :
A=
0 1 3 0 1 3 0 0 4
etD=
0 0 0 0 1 0 0 0 4
Partie I : R´ eduction de A
1. Est-ce queAest inversible ?
2. D´eterminer les valeurs propres deA. Justifier, sans calcul, queAest diagonalisable.
Il existe donc une matriceP ∈ M3(R) inversible telle que A=P DP−1 On donne
P =
1 1 1 0 1 1 0 0 1
etP−1=
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
Partie II : R´ esolution de l’´ equation M
2= A
On se propose de r´esoudre l’´equation (1) d’inconnueM ∈ M3(R) (1) : M2=A
SoitM une matrice carr´ee d’ordre trois. On noteN =P−1M P. (La matriceP a ´et´e d´efinie dans la partieI.) 1. Montrer :
M2=A⇐⇒N2=D.
2. ´Etablir que, siN2=D, alorsN D=D N. 3. En d´eduire que, siN2=D, alorsN est diagonale.
4. D´eterminer toutes les matrices diagonales N telles queN2=D.
5. En d´eduire la solutionB de l’´equation (1) dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.
Partie III : Intervention d’un polynˆ ome
1. Montrer qu’il existe un polynˆomeQde degr´e deux, et un seul, que l’on calculera, tel que : Q(0) = 0, Q(1) = 1, Q(4) = 2.
2. En d´eduire :
−1 6A2+7
6A=B. (La matriceB a ´et´e d´efinie enII.5.) 3. Montrer, pour toute matrice carr´eeF d’ordre trois :
A F =F A⇐⇒B F =F B.
4
