Terminale S Devoir maison n˚7 2016-2017
A rendre le vendredi 25 novembre 2016
• • •
EXERCICE 1 On considère les fonctionsf, g ethdéfinies sur [0;π] par :
f(x) =x+ cos(x) g(x) = sin(x) h(x) =f(x)−g(x) On noteCf,Cgf et Chles courbes représentatives def, g eth.
Cf
Ch Cg
π
2 π
1
O
bc
bc
bc bc
1. Conjecturer :
(a) la position relative de Cf par rapport àCg;
(b) la valeur de l’abscisse dexpour laquelle l’écart entre les deux courbesCf etCg est minimal.
2. On noteh′ la fonction dérivée de la fonctionhsur [0;π].
(a) Démontrer que, pour tout réelxde l’intervalle [0;π] : cos(x) + sin(x) =√
2 cos x−π4 (b) En déduire queh′(x) = 1−√
2 cos x−π4 . 3. (a) Justifier que sur l’intervalle
0;π2
, 1−√
2 cos x−π4 60 et que sur l’intervalleπ
2;π
, 1−√
2 cos x−π4
>0.
(b) En déduire le tableau de variations dehsur [0;π].
4. Démontrer les conjectures faites dans la question 1.
• • •
EXERCICE 2 Un triangleABC de périmètre 12 est isocèle enA, et on noteAB=AC=xetBC=y.
On cherche à déterminer xety pour que l’aire du triangle ABC soit maximale.
1. Justifier que 2x+y= 12 et que 2x>y.
2. En déduire que 36x66.
3. Exprimer en fonction dexla hauteur du triangle issue deA.
4. Démontrer que l’airef(x) du triangleABC est donnée par f(x) = (6−x)√
12x−36 5. (a) Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle ]3; 6], on a :
f′(x) = −9x+ 36
√3x−9
(b) En déduire que la fonctionf admet, sur [3; 6], un maximum pour une valeur dexque l’on précisera.
(c) Quelle est la nature du triangle d’aire maximale ?
• • •
EXERCICE 3 On considère la fonctionf définie sur Rpar :f(x) = (ax−1)4, oùaest un réel non nul.
Justifier tous les éléments qui apparaissent dans le tableau de variations def ci-dessous pour tout valeur deanon nulle.
x
Variations def
−∞ 1a +∞ +∞
+∞
0 0
+∞ +∞
Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 1
