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Spécialité math - Contrôle n°1
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La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.●
Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.●
La calculatrice est autorisée, le téléphone portable et la montre connectée sont interdits.●
Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.●
Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.Exercice n°1 [4,5 pts]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1,5 points sont attribués par réponse exacte justifiée.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
On considère a=/t{3;5} et b=/t{7;2} , et le système d'inconnue n /se{n equiv /calc{11+µ*#3} [a];n equiv /calc{11+µ*#4} [b]}
Affirmation 1 :
Si n est solution de ce système, alors n – 11 est divisible par #3 et par #4. Affirmation 2 :
Pour tout entier relatif k, l'entier 11 + /calc{#3*#4}k est solution du système.
Affirmation 3 :
Pour tout entier naturel n, le dernier chiffre de n² + n n'est jamais égal à
/t{1;2;3;4;5;6;7;8}. Exercice n°2 [3 pts]
Déterminer les entiers x tels que µ + /t{3;4;5;6;7;8;9}x x + µ [6]
Exercice n°3 [3 pts]
Déterminer les entiers x tels que ¤x + µ | x – µ . Exercice n°4 [2 pts]
Démontrer, en utilisant les restes de division euclidienne, que :
/t{ Si §[a equiv b [n]]§ alors §[ac equiv …….. [n]]§. ; Si §[a equiv b [n]]§ et §[b equiv c [n]]§ alors §[a equiv ...]§ ; Si §[a equiv b [n]]§ et §[a' equiv b' [n]]§ alors
§[a+a' equiv………..[n]]§.}
Exercice n°5 [2 pts]
A chaque lettre de l'alphabet on associe son rang, sachant que « A » a pour rang 0.
Pour coder un message, on décide de multiplier le rang par /t{2;3;4;5}, puis d'ajouter /t{1;2;3} au résultat. Au nombre obtenu, on associe alors à nouveau la lettre correspondante.
1. Que donne le mot « MATH » ?
2. [Toute démarche concernant cette question sera valorisée] Ce codage est-il fiable, autrement dit, peut-on avoir deux lettres différentes codées par une 1/2
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même lettre ou pas ? Exercice n°6 [2 pts]
n et p étant des nombres entiers relatifs, résoudre l'équation ¤n2–np–11=0.
Exercice n°7 [6 pts]
Parmi les ordinateurs d’un parc informatique, /t{50;60;70} % présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d’intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état /t{5;6;7;8} % des ordinateurs défaillants, tandis
que de nouvelles failles apparaissent chez /t{2;3;4} % des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d’ordinateurs est constant sur la période
étudiée.
Pour tout entier naturel n , on note an la proportion d’ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de n jours d’intervention, et bn la proportion
d’ordinateurs défaillants au bout de n jours.
1[1]. Déterminer a0, b0, a1 et b1 .
2[1]. Pour tout entier naturel n , exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn . 3[1]. Soit la matrice A qui permet de passer de /mat{a_n;;b_n} à
/mat{a_{n+1};;b_{n+1}}. La déterminer.
4[2]. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n , /mat{a_n;;b_n} = An /mat{a_0;;b_0}.
5[1]. en utilisant la calculatrice, déterminer des valeurs approchées de a30 et b30. Que semble-t-il se passer ?
Exercice n°8 [2 pts]
On considère les suites (pn) et (bn) telles que
/se{p_{n+1}=/f{1;2}p_n+µµ;b_{n+1}=/f{1;2}b_n+/f{1;2}p_n+µµ } et p0=µµ, b0=µµ.
Soit Un la matrice colonne /mat{p_n;;b_n}.
1[1]. Écrire le système précédent sous la forme Un+1 = AUn + B où A est une matrice carrée et B une matrice colonne.
2[1]. Calculer U1 et U2.
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