en fonction des op´erateurs de champ e(x),νe(x),µ(x

Universit´e Paris 7

D.E.A. de physique nucl´eaire 1988–89

EXAMEN DE THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS (polarisation des ´electrons de d´esint´egration des muons)

t₀ = Mardi 17 Janvier, 14 heures

∆t= 68 heures

Avant tout rester calme et boire frais pour ´eviter tout affolement ! Les r´eponses `a certaines questions (surtout lorsqu’il s’agit de d´emonstrations) ne sont pas toujours n´ecessaires pour aborder les questions suivantes et vous pouvez travailler selon vos goˆuts, seul(e) ou en ´equipe. Vous devez remettre une r´edaction personnelle de vos solutions `a Jacqueline Dufournet, au plus tard le 20 Janvier `a 10 heures.

Le bon usage, parfois observ´e dans la profession, voudrait que vous indiquiez scrupuleusement vos ´eventuelles sources (livre, article, cours ou ´echanges de toute nature avec un(e) coll`egue). Il est toujours possible que des erreurs, parfaitement involontaires, se soient gliss´ees dans cet ´enonc´e ; sachez rester critique. Les valeurs empiriques dont vous pourriez avoir besoin sont `a prendre dans la litt´erature†.

Pour d´ecrire un monde uniquement compos´e de leptons (c’est d´ej`a pas mal, mais il n’y a pas d’interaction forte), on envisage le lagrangien d’interaction

Lint =−q j

´

em·A+ G

√2j†

f ·j

f, avec

j_´em = ¯eγe+ ¯µγµ+· · ·

jf = ¯ν_eγ(1−γ⁵)e+ ¯ν_µγ(1−γ⁵)µ+· · ·,

en fonction des op´erateurs de champ e(x),ν_e(x),µ(x), . . . Ce lagrangien comporte donc un terme d’interaction ´electromagn´etique qui provient de l’´electrodynamique quantique, fondamentale, et un terme d’interaction faible, ph´enom´enologique.

1. Discutez les invariances des termes figurant dans Lint et d´eterminez la dimension de la constante de couplage ph´enom´enologique G.

2. Dor´enavant on ´etudie divers aspects de la d´esint´egration du muon µ⁻ → e⁻ + ν¯_e + ν_µ

q, rµ p, re k1, r1 k2, r2

m_µ m_e 0 0

† . . . par exemple : Particle Data Group, Review of particle properties, Phys.

Lett. B 204 (1988), o`u vous trouverez aussi une bibliographie r´ecente concernant le muon et sa d´esint´egration.

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D´esint´egration des muons non polaris´es (attention `a ne pas confondre les deux significations du symbole ¯νe : l’antineu- trino ´electronique ou le conjugu´e, `a la Dirac, du champ de neutrino ´electronique !) Calculez l’´el´ement de matrice S_{f i} de ce processus `a l’ordre le plus bas non nul de la th´eorie des perturbations.

3. En d´eduire l’´el´ement de matrice invariantMf i correspondant, en fonction des bi-spineurs u(µ), u(e), v(1) et u(2).

4. Calculez la probabilit´e d⁹P de d´esint´egration d’un muon dans une grosse caisse de volume V, dur´ee T, en ´electron et neutrinos dont les impulsions sont respectivement dans les pav´esd³p,d³k1 etd³k2, en fonction de|Mf i|². En d´eduire l’expression du taux de d´esint´egration d⁹Γ^df=d⁹P/T.

5. Montrez que |Mf i|² peut s’´ecrire sous forme de produit de deux traces de produits de matrices.

6. On n’observe pas du tout les neutrinos (ni leur pr´esence et encore moins leurs polarisations) :

6.1. Par quelle expression |M|² faut-il remplacer|Mf i|² dans l’expression pr´ec´e- dente ?

6.2. Donnez l’expression correspondante du taux diff´erentiel d³Γ/d³p.

D´esint´egration des muons non polaris´es

On effectue l’exp´erience avec des muons non polaris´es et on ne mesure pas la polarisation des ´electrons.

7. Par quelle expression |M|² faut-il remplacer |M|² ?

8. Reste `a calculer enfin ce |M|² . . . Montrez que |M|² est de la forme

|M|² = G²

4 A^αβBαβ,

o`u les A<sup>αβ</sup> et B<sub>αβ</sub> sont des traces de matrices ne d´ependant que de p et k<sub>1</sub>, et q et k<sub>2</sub> respectivement. Reste `a calculer ces traces :

8.1. Que pouvez vous dire g´en´eralement des traces des produits de deux matri- ces Tr(M1M2) et Tr(M2M1) ?

8.2. Montrez que Tr(γ^µγ^ν) = 4η^µν. (Vous pouvez par exemple vous servir de l’anticommutateur de γ^µ et γ^ν.)

8.3. Montrez que la trace du produit d’un nombre impair de matricesγ^µ est nulle.

(Vous pouvez essayer de multiplier `a gauche ce produit de matrices par 1 = (γ<sup>5</sup>)<sup>2</sup> puis faire passer, par commutation, une de ces deux matrices γ<sup>5</sup> `a droite.)

8.4. Montrez que

Tr(γ^µγ^αγ^νγ^β) = 4(η^µαη^νβ+η^µβη^να−η^µνη^αβ).

(Vous pouvez par exemple essayer de ramener, par commutation, γ^β `a gauche du produit.)

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D´esint´egration des muons non polaris´es 8.5. Montrez que la trace du produit de γ⁵ et d’un nombre impair de matrices gamma est nulle.

8.6. Montrez que Tr(γ⁵γ^µγ^ν) = 0 (par exemple par le calcul direct pour quelques valeurs choisies de µ et ν, dans une repr´esentation particuli`ere).

8.7. Montrez que l’on a, en fonction du tenseur de Levi-Civita, Tr(γ⁵γ^µγ^αγ^νγ^β) =−4i^µανβ

(par exemple en calculant cette trace lorsque deux indices ont la mˆeme valeur, en

´etudiant le comportement par rapport `a la transposition de deux indices et enfin en calculant explicitement Tr(γ⁵γ⁰γ¹γ²γ³)).

8.8. Calculez A^αβ et Bαβ en fonction des composantes du tenseur m´etrique, du tenseur de Levi-Civita et des quadrivecteurs p, k₁ d’une part et q, k₂ d’autre part.

9. Montrez que

_µναβ^µναβ =−2(δ_µ^µδ_ν^ν −δ^ν_µδ_ν^µ) et calculez |M|² en fonction de q, p, k₁ et k₂.

10. Quelle est alors l’expression du taux diff´erentiel d³Γ/d³p en fonction des int´egrales

I^{αβ df}=

d³k1

2ω1

d³k2

2ω2

δ⁴(Q−k₁−k₂)k₁^αk^β₂ ?

11. Calcul desI^αβ :

11.1. Montrez que les I^αβ sont composantes d’un tenseur.

11.2. A l’aide de cette propri´et´e et de l’analyse dimensionnelle, ´ecrivez la forme g´en´erale de I^αβ en fonction des divers tenseurs `a deux indices disponibles. En d´eduire les formes de I_αβη^αβ et de I_αβQ^αQ^β.

11.3. Calculez d’autre part ces quantit´es directement en fonction de Q² et de

l’int´egrale

d³k1

2ω₁

d³k2

2ω₂ δ⁴(k₁+k₂−Q).

Montrez que celle-ci est scalaire et ´evaluez la dans le syst`eme du centre de masse des deux neutrinos (!), c’est `a dire lorsque Q = 0.

11.4. En d´eduire, par identification, la valeur de I_αβ.

12. Dor´enavant toutes les questions concernent des muonsau repos. Calculez le taux diff´erentiel d³Γ/d³p en fonction de G, mµ, me/mµ etωp.

13. Quelle est la forme de la distribution angulaire des ´electrons ? Pouvait-on s’y attendre ?

14. Calculez le spectre en ´energie des ´electrons, dΓ/dx, en fonction de x =^df 2ωp/mµ.

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D´esint´egration des muons non polaris´es 15. Calculez dΓ/dx dans l’approximation me = 0 (si celle-ci vous semble justifi´ee). Tracez la forme de ce spectre en fonction de x. Comparez cette forme th´eorique au spectre exp´erimental†.

16. Calculez le taux de d´esint´egration Γ. En d´eduire, par comparaison avec la valeur mesur´ee de la dur´ee de vie du muon, la valeur num´erique de la constante de couplage G.

Polarisation des ´electrons

On envisage une exp´erience avec des muons non polaris´es, dans laquelle on mesure le mode de polarisation de l’´electron ´emis.

17. Par quelle expression |M⁽⁴⁾|² faut-il remplacer |M|² ?

18. Reste `a calculer ce|M⁽⁴⁾|² . . . Montrez que |M⁽⁴⁾|² est de la forme

|M⁽⁴⁾|² = G²

4 E_αβB^αβ

o`u lesE^αβ sont des traces de matrices ne d´ependant que dek₁et du spineurur_e(p) de l’´electron.

19. Reste `a calculer ces E^αβ . . . Pour cela, on peut d’abord d´eterminer une expression commode de la matrice u_re(p)¯u_re(p) :

19.1. Rappelez l’expression u1(|p|ˆ3) du bi-spineur de base en repr´esentation de Dirac, d’h´elicit´e +1, pour un fermion de masse m, impulsion p, dans un rep`ere dont on a choisi l’axe ˆ3 selon p.

19.2. Que devient cette expression dans un rep`ere o`u le fermion est au repos ? Calculez la matrice correspondante u1(0׈3)¯u1(0׈3).

19.3. D’autre part, on d´efinit un quadrivecteur s₊, associ´e `a la polarisation du fermion d’h´elicit´e +1, par

(i) le fait que c’est un quadrivecteur (!),

(ii) ses composantes dans le rep`ere pr´ec´edent, o`u le fermion est au repos : (s₊^µ)=^df (0,0,0,1).

Calculez s₊² et s₊ · p. Calculez explicitement les ´el´ements de la matrice (/p+ m)(1 +γ⁵/s+) dans ce rep`ere.

19.4. En d´eduire une expression (de forme ind´ependante du rep`ere) de u₁(p)¯u₁(p) en fonction de cette matrice.

20. Montrez queE^αβ = (1/2)(A^αβ+F^αβ) et calculez lesF^αβ en fonction des composantes du tenseur m´etrique, du tenseur de Levi-Civita, des quadrivecteursk₁, et s_e+ (associ´e `a un ´electron d’h´elicit´e +1), et de la masse m_e.

† Voir par exemple :

D. Fryberger, Measurement of the Muon Decay Spectrum with a Wire Spark- Chamber Spectrometer, Phys. Rev. 166 (1968) 1379 ;

S.E. Derenzo, Measurement of the Low-Energy End of the µ⁺ Decay Spectrum, Phys. Rev. 181 (1969) 1854.

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D´esint´egration des muons non polaris´es

21. CalculezEαβB^αβ en fonction de q, p, s_e+, k₁, k₂ et me.

22. En d´eduire l’expression int´egrale (sur d³k₁d³k₂) de d³Γ₊/d³p, le taux diff´erentiel de d´esint´egration des muons non polaris´es en ´electrons d’h´elicit´e +1.

23.A l’aide de l’expression d´ej`a trouv´ee pourIαβ, calculez ce taux en fonction des quadrivecteurs q, p, s_e+, des ´energies ω_p, ω_q et des masses m_µ et m_e.

24. Calculez d³Γ+/dxd²pˆpour la d´esint´egration de muons au repos (q = 0), non polaris´es, en ´electrons (d’´energie x, direction ˆp, polarisation s_e+) en fonction de G, mµ, x et se+0 (la composante temporelle de s_e+ dans ce rep`ere), dans l’approximation m_e/m_µ 1.

25. Reste `a calculer s_e+⁰ . . . Pour cela :

25.1. Rappelez les expressions des composantes contravariantes s_e+^µ et p^µ dans le rep`ere o`u l’´electron est au repos.

25.2. Rappelez les expressions des composantes contravariantesp^µ dans le rep`ere du laboratoire.

25.3. En d´eduire les coefficients de la transformation de Lorentz entre ces deux rep`eres, et la valeur de la composante se+0 dans le laboratoire.

25.4.Quelle est la valeur de la composantes_e−⁰ correspondant au cas d’un ´electron final dans l’´etat d’h´elicit´e −1 ?

26. Calculez explicitement, en fonction de G, mµ et x, les taux diff´eren- tiels d³Γ₊/dxd²pˆetd³Γ₋/dxd²pˆcorrespondant respectivement aux cas d’un ´elec- tron final d’h´elicit´e +1 et −1.

27. Vous pr´eparez une diapositive du sch´ema de cette exp´erience et de son r´esultat pour une pr´esentation dans un s´eminaire, mais `a la projection cette dia- positive peut-ˆetre par inadvertance engag´ee `a l’envers (la tˆete en bas, ou retourn´ee de gauche `a droite, ou les deux `a la fois). Risquez vous une r´eaction de la part de certains membres de l’assistance ?

28. Pr´eoccupations empiristes :

28.1. Quels proc´ed´es exp´erimentaux pouvez-vous imaginer pour mesurer l’h´elicit´e des ´electrons ´emis ?

28.2. Comparez vos pr´edictions th´eoriques pour l’h´elicit´e des ´electrons ´emis aux r´esultats exp´erimentaux.†

† H. Burkard & al.,Muon decay : measurement of the positron polarization and implications for the spectrum shape parameter η, V-A and T-invariance, Phys.

Lett. 150 B (1985) 242.

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