Universit´e Paris Diderot Calcul int´egral
Licence de Math´ematiques 2016-2017
P. Fima, L. Merel, A. Zuk
Examen du 13 janvier 2017 Dur´ee 3 heures
Document autoris´e : une feuille manuscrite
1. Soit (X,A) un espace mesurable. Pourx 2X,l’atome de A engendr´e par x est le sous- ensemble x⇢X d´efinit par :
x= \
{A2A:x2A}
A.
Soit B={x : x2X} l’ensemble des atomes deA. (a) Montrer que X=S
x2Xx et que x\y =; pour toutx 6=y (c’est-`a-dire, B est une partition deX).
(b) Montrer que si A est au plus d´enombrable alors A contient tous ses atomes et que chaque ´el´ement de As’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’atomes.
(c) En d´eduire que siAest au plus d´enombrable, Acontient P(B).
(d) Montrer que si Best infini, P(B) n’est pas d´enombrable.
(e) En d´eduire qu’il n’existe pas de tribu infinie d´enombrable.
2. Pour x, t2R, on pose f(x, t) = e t2(1+x2)1+x2 etF(t) =R1
0 f(x, t)dx.
(a) Justifier l’existence de F(t) pour tout r´eel t.
(b) D´eterminerF(0) et limt!+1F(t).
(c) Montrer queF est continue sur R.
(d) Soit M >0 fix´e. Montrer que pour tout x2R et pour toutt2[ M, M] on a
@f
@t(x, t) 2M.
(e) En d´eduire queF est d´erivable sur [ M, M], puis surRtout entier. ´Ecrire la d´eriv´ee de F sous la forme d’une int´egrale.
(f) ´Etudier le signe de F0(t) en fonction de t puis donner le tableau de variation ainsi que la repr´esentation graphique deF.
(g) Soit G la primitive de (u 7! e u2) qui s’annule en 0, c’est-`a-dire la fonction d´efinie pour tout r´eeltpar G(t) =Rt
0e u2du.
i. Montrer que F0(t) = 2G(t)G0(t) pour tout t2R. ii. En d´eduire queG2(t) = ⇡4 F(t) pour tout t2R.
1
iii. En d´eduire la valeur de l’int´egrale I =R+1
0 e u2du.
3. Soitµune mesure sur la tribu des bor´eliens. Pour tout intervalleI deRet toutx2R, on noteI+x={y2R : 9z2I, y =z+x}. On suppose que la mesureµv´erifie la propri´et´e suivante : µ(I) =µ(I+x) pour tout intervalleI et tout r´eel x etµ([0,1]) = 1.
(a) Montrer queµ({x}) =µ({y}), pour tout (x, y)2R2. (b) En d´eduire queµ({x]) = 0 pour tout x2R.
(c) Soit n2N⇤. Montrer queµ([0,n1]) = 1n. (d) En d´eduire queµ est la mesure de Lebesgue.
2
