Etudions la fonction x → g(x) , g’(x) = e x - 7 > 0 si x > ln(7) x - ∞ ln(7 ) + ∞ g’(x) - 0 + g(x) +∞ + ∞

1

Cnam-Paris 2008-2009 CSC012 F.Guiraud Lundi 27 Octobre 2008

Equation g(x) = e

-7x + 2 = 0

Etudions la fonction x → g(x) , g’(x) = e ^x - 7 > 0 si x > ln(7) x - ∞ ln(7 ) + ∞ g’(x) - 0 + g(x) +∞ + ∞

9 – 7ln(7)

g(2) = e ² +2 – 14 < 0 , g(3) = e ³ +2 -21 # 1.08 > 0 donc g(x) s’annule pour x ∈ [2,3]

g(0) = 3 > 0 ; g(1) = e + 2 – 7 < 0 ; donc g(x) s’annule pour x ∈ [0,1]

Considérons la suite u

n+1 = e ^{u n} +2 7 = h(u

n ) h’(x) = e ^x

7 >0 ;h’(x) <1 si x < ln(7) donc la suite peut converger vers la racine ∈ [0,1]

h([0,1]) = [h(0), h(1)] car h est croissante ; [h(0), h(1)] = [ 3 7 , e+2

7 ] ⊂ [0,1]

La suite converge vers la racine ∈ [0,1]

On peut prendre pour premier terme u

0 = 0 u

1 = 3

7 # 0.428 ; u

2 # 0.505; u

3 # 0.522 .

Pour la deuxième racine, on peut utiliser la fonction réciproque :

e ^x = 7x -2 soit x = ln(7x–2) = k(x) qui est définie pour x > 2 7 k’(x) = 7

7x-2 > 0 ; k’(x) < 1 si x > 9

7 ; la suite peut converger vers la racine ∈ [2,3]

k([ 2, 3]) = [k(2), k(3)] car k est une fonction croissante. [k(2), k(3)] =[ ln(12) , ln(19)]

La suite converge vers la racine ∈ [2,3]

On peut prendre u

0 = 3 ; u

1 = ln( 19)# 2.944 ; u

2 # 2.923 ; ; u

3 # 2.915..

Au bout de combien d’itérations l’erreur commise est elle inférieure à 10 ^-3 ? On a d’après l’inégalité des accroissements finis :

|u

n+1 - u

| = |g(u

n ) – g(u

n-1 ) |< M| u

n - u

n-1 |, avec M = sup(| g’(x)|) | u

n - u

n-1 | < M| u

n-1 - u

n-2 | :

| u

2 - u

1 | < M | u

1 - u

0 | donc |u

n+1 - u

| < M ⁿ⁺¹ | u

1 - u

0 |

2 ou en simplifiant

| u

n - u

n-1 | < M ⁿ | u

1 - u

0 | < M ⁿ puisque | u

1 - u

0 | < 1 On veut avoir M ⁿ < 10 ^-3 soit n log(M) < -3 soit n > -3

log(M) Calculons M : pour la fonction k : sup(| k’(x)|) = |k’(2)| = 7

12 donc n > 3

log( 12 7 )

= 12.8 soit n ≥ 13 Algorithme du point fixe

La fonction g est donnée dans un fichier function Premier terme u

0

pour i = 1 jusqu’à n %i est un compteur y = g(u

0 ) u

0 = y

fin

Méthode de Newton

On cherche à résoudre f(x) = 0 où f est une fonction dérivable dont la dérivée ne s’annule pas sur un intervalle contenant la racine de f(x) = 0.

Le principe consiste à remplacer la courbe par sa tangente : équation de la tangente en x

0 : y = f ’(x

0 )( x - x

0 ) + f ( x

0 ) ; cette droite coupe l’axe des x en un point x

1 tel que 0 = f ’(x

0 )( x

1 - x

0 ) + f(x

0 ) soit x

1 = x

0 - f(x ₀ )

f '(x ₀ ) possible car f ’(x

0 ) ≠ 0 On recommence le processus ce qui revient à construire une suite u

n+1 = u

n -

f(u _n ) f '(u _n ) Convergence : soit α la solution de f(x) = 0

On considère la suite des erreurs ε

n = x

n - α . Avec les hypothèses suivantes :

| f ‘(x

n )| ≥ k > 0 et | f ″ (x) | < M pour x ∈ [ a, b]

Alors on a ε

n+1

≤ C ( ε

n ) ²

Pour que la suite converge, il faut choisir comme premier terme x

0 celle des deux extrémités a ou b telle que f(x

0 )f ″ ( x

0 )> 0

La méthode de Newton converge rapidement mais demande de pouvoir calculer la dérivée de la fonction

Méthode de Lagrange

Qn a l’équation f(x) = 0, pour x ∈ [ a, b] , et les points A (a,f(a)), B(b,f(b)). La méthode consiste à remplacer la courbe par la corde [A B]

Equation de la droite AB : y = f(a)-f(b)

a - b x + -bf(a)+a f(b) a - b

Le point d’intersection de AB avec Ox a comme abscisse une approximation de la racine de l’équation f(x) = 0 : x

0 = bf(a) -af(b)

f(a) - f(b) .

3

On réitère l’opération en prenant toujours la même extrémité A ou B, celle telle que f(x).f ″ (x) > 0 Ce qui donne la suite u

n+1 =

bf(u _n ) - u

n f(b)

f(u n ) - f(b) si on a f(b). f ″ (b) > 0

Partie TP sur Matlab

1) Déterminer à l’aide de Matlab les racines de f(x) = 4ln(x)-x = 0 pour x ∈ [-5, 2] ;

On commence par représenter la fonction graphiquement en ajoutant la commande grid on qui dessine un grillage sur le graphique.

Programme

% Résolution de 4ln(x)-x-=0 x = -5 :0.05 : 2

plot (x, 4*log(x)-x) grid on

Les racines sont isolées dans les intervalles [1,2] , [8,9]

Méthode du point fixe format long

x0=-1;

n=10;suite=zeros(1,n);

hold on x=8:0.05:9;

plot(x,x, x, 4*log(x));

for i= 1:n y=g1(x0) suite(1,i) = y;

x0=y;

end for i=1:5

plot([suite(1,i),suite(1,i+1),suite(1,i+1)],[suite(1,i+1),suite(1,i+1),suite(1,i+2) ] end

x0

function y = g1 (x) y=4*log(x) ;

Pour la deuxième racine, il faut prendre pour g1 la fonction g1(x) = exp(x/4) Modification du programme

Il faut changer le domaine de x et le graphe : x=1:0.05:2;

plot(x,x, x, exp(x/4));

Dans le programme function y = g1 (x) il faut changer g1.