Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚4
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
(1) La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
(2) En particulier, les r´esultats non justifi´es ne seront pas pris en compte.
(3) Vous ˆetes invit´es `a encadrer les r´esultats de vos calculs et `a laisser une marge substantielle `a droite.
(4) Tous les syst`emes lin´eaires devront ˆetre r´esolus par la m´ethode du pivot de Gauß.
Partie I − G´ eom´ etrie plane
Questions de cours (Changement de rep`ere dans le plan)
Soit R= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan. Soitθ un r´eel fix´e.
1. Donner la d´efinition de la base (−→uθ,−→vθ) introduite dans le cours.
2. Exprimer les vecteurs −→uθ et −→vθ en fonction des vecteurs −→u et −→v .
3. Soit Ω un point du plan, de coordonn´ees (xΩ, yΩ) dans R. Soit M un point du plan de coordonn´ees (x, y) dans R et de coordonn´ees (x′, y′) dans R′ = (Ω;−→uθ,−→vθ). Donner une expression de (x, y) en fonction de (x′, y′), puis d´emontrer le r´esultat.
Exercice 1 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)
Soient −→u et −→v deux vecteurs non nuls du plan (ou de l’espace).
1. Soitλ∈R. D´evelopper, r´eduire et ordonner suivant les puissances de λle produit scalaire (−→u +λ−→v ).(−→u +λ−→v ).
2. En d´eduire les propri´et´es suivantes.
(a) |−→u .−→v| ≤ ||−→u|| ||−→v ||
(b) |−→u .−→v|=||−→u|| ||−→v || ⇔ −→u //−→v
Exercice 2 (´Equation polaire d’une droite ne passant pas par l’origine) Soit R= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan.
1. Soit M un point du plan diff´erent de l’origine O du rep`ere R. On note (x, y) les coor- donn´ees cart´esiennes deM dans R.
(a) Que signifie l’assertion : M a comme coordonn´ees polaires (r;θ) dans R? (b) Donner une expression de (x, y) en fonction de (r;θ).
(c) Donner une expression de (r;θ) en fonction de (x, y).
2. SoitD le lieu des points M(r;θ) du plan tels que :
r= 1
2 cos(θ)−3 sin(θ).
Exercice 3 (Lieu g´eom´etrique et nombres complexes)
Un rep`ere orthonorm´e R = (O;→−u ,−→v) du plan´etant fix´e, on identifie le plan et l’ensemble C des nombres complexes. D´eterminer le lieu E des points M du plan d’affixe z ∈Ctels que :
Im
z−1 z−2i
= 0.
Probl`eme 1 (Th´eor`eme de Brianchon-Poncelet)
Soit R = (O;−→u ,−→v ) un rep`ere orthonorm´e du plan. Soit H la courbe repr´esentative de la fonction inverse, i.e. :
H=
M(x, y)
x∈R∗ et y= 1 x
.
On rappelle que dans un triangle (non aplati), les trois hauteurs sont concourantes et que le point de concours des trois hauteurs est appel´e orthocentre du triangle.
L’objectif de ce probl`eme est de d´emontrer le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme (Brianchon-Poncelet)
Si A, B, C sont trois points de H deux `a deux distincts, alors l’orthocentre du triangle ABC est ´egalement un point de H.
1. Etude d’un cas particulier´ Soient A
2,1
2
,B 1
3,3
etC
−6,−1 6
trois points de H.
(a) D´eterminer des ´equations cart´esiennes des trois hauteurs du triangle ABC.
(b) D´eterminer les coordonn´ees de l’orthocentre H de ce triangle.
(c) V´erifier que H appartient `a la courbe H.
(d) Calculer l’aire du triangle ABC. 2. Etude g´´ en´erale
Soient les pointsA
a,1 a
,B
b, 1
b
etC
c,1 c
o`ua, b, c sont trois r´eels non nuls deux
`a deux distincts. Les points A, B, C sont donc des points deux `a deux distincts de H.
(a) Montrer que ≪H est l’orthocentre de ABC ≫ ´equivaut `a
( −−→
AH.−−→
BC = 0
−−→BH.−→
AC = 0.
(b) En d´eduire une expression des coordonn´ees de l’orthocentreH du triangleABC, en fonction de a, b etc.
(c) V´erifier que H appartient `a la courbe H.
Partie II − G´ eom´ etrie dans l’espace
Questions de cours (Coordonn´ees d’un produit vectoriel dans une BOND) Soit B= (−→
i ,−→ j ,→−
k) une base orthonorm´ee directe de l’espace.
Soient −→u1 et −→u2 deux vecteurs de coordonn´ees respectives (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) dans B.
1. Traduire le fait que−→u1 (resp.−→u2) a comme coordonn´ees (x1, y1, z1) (resp. (x2, y2, z2)) dans B par une ´egalit´e vectorielle.
2. Donner les coordonn´ees du vecteur−→u1∧ −→u2 dans B.
3. D´emontrer la formule ´enonc´ee `a la question 2.
Exercice 4 (Intersection de deux plans s´ecants) Soit R= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e direct de l’espace.
1. Soient les pointsA(2,0,−1),B(0,1,2),C(−1,3,4). Justifier que le plan (ABC) est bien d´efini et donner une ´equation cart´esienne de ce plan.
2. Justifier que
x = −2 + t1 − t2 y = 3 + t1
z = 7 − t1 + 2t2
est une repr´esentation param´etrique de plan, de param`etres t1, t2 ∈ R et donner une
´equation cart´esienne du plan P d´efini par cette repr´esentation param´etrique.
3. Donner un vecteur normal−→n1 `a (ABC) et un vecteur normal−→n2 `aP. En d´eduire que les plans (ABC) et P sont s´ecants.
4. Donner une repr´esentation param´etrique de la droiteD = (ABC) ∩ P.
Exercice 5 (D’une repr´esentation param´etrique de droite `a une ´equation cart´esienne) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e directde l’espace. SoitDla droite de repr´esentation param´etrique :
x = −2 + t y = 1 − 2t
z = 3 + t
de param`etret ∈R. Donner une ´equation cart´esienne de la droite D.
Soit le point A(2,7,11).
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonalH du point A sur le plan P. 2. Calculer la longueur AH `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent.
3. Retrouver le r´esultat pr´ec´edent `a l’aide d’une formule du cours.
Probl`eme 2 (Sph`ere circonscrite `a un t´etra`edre) Soit R= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´ede l’espace.
1. Plan m´ediateur d’un segment
Soient M1(x1, y1, z1) et M2(x2, y2, z2) deux points disctincts. On note :
• P l’ensemble des pointsM de l’espace tels que M1M =M2M;
• Qle plan passant par le milieuIdu segment [M1M2] dont−−−−→
M1M2 est un vecteur normal.
(a) Montrer que P est un plan. On donnera une ´equation cart´esienne de P. (b) Donner une ´equation cart´esienne de Q.
(c) En d´eduire que P =Q.
Le plan P =Q est appel´e plan m´ediateur du segment[M1M2].
2. Autour d’un t´etra`edre
Soient les pointsA(4,0,−3),B(2,2,2), C(3,−3,−1) et D(0,0,−3).
(a) Calculer le volume du t´etra`edre de sommets A, B, C, D.
(b) Donner une ´equation cart´esienne du plan P1 m´ediateur du segment [AB].
(c) Donner une ´equation cart´esienne du plan P2 m´ediateur du segment [AC].
(d) Donner une ´equation cart´esienne du plan P3 m´ediateur du segment [AD].
(e) Soit Sla sph`ere circonscrite au t´etra`edreABCD, i.e. la sph`ere passant par les points A, B,C et D.
i. D´emontrer que le centre Ω de la sph`ere S appartient `a P1 ∩ P2∩ P3. ii. D´eterminer les coordonn´ees de Ω.
iii. D´eterminer le rayon de la sph`ere S.
iv. Donner une ´equation cart´esienne de la sph`ere S.
