x = 3 x − 5 x  6 = 2 x − 9 x  4 x  13

Corrigé Devoir maison n°2 I

1. lim

x−∞5x³−x²2x−1=lim

x−∞5x³=−∞; lim

x∞5x³−x²2x−1=lim

x∞5x³=∞

2. lim

x−∞

x−1

1−2x=lim

x−∞

x

−2x=−1 2 ; lim

x∞

x−1

1−2x=lim

x∞

x

−2x=−1 2 lim

x1 2

-1−2x=0⁺, lim

x1 2

+1−2x=0^- et lim

x1 2

x−1=−1

2 , d'où lim

x1 2

- f x=−∞ et lim

x1 2

+ f x=∞

3. lim

x−∞

x−1

−x²3x−2=lim

x−∞−1

x=0 ; lim

x∞

x−1

−x²3x−2=lim

x∞−1 x=0 . Remarque : on a −x²3x−2=−x−1x−2, d'où ^x−1

−x²3x−2= −1

x−2 et donc lim

x1

x−1

−x²3x−2=lim

x1− 1

x−2=1 lim

x2^-

x−2=0^-, lim

x2⁺

x−2=0⁺ d'où lim

x2^-

fx=∞ et lim

x2⁺ f x=−∞

II -

1. 2x1− 1

x−2− 2

x−3=2x1x−2x−3−x−3−2x−2

x−2x−3

=2x³−9x²7x6−x3−2x4

x−2x−3

=2x³−9x²4x13 x²−5x6

=f xd'où le résultat.

2. On a lim

x2^- f x=∞ et lim

x2⁺

f x=−∞, ceci entraîne que la droite d'équation x=2 est une asymptote à la courbe représentative de f ,

et lim

x3^-

f x=∞ et lim

x3⁺

fx=−∞, ceci entraîne que la droite d'équation x=3 est une asymptote à la courbe représentative de f .

lim

x∞ f x−2x1=lim

x∞− 1

x−2− 2

x−3=0 d'où la droite D d'équation y=2x1 est une asymptote oblique à la courbe représentative C de f en −∞et en ∞.

3. voir rédaction 2.

4. fx−2x1= −1 x−2− 2

x−3= −3x7

x−2x−3. On en déduit le tableau suivant:

x −∞ 2 ⁷

3 3 −∞

−3x7 + + 0 — —

x−2x−3 + — — +

f x−2x1 + — 0 + — Position de C par

rapport à D

C est au dessus de D C est en dessous de D

C est au dessus de D

C est en dessous de D

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III – u₀=1; u_n1=4 5u_n2 1. u₁=14

5 ; u₂=106 25 2. Voir annexe.

3. On pose v_n=u_n−10 , on a v_n1=u_n1−10=4

5u_n2−10=4

5u_n−8=4 5v_n

On en déduit que la suite v_n est une suite géométrique de premier terme^v0=u₀−10=−9 et de raison 4

5 .

4. On déduit de la question 3 que v_n=−9





et donc que u_n=v_n10=−9





5. Notons P_n : u_n=







^

^

^

^



a. on a :





b. Supposons la propriété vraie à un certain rang n.

alors u_n1=4

5u_n2=4

5

[ ^

^

^

^

^

^

^

^ ]

=







^

^

^

^



=







^

^

^

^



d'où la propriété est vraie au rang suivant.

c. Conclusion : Par récurrence la propriété est vraie pour tout n1 . 6. On a donc u_n=







^

^

^

^



=







^

^



=







^

^



=10−9





On retrouve ainsi le résultat de la question 4.

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