Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚5
Dur´ee : 4 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
(1) La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
(2) En particulier, les r´esultats non justifi´es ne seront pas pris en compte.
(3) Vous ˆetes invit´es `a encadrer les r´esultats de vos calculs et `a laisser une marge substantielle `a droite.
Questions de cours
1. Donner la d´efinition formelle d’une application injective.
2. SoitE un ensemble muni d’une l.c.i. ∗.
(a) Donner la d´efinition de l’assertion : la loi ∗est associative.
(b) Donner la d´efinition de l’assertion : la loi ∗est commutative.
(c) Soit e∈E. Donner la d´efinition de l’assertion : e est le neutre deE pour la loi ∗. (d) On suppose ici que ∗ est associative et poss`ede un ´el´ement neutre e. Soit x ∈ E.
Donner la d´efinition de l’assertion : xest inversible pour la loi ∗. 3. SoitA une partie deR admettant une borne sup´erieure.
(a) Donner la d´efinition de la borne sup´erieure de A.
(b) Soit α ∈ R. Donner la caract´erisation formelle de l’assertion : α est la borne sup´erieure deA.
4. ´Enoncer la propri´et´e de la borne sup´erieure.
5. Soit (un)n∈N une suite. Donner la d´efinition de l’assertion : la suite (un)n∈N est minor´ee.
6. Soit (un)n∈N une suite et soit l ∈R. Donner la d´efinition formelle de l’assertion : la suite (un)n∈N converge vers l.
7. ´Enoncer et d´emontrer le r´esultat d’unicit´e de la limite d’une suite convergente.
Exercice 1 (Une application bijective de R3 dans R3 et sa bijection r´eciproque) Soit l’application
f: R3 →R3 ; (x1, x2, x3)7→(x1+x2+x3, x2+x3,−x1+ 2x2+x3). Montrer que f est bijective et d´eterminer sa bijection r´eciproque f−1.
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Exercice 2 (´Etude d’une l.c.i. sur R∗×R)
On d´efinit la l.c.i.∗surR∗×Ren posant pour tout (t1, a1)∈R∗×R, pour tout (t2, a2)∈R∗×R: (t1, a1)∗(t2, a2) =
t1t2, t1a2 +a1
t2
. 1. Montrer que ∗ est associative.
2. La loi∗ est-elle commutative ?
3. Montrer que e= (1,0) est neutre pour la loi ∗.
4. Soit (t, a)∈R∗×R. Montrer que (t, a) est inversible pour ∗ et pr´eciser l’inverse de (t, a) pour∗.
Exercice 3 (Suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2)
Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0 = 2, u1 = 1 et la relation de r´ecurrence un+2 =un+1+ 6un
valable pour tout n∈N.
1. Montrer, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence avec pr´ed´ecesseurs, que pour tout n∈N :
un = (−2)n+ 3n. 2. La suite (un)n∈N est-elle monotone ?
3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.
Exercice 4 (Borne inf et borne sup de l’ensemble des termes d’une suite) Soit T la partie deR d´efinie par :
T =
n−1
n+ 1
n ∈N
.
1. D´emontrer queT admet un plus petit ´el´ement. Qu’en d´eduire quant `a sa borne inf´erieure ? 2. D´emontrer que la borne sup´erieure de T existe.
3. D´eterminer sup(T).
Exercice 5 (Une suite qui diverge vers +∞ est minor´ee)
Soit (un)n∈Nune suite qui diverge vers +∞. Par d´efinition de la divergence vers +∞, on a donc la propri´et´e suivante.
Pour toutA >0, il existe n0 ∈N tel que pour toutn ∈N : n≥n0 ⇒un≥A.
Montrer que la suite (un)n∈N est minor´ee.
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Probl`eme 1 (´Etude de l’application de f: R2 →R2 ; (x1, x2)7→(x1+x2, x1x2)) 1. Somme et produit des racines d’un polynˆome de degr´e 2
Soit (y1, y2)∈R2.
(a) Soit (x1, x2)∈R2. Montrer que :
x1+x2 =y1 et x1x2 =y2
si et seulement si x1 etx2 sont les racines du polynˆome X2 −y1X+y2. (b) En d´eduire une CNS sur (y1, y2)∈R2 pour que le syst`eme :
(S) :
x1+x2 = y1
x1x2 = y2
d’inconnue (x1, x2)∈R2 admette une solution.
2. Etude d’une application de´ R2 dans R2 Soit l’application
f: R2 →R2 ; (x1, x2)7→(x1 +x2, x1x2).
(a) L’application f est-elle injective ?
(b) D´emontrer que l’application f n’est pas surjective.
(c) Rappeler la d´efinition de l’ensemble f(R2), le d´eterminer, puis le repr´esenter graphi- quement.
Probl`eme 2 (´Etude d’une suite r´ecurrente)
1. D´emonstration d’un r´esultat de convergence Soit (un)n∈N une suite croissante et major´ee.
(a) Soit A={un|n∈N}. Justifier que la borne sup´erieure de A existe.
(b) On noteα ∈Rla borne sup´erieure de A. Soitε >0. Montrer qu’il existe n0 ∈Ntel que pour tout n∈N :
n≥n0 ⇒α−ε < un≤α.
(c) En revenant `a la d´efinition de la limite, d´eduire de (b) que la suite (un)n∈N converge vers α.
2. Etude d’une fonction auxiliaire´ Soit la fonction :
f: R+ →R; x7→√ x+ 1.
(a) ´Etudier les variations de f sur R+. 3
(b) R´esoudre l’in´equation
(I) : f(x)> x d’inconnue x∈R+.
(c) R´esoudre l’´equation
(E) : f(x) =x d’inconnue x∈R+.
(d) D´eduire de (b) et (c) le signe de f(x)−x pour toutx∈R+.
(e) Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat obtenu en (d). On ´ecrira trois phrases.
(f) Sur le mˆeme graphique, tracer l’allure de la courbe repr´esentative def ainsi que la premi`ere bissectrice.
3. Etude d’une suite r´´ ecurrente
Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0 = 1 et la relation de r´ecurrence un+1 =√
un+ 1 valable pour toutn ∈N.
(a) Montrer, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, que pour tout n ∈N: un existe et 1≤un ≤3.
(b) ´Ecrire une proc´edure Maple, nomm´ee Terme, d’argument un entier naturel n, qui retourne la valeurun.
(c) Compl´eter le graphique de la question 2.(f), en tra¸cant les premiers termes de la suite (un)n∈N. On laissera apparents les traits de construction.
(d) Montrer que la suite (un)n∈N est strictement croissante.
(e) Jusitifier que la suite (un)n∈N est convergente.
(f) Soit α∈R la limite de la suite (un)n∈N. Prouver que : 1≤α ≤3 et α+ 1 =α2. (g) D´eduire de (f) la valeur de α.
(h) D´emontrer que pour tout n∈N :
|un+1−α| ≤ 1
√1 +α |un−α|. (i) D´eduire de (h) que pour tout n∈N :
|un−α| ≤
1
√1 +α
n
|u0−α|
(j) Donner un entier naturel n tel que :
α−10−6 ≤un ≤α+ 10−6.
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