Fonction exponentielle : exp

Terminale STG Fonction exponentielle : exp _2010-2011

Propriété 1 La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction - définie sur R : exp(x) existe pour tout x réel

- dont la fonction dérivée est exp ^′ (x) = exp(x) ("fonction égale à sa dérivée") - Pour tout x ∈ R , exp(x) > 0

- dont la courbe et le tableau de variations sont les suivants :

O

b

b b

1 1

e

~i

~j

C _exp x

Signe de exp(x)

Variations de exp

−∞ + ∞

+

0 0

+ ∞ + ∞ 0

1

Remarque 1 Avec la calculatrice, on obtient des valeurs approchées de l’image de nombres réels, par ex : exp(2) ≃ 7.389. Il est intéressant de remarquer que e ² ≃ 7.389. Recommencer avec d’autres valeurs entières.

Propriété 2 On généralise la remarque précédente pour adopter une notation simplifiée de la fonction exponentielle :

Pour tout x ∈ R , exp(x) sera noté e ^x

Remarque 2 Valeurs remarquables : e ⁰ = 1 et e ¹ = e ( e est le nombre qui vaut e ≃ 2, 7 et qui vérifie ln(e) = 1)

Propriété 3 Soient a et b deux réels quelconques, on a la relation fondamentale suivante : e ^a+b = e ^a × e ^b

Soient a et b deux réels et n est un entier naturel, alors :

♦ 1

e ^a = e ^{− a} (e ^a ) ⁿ = e ^na .

♦ e ^a

e ^b = e ^a−b √

e ^a = e

.

♦ (Les propriétés sont comparables à celles des puissances entières)

♦ Pour tout nombre réel y strictement positif et tout nombre réel x :

y = e ^x ⇔ ln(y) = x ln(e ^x ) = x pour x > 0, e ^ln(x) = x

lycée Bertran de Born - Périgueux

Terminale STG Fonction exponentielle : exp _2010-2011

Exemple 1 Transformations d’expressions algébriques (sur les intervalles où elles sont définies) :

➔ e ^2x e

^x = ....

➔ e ^{1 . 5 x +1} e ^{0 . 5 x} = ....

➔ (e ^x ) ² = ....

➔ Exercice 2 p 229

Propriété 4 Equations et inéquations : Si a et b sont 2 réels quelconques :

♦ e ^a = e ^b ⇔ a = b e ^x = 1 ⇔ x = 0.

♦ e ^a < e ^b ⇔ a < b e ^x < 1 ⇔ x < 0.

♦ e ^a > e ^b ⇔ a > b e ^x > 1 ⇔ x > 0.

♦ y = e ^x ⇔ ln(y) = x.

Exemple 2 Résoudre dans R les équations suivantes :

∗ e ^x = 1.7 ⇔ x = ... ∗ e ^x = − ⁷ 3 ⇔ x = ... ∗ e ^2x

³ = 1 ⇔ ... ∗ e

^3x

⁴ = 1 2 ⇔ ...

∗ e ^0.2x+1 = e ^0.6x

Exemple 3 Résoudre dans R les inéquations suivantes :

∗ e ^x < 200 ⇔ ... ∗ e

^{2 x +5} < 1 ⇔ ... ∗ e ^{8 x}

² > e

^{x +3} ⇔ ... ∗ e

¹ = e

¹ ⇔ ...

Propriété 5 Fonction f définie par f (x) = e ^u(x) :

♦ La fonction f a le même ensemble de définition que u.

♦ La fonction f ^′ se calcule avec la formule suivante : (e ^u ) ^′ = u ^′ e ^u .

♦ C’est à dire que pour tout x ∈ R, f ^′ (x) = u ^′ (x)e ^u(x)

Exemple 4 Soit f la fonction définie par f (x) = e ³

^{4 x} .

➔ On remarque que f (x) = e ^{u ( x )} avec u(x) = 3 − 4x.

➔ u est définie sur R donc f est définie sur R.

➔ f

(x) = u

(x)e ^{u ( x )} soit f

(x) = − 4e ³

^{4 x} car u

(x) = − 4.

Exemple 5 Soit f la fonction définie par f (x) = e ^{xln 3} .

➔ On remarque que f (x) = e ^{u ( x )} avec u(x) = x ln 3.

➔ u est définie sur R donc f est définie sur R.

➔ f

(x) = u

(x)e ^{u ( x )} soit f

(x) = ... car u

(x) = ... .

Remarque 3 : On note e ^{x ln 3} = 3 ^x et d’une façon générale, pour tout a > 0, e ^{x ln a} = a ^x

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