• • ••• x x = = 0 1ln exp x

Chap.6 :

FONCTION EXPONENTIELLE

Partie 1 : étude de la fonction exponentielle a) Définition

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien comme la fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction carrée.

La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur IR de la façon suivante : Pour tout nombre réel x, on associe le nombre réel y strictement positif tel que :

𝑦 =exp (𝑥) si et seulement si 𝑥 =ln (𝑦) Remarques : Le nombre réel ainsi défini est également noté .

On a alors : si et seulement si .

si et seulement si si et seulement si . En conséquence : 𝑒^- = 1

Exemples : 1) et .

2) est appelée constante d’Euler.

Pour tout nombre réel x,

𝑒

^/ > 0 (la fonction exponentielle est strictement positive sur IR).

Pour tout nombre réel x, ln(𝑒^𝑥)=𝑥

Pour tout nombre réel x strictement positif, 𝑒^23/ =𝑥

b) Sens de variations et représentation graphique

La fonction exponentielle est dérivable sur IR et est égale à sa fonction dérivée.

Autrement dit, si f est la fonction définie sur IR par alors 𝑓⁵(𝑥) =𝑒^/ Exemples : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

1) ……….

2) ……….

3) ………

………

………

La fonction exponentielle est strictement croissante et à valeurs strictement positives sur IR.

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des

fonctions logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite ! d’équation 𝑦 = 𝑥

• expx e^x

ex

y= x=lny

• e^x =1 x=ln1 x=0

39 ,

2»7

e e^-3»0,0498 718

,

1=e»2 e

•

•

•

ex

x f( )= x

x x e x

f( )= ^x+4 ³+7 -1+ln ) 1 4 ln(

ln 2 3 )

(x = e + x+ x+

g ^x

xex

x h( )=

x

Signe de

𝑒𝑥𝑝′(𝑥) +

Variations de la fonction 𝑒𝑥𝑝

0

Ti2D / Exponentielle Format Cours Ti2D – L’expo sous toutes les coutures

-¥ +¥

+¥

ex

y=

x y=ln

!

c) Limites

Graphiquement, l’étude des limites de la fonction exponentielle en et se déduit des limites de la fonction logarithme népérien en 0 et . On admettra donc les résultats suivants :

/→;<lim 𝑒^/=0 lim

/→=<𝑒^/ =+∞

Remarque : La première limite signifie que la droite d’équation 𝑦 = 0 (c'est-à-dire l’axe des abscisses) est asymptote à la courbe représentative de la fonction exponentielle au voisinage de .

Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par : . Déterminer les limites de la fonction 𝑓aux bornes de son ensemble de définition puis déterminer son sens de variations.

………

………

………

………

………

………

………

Graphiquement, on remarque que la fonction exponentielle « croît très rapidement ». On admettra les résultats suivants :

/→=<lim

@^A

/ =+∞ lim

/→;<𝑥𝑒^/ = 0 Remarque : On dit que « l’emporte sur ».

De la même manière, pour tout entier naturel n : lim

/→=<

@^A

/^B= +∞ lim

/→=<

CD / /^B =0 Exemples : Déterminer les limites en et de

• En +∞ : lim

/→=<3𝑥 − 2 = et lim

/→=<𝑒^/= donc par produit : lim

/→=<𝑓(𝑥) =

• En −∞ : en développpant, on obtient : 𝑓(𝑥) = Or lim

/→;<3𝑥𝑒^/ = et lim

/→;<−2𝑒^/ = donc par somme : lim

/→;<𝑓(𝑥) =

à Ex.1, 2, 3, 4, 5

d) Règles de calculs

Pour tous nombres réels a et b, on a : 𝑒^H=I=𝑒^H× 𝑒^I

𝑒^;H = ^K

@^L

𝑒^H;I=^@L

@^M

^(𝑒

H)^I =𝑒^HI Exemples : 𝑒^N× 𝑒^O= 𝑒^;P= 𝑒^;O𝑒^Q= 𝑒^{/=CD R} =

(𝑒^/)^N= 𝑒^R/ = ( ) ^@_@^ST_U = _@^@_VU^A =

à Ex.6

e) Résolution d’équations et d’inéquations

Pour tous nombres réels x et y, on a : si et seulement si 𝑥 = 𝑦

si et seulement si 𝑥 < 𝑦

Exemples : Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :

1) e^3x = 7 3x = ln7 𝑥 =^{CD O}_N Donc S = . 2)

3)

4)

-4x > ln 2 x < Donc S =

5)

.

à Ex.7, 8, 9, 10

¥ - +¥

¥ +

¥ + 1

4 3 )

(x = e + x+

f ^x

ex x

¥

- +¥ f(x)=(3x-2)e^x

• • • •

• e^x=e^{y •} e^x <e^y

0

3^x-7=

e ^{Û Û Û}

þý ü îí ì

3 7 ln

1 1

2 ⁺ =

- x

e ^Û

2 0

4^x+ = e

0

4 -2>

- x

e ^{Û Û}

4 2 -ln

3 3

2 2e

e ^x+ > ^Û

Partie 2 : exponentielle d’une fonction

Dans cette partie, on étudie les fonctions de la forme : où u est une fonction à valeurs réelles.

a) Limites

Exemples : Déterminer les limites suivantes : 1)

^{On a donc = 0.}

2)

^{On a donc .}

3) On pose X = 4 – x³ lim

/→=<𝑋 = lim

/→=<(4 − 𝑥^N) =

Donc lim

/→=<𝑒^P;/T = lim

Z→;<𝑒^Z=

4) On pose X = x² – 3x lim

/→;<𝑋 = lim

/→;<𝑥^R− 3𝑥 =

Donc lim

/→;<𝑒^/[;N/= lim

/→;<𝑒^Z=

5) On pose X = lim

/→;<𝑋 =

Donc =

b) Dérivation

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction est dérivable sur I et on a : (𝑒^\)⁵=𝑢⁵× 𝑒^\ Exemples : 1) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

a) ……… c) ………

b) ……… d) ………

2) Déterminer le sens de variations des fonctions suivantes définies sur IR :

a) donc 𝑓⁵(𝑥) = donc pour tout réel x 𝑓′(𝑥) et donc f est strictement décroissante sur ℝ.

b) donc ℎ⁵(𝑥) =

Or 10 − 2𝑒^R/> 0 ⟺

à Ex.11, 12

Problèmes type BAC :

à 13, 14, 15

) (x

eu

x!

x

x e^-

+¥

lim® - =-¥

+¥

® x

xlim ^x

x e^-

+¥

lim® x

x e^-

-¥

lim® - =+¥

-¥

® x

xlim ^- =+¥

-¥

® x xlime

4 3

lim ^x

x e ^-

+¥

®

x x xlim e ^2-3

-¥

®

4 3

2 2

lim ^-

+ -¥

® x x

x e

4 3

2 2

- + x x

4 3

2 2

lim ^-

+ -¥

® x x

x e

) (x

eu

x!

e x

x

f( )= ² h(x)=4e^3x

e x

x

g( )= ^- k(x)=e^-3x+2

e x

x f( )= ²

e x

x x

h( )=10 - ²

1 5 ln 2 5

5 10ln 2

5

ln ÷= - _ln5 = - ø

ç ö è

æ e

h

Ti2D / Exponentielle Format Cours Ti2D – Exponentielle de fonctions

x – ¥ + ¥

Signe de h’(x) + 0 -

Variations de h

– ¥ – ¥

2 5 ln

÷ø ç ö è æ

2 5 h ln