ECOLE POLYTECHNIQUE´
CONCOURS D’ADMISSION 2017 FILI `ERE MP
COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES – B – (X)
(Dur´ee : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autoris´ee pour cette ´epreuve.
⋆ ⋆ ⋆
On utilise la notation all´eg´ee pour l’int´egrale d’une fonctionf :R→Rcontinue par morceaux
et int´egrable surR Z
f(x)dx= Z +∞
−∞
f(x)dx.
Sif est une fonction de deux variables r´eellest, x, on note∂tf = ∂f
∂t,∂xf = ∂f
∂x,∂xxf = ∂2f
∂x2 les d´eriv´ees partielles def (sous r´eserve de leur existence).
Sinest un entier naturel, on noteCn
b l’ensemble des fonctionsf :R→Rde classeCnet dont toutes les d´eriv´eesf,f′, . . . ,f(n), jusqu’`a l’ordren, sont born´ees.
On dit qu’une fonctionm:R→Rest une mesure si elle est continue, positive, int´egrable surR
et telle que Z
m(x)dx= 1.
On consid`ere la fonctionh: [0,+∞[→Rd´efinie parh(0) = 0 et pourx >0, h(x) =xln(x).
On dit qu’une fonctionf :R→Radmet une entropie relativement `a une mesuremsif est continue eth(f2)mest int´egrable surR. De mˆeme, on dit quef admet une variance relativement
`
amsif est continue etf2mest int´egrable surR. On admet que la fonctionµd´efinie surRpar
µ(x) = 1
√πe−x2
est une mesure.
Ce probl`eme ´etudie certaines in´egalit´es fonctionnelles. Dans les parties I et II, on ´etudie un op´erateur diff´erentiel li´e `a la mesureµet on d´emontre une in´egalit´e pour cette mesure. Dans la partie III, on voit comment une telle in´egalit´e en entraine une seconde, et on ´etudie une forme de r´eciproque. La partie IV est ind´ependante des autres, et s’int´eresse `a une in´egalit´e pour les fonctions caract´eristiques.
Pr´ eliminaires
Soitmune mesure.
1. Soitf :R→Rune fonction qui admet une variance relativement `am. Montrer quef mest int´egrable. En cons´equence, le r´eel
Varm(f) = Z
f(x)2m(x)dx− Z
f(x)m(x)dx 2
est bien d´efini. Montrer que Varm(f)>0.
2. Soitf:R→Rune fonction qui admet une entropie relativement `am.
2a. Montrer quef2mest int´egrable. En cons´equence, le r´eel Entm(f) =
Z
h(f(x)2)m(x)dx−h Z
f(x)2m(x)dx
est bien d´efini.
2b. Soita >0. Montrer que
∀x>0, h(x)>(x−a)h′(a) +h(a), avec in´egalit´e stricte six6=a.
2c. Montrer que Entm(f)>0.
On pourra utiliser la question pr´ec´edente aveca= Z
f(x)2m(x)dx.
2d. On suppose ici que pour tout x∈R, m(x)> 0. Caract´eriser les fonctions f telles que Entm(f) = 0.
Partie I
On noteLl’op´erateur qui `a une fonctionf :R→Rde classeC2, associe la fonctionLf d´efinie par
∀x∈R, Lf(x) =1
2f′′(x)−xf′(x).
On ´etend ´egalement cette d´efinition aux fonctionsf(t, x) de deux variables, en posant Lf(t, x) =1
2∂xxf(t, x)−x∂xf(t, x), sous r´eserve que ces quantit´es soient d´efinies au point (t, x)∈R2. On rappelle que la mesureµa ´et´e d´efinie dans l’introduction.
3a. Soitf:R→Rde classeC2. Montrer queLf= 1 2µ
!µf′′ .
3b. Soienth1, h2deux fonctions deCb2. Montrer que Z
h1(x)(Lh2)(x)µ(x)dx=−1 2 Z
h′1(x)h′2(x)µ(x)dx, apr`es avoir justifi´e l’existence de chacun des termes de la formule.
On consid`ere une fonctionf∈C0
b. On d´efinit pour (t, x)∈R2 Φf(t, x) =
Z
f(xcost+ysint)µ(y)dy.
4. Montrer que la fonction Φf:R2→Rest bien d´efinie et continue.
5. On suppose quef∈C2
b.
5a. Montrer que, surR2, Φf est de classeC1et∂xxΦf est bien d´efinie, continue et born´ee.
5b. Soit (t, x)∈R2. Trouver une relation entre∂xΦf(t, x) et Φf′(t, x).
5c. Montrer que pour tout (t, x)∈R2, on a∂tΦf(t, x) cost=LΦf(t, x) sint.
5d. Montrer que pour toutt∈R, on a Z
Φf(t, x)µ(x)dx= Z
f(x)µ(x)dx.
On admet pour la suite du probl`eme que cette ´egalit´e reste vraie pour toutf∈C0
b.
Partie II
Soitf:R→R+une fonction deC0
b positive. On d´efinit pourt∈R J(t) =
Z
h(Φf(t, x))µ(x)dx.
6. Montrer queJ:R→Rest continue, et calculerJ(0) etJπ 2
.
7. On suppose dans toute cette question quef∈C2
b et qu’il existeδ >0 tel que
∀x∈R, f(x)>δ.
7a. Montrer queJest alors de classeC1 surRet que
∀t∈R, J′(t) cost=−sint 2
Z (∂xΦf(t, x))2 Φf(t, x) µ(x)dx.
7b. Soit (t, x)∈R2. Montrer que
Φf′(t, x)26Φf(t, x)Φg(t, x).
7c. Conclure que Z
h(f(x))µ(x)dx−h Z
f(y)µ(y)dy
61 4 Z
g(x)µ(x)dx.
8. Montrer que pour toutf ∈C2
b,f admet une entropie relativement `aµet que Entµ(f)6
Z
|f′(x)|2µ(x)dx.
On pourra consid´erer la famille de fonctions d´efinies par fδ=δ+f2 pourδ >0.
Partie III
Soitmune mesure. On suppose dans cette partie qu’il existe une constanteC >0 telle que, si f :R→Rest de classeC1 et de d´eriv´eef′born´ee, alorsf admet une entropie relativement `a met
Entm(f)6C Z
|f′(x)|2m(x)dx. (1)
9. Montrer que Z
(1 +|x|+x2)m(x)dx <+∞.
10. Soitf ∈C1
b. On souhaite montrer quef admet une variance relativement `amet que Varm(f)6 C
2 Z
|f′(x)|2m(x)dx. (2)
10a. Montrer quef metf2msont int´egrables, et qu’il suffit de montrer (2) dans le cas o`u on a de plus
Z
f(x)m(x)dx= 0 et Z
f(x)2m(x)dx= 1.
10b. Sous les hypoth`eses de la question pr´ec´edente, montrer (2).
On pourra appliquer (1)`a la famille de fonctionsfε= 1 +εf pourε >0.
11. Soitf une fonction deC1
b, telle que pour tout x∈R, on a|f′(x)|61. On note, pour λ∈R,
H(λ) = Z
eλf(x)m(x)dx.
On admet queHest de classeC1et que l’on obtient une expression deH′(λ) en d´erivant sous le signe int´egral de mani`ere usuelle (on pourrait le d´emontrer comme pr´ec´edemment).
11a. Montrer que pour toutλ∈R,
λH′(λ)−H(λ) lnH(λ)6Cλ2 4 H(λ).
11b. En d´eduire que pourλ>0, Z
eλf(x)m(x)dx6exp
λ Z
f(x)m(x)dx+Cλ2 4
. (3)
On pourra ´etudier la fonctionλ7→1
λlnH(λ).
12. Montrer que l’in´egalit´e (3) s’applique `a la fonction d´efinie parf(x) =x.
On pourra utiliser la suite de fonctions d´efinies parfn(x) =narctanx n
.
13a. SoientM= Z
xm(x)dxeta>M. Montrer que Z +∞
a
m(x)dx6exp
−(a−M)2 C
.
13b. Conclure que pour toutα < 1
C, la fonctionx7→eαx2m(x) est int´egrable surR.
Partie IV
14. Soient p, q, r : R → R+∗ trois fonctions continues, `a valeurs strictement positives et int´egrables surR.
14a. Montrer qu’il existe une fonctionu: ]0,1[→Rde classeC1bijective telle que
∀t∈]0,1[, u′(t)p(u(t)) = Z
p(x)dx.
De mˆeme, il existe une fonction analoguev: ]0,1[→Rpourq.
14b. On suppose que
∀x, y∈R, p(x)q(y)6
r x+y
2 2
. (4)
Montrer que
Z p(x)dx
Z q(x)dx
6
Z r(x)dx
2
. (5)
On pourra utiliser, apr`es avoir justifi´e son caract`ere licite, le changement de variable d´efini par x=u(t) +v(t)
2 dans le membre de droite de l’in´egalit´e(5).
On admet pour la suite du probl`eme que l’in´egalit´e (5) reste vraie en supposant uniquement que p, q, r:R→R+sont des fonctions `a valeurs positives, continues par morceaux, int´egrables sur R, et qui v´erifient (4).
SiA⊂R, on note✶Asa fonction caract´eristique d´efinie par✶A(x) = 1 six∈Aet✶A(x) = 0 si x /∈A. On noted(x, A) = inf{|x−y|:y∈A}la distance dex∈R`aA.
On note Int le sous-ensemble deP(R) dont les ´el´ements sont les r´eunions finies d’intervalles de R. SiA∈Int, alors✶Aest continue par morceaux, et on d´efinit le r´eel
µ(A) = Z
✶A(x)µ(x)dx∈[0,1].
15. SoitA⊂R.
15a. Montrer que pour tousx, y∈R, on a exp
1
2d(x, A)2−x2
✶A(y) exp!
−y2
6exp
−(x+y)2 2
.
15b. On suppose queA∈Int et queµ(A)>0. En d´eduire que Z
exp 1
2d(x, A)2
µ(x)dx6 1 µ(A).
16. SoitA∈Int. Pourt>0, on d´efinit l’ensembleAt={x∈R:d(x, A)6t}.
16a. Montrer queAt∈Int pour toutt>0.
16b. On suppose de plus queµ(A)>0. Montrer que pour toutt>0, on a 1−µ(At)6e−t2/2
µ(A).
∗ ∗
∗
