la fonction exponentielle, notée « exp

PanaMaths [1-3] Janvier 2008

Synthèse de cours PanaMaths (TES)

Æ La fonction exponentielle

Définition

Pour tout réel x, on définit le réel e^x (on lit « exponentielle x » ou « exponentielle de x ») comme l’unique réel dont le logarithme népérien est x.

la fonction exponentielle, notée « exp », est la fonction qui à x associe e^x (voir la courbe représentative en orange ci-dessous) :

] [

( )

exp : 0,

exp ^x où ln

x y x e y x

→ +∞

= = =

\ 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x = ln y

y = x

y = e^x

y=ex

ln x= y

PanaMaths [2-3] Janvier 2008 Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x (1^ère bissectrice).

Propriétés découlant directement de la définition

• ∀ ∈x \, 0e^x> ;

• e⁰ =1 (car ln1=0) ;

• ^{∀ ∈x \, ln}( )^{ex =x ;}

• ∀ ∈x \^+*, e^lnx =x ;

• ∀ ∈x \, , ∀ ∈y \ e^x =e^y ⇔ =x y. Propriétés algébriques

• ∀ ∈x \, , ∀ ∈y \ e^{x y+} =e e^{x y} ;

On peut généraliser ce résultat à l’exponentielle d’une somme de n réels :

1 2 ... 1 2

...

n n

x x x x x x

e ^{+ + +} =e e e

• ^{∀ ∈x \, , ∀ ∈n ]} ( )^{ex n =enx ;}

• 1

, ^x _x

x e

e

∀ ∈\ − = ;

• , ,

x x y y

x y e e

e

∀ ∈\ ∀ ∈\ = − .

Remarque : on retrouve fondamentalement les propriétés des puissances d’exposants relatifs (mais ici l’exposant est réel !).

Etude de la fonction exponentielle

Ensemble de définition

Dexp =\ Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur \ et sa dérivée est égale à elle-même :

( ) ( ) ( )

, exp ' exp

x x x

∀ ∈\ =

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \.

PanaMaths [3-3] Janvier 2008 Limites aux bornes de l’ensemble de définition

( ) ( )

lim exp lim

lim exp lim 0

x

x x

x

x x

x e

x e

→+∞ →+∞

→−∞ →−∞

= = +∞

= =

Composée de l’exponentielle et d’une fonction dérivable

Dans ce qui suit, f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Dérivée

La fonction composée exp o f est dérivable sur l’intervalle I et on a :

( ) ( ) ( ) ^{( ) ( ) ( )}

, exp ' ^f ' ' ^{f x}

x I o f x e x f x e

∀ ∈ = = ×

On retiendra : ( )^{ef '= ×f ' ef .}

Primitives

La fonction ^{f '. exp} ( ^{o f} ) est intégrable sur l’intervalle I et ses primitives sont les fonctions définies par :

( )

x6ef x +C

où C est une constante réelle quelconque.