Le n° 67 p136 est un bon exemple mais on fait le n°82 p139
Partie A
1) a) g est un polynôme donc dérivable sur r et on a : g '(x)=−6x2+2x=2x(−3x+1).
C'est un polynôme du second degré de racines 0 et 1
3 donc signe de a sauf entre les racines :
x
–∞ 0 1
3 +∞
g '(x)
– 0 + 0 –
g(x)
+∞
–1
−
26
27 +∞
b) g(x)=x3
(
−2+1x−x13)
on étudie alors les limites et on obtient facilement les limites du tableau2) Deux temps dans cette question : on explique pourquoi il n'y a pas de solutions sur [0;+∞[ puis pourquoi il y en a une sur ]–∞;0]
• Sur [0;+∞[, g admet un maximum en 1/3 qui vaut -26/27. Ce maximum est négatif donc g(x)<0 sur [0;+∞[ et l'équation g(x)=0 n'a donc pas de solution
• Sur ]–∞;0] , g est continue (car polynôme) et strictement décroissante . De plus g(]–∞;0])=[–1;+∞[ . Comme 0 ∈ [–1;+∞[ , d'après le th de la bijection, il existe un unique α ∈ ]–∞;0], tel que g(x)=0
• g(0)=−1 et g(−1)=2 donc g([–1;0])=[-1;2] comme 0 ∈ [–1;2], α ∈ [–1;0]
3) Sur ]–∞;0], g est continue et strictement décroissante et s'annule en α donc pour tout x ∈ ]–∞;α ], g est positive et sur [ α; 0] , g est négative . D'où comme g est négative sur [0;+∞[, on a donc :
pour tout x ≥ α , g est négative pour tout x ≤ α g est positive
Partie B
1) f(x)=x3
(
x13+x12+1x+1)
e−2x+1lim
x→–∞−2x+1 =+∞ or on sait que lim
X→+∞eX=+∞ donc par composition des limites, on a : lim
x→–∞e−2x+1=+∞
Comme lim
x→–∞
x3 = –∞ et lim
x→–∞
1 x3+1
x2+1
x+1 =1 , par produit , on trouve lim
x→– ∞ f(x) = –∞
2) a) x > 1 donc x et x−1 sont positifs d'où x2−x=x(x−1) est donc positif ce qui donne x2>x x3−x2=x2(x−1) d'où x2 et x−1 positif donne x3−x2 positif c'est à dire x3>x2
on a donc x3>x2>x>1
x3>x2 , x3>x et x3>1 donc par somme 4x3>x3+x2+x+1 et comme e−2x+1>0 par produit on obtient : 4x3e−2x+1>(x3+x2+x+1)e−2x+1 c'est à dire f(x)<4x3e−2x+1
Comme x > 1 , 1+x+x2+x3 est positif donc f(x)>0 On obtient donc la réponse demandée
c) e
2(2x)3e−2x = e1
2×8x3×e−2x = 4x3e−2x+1 lim
x→–∞4x3e−2x+1 = lim
x→–∞
e
2(2x)3e−2x d'où en posant X=2x , on obtient : lim
x→+∞4x3e−2x+1 = lim
X→+∞
e 2X3e−X d'où comme on admet que lim
X→+∞X3e−X=0, on en déduit lim
x→+∞4x3e−2x+1=0
d) En utilisant l'encadrement de la question b et le th des gendarmes, on en déduit que lim
x→+∞ f (x)=0. Cela signifie donc que la courbe Cf admet une asymptote horizontale d'équation x = 0
3) f est de la forme u×v donc : f '(x)=(1+2x+3x2)e−2x+1+(1+x+x2+x3)×(−2)e−2x+1 f '(x)=e−2x+1(1+2x+3x2−2−2x−2x2−2x3)
f '(x)=e−2x+1(−2x3+x2−1) f '(x)=e−2x+1g(x)
Comme e−2x+1>0 , le signe de f ' est celui de g d'où d'après la première partie on a : pour tout x ≥α , f '(x)≤0 et f décroissante
pour tout x ≤α ; f '(x)≥0 et f est croissante
x
–∞
α+∞
f '(x)
+ 0 –
f(x)
–∞
f(α)
