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La fonction d’une variable r´eelle x 7→e−x2 est-elle mesurable ? 4

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Paris Diderot Calcul int´egral

Licence de Math´ematiques Ann´ee 2016-17

P. Fima, A. Zuk, L. Merel INTERROGATION du 19 octobre 2016

Dur´ee : 30 minutes. Tout appareil ´electronique et tout document est interdit. R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant bri`evement.

1. L’ensemble R−Zest-il un bor´elien deR ?

2. Quelle est la mesure de Lebesgue (not´ee µ) de l’ensemble ∪n≥0[1/2n+1,1/2n] ? 3. La fonction d’une variable r´eelle x 7→e−x2 est-elle mesurable ?

4. Notons 1Z la fonction caract´eristique des entiers dans R. CalculerR

1Zdµ.

5. La fonction d’une variable r´eelle x 7→ |x|1Z(x) est-elle ´etag´ee ?

6. Donner un exemple de fonction ´etag´ee f : R →R+ non nulle telle que R

f dµ= 0.

7. Pour n entier ≥ 1, posons fn : [0,1] → R qui `a x associe fn(x) = 1 +ex(1−x)/n.

Calculer la limite quand n tend vers l’infini deR

fndµ.

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