PanaMaths Octobre 2009
Formulaire PanaMaths
Æ Trigonométrie hyperbolique
Définitions
( )
sinh 2
x x
e e x
− −
= cosh( )
2
x x
e e x
+ −
=
( ) ( )
( )
tanh sinh
cosh
x x
x x
x e e
x x e e
−
−
= = −
+ coth( ) tanh1( )
x x
x x
e e
x x e e
−
−
= = +
−
Ensembles de définition
Fonction Ensemble de définition
sinh \
cosh \
tanh \
coth \*
Relations découlant directement des définitions
( ) ( )
( ) ( )
cosh sinh cosh sinh
x x
x x e
x x e−
+ =
− =
Parité
( ) ( )
( ) ( )
cosh( ) cosh sinh( ) sinh tanh( ) tanh coth( ) coth
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
Relations entre les fonctions hyperboliques
Relation fondamentale
( ) ( )
2 2
cosh x −sinh x =1
PanaMaths Octobre 2009 Relation entre le cosinus et la tangente hyperboliques
( )
2
2
cosh 1
1 tan ( )
x = x
−
Relation entre le sinus et la cotangente hyperboliques
( )
2
2
sinh 1
coth ( ) 1
x = x
−
Argument somme ou différence
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sinh sinh( ) cosh cosh( ) sinh( ) sinh sinh( ) cosh cosh( ) sinh( ) cosh cosh cosh( ) sinh( ) sinh( ) cosh cosh( ) cosh sinh( ) sinh( )
tanh( ) tanh( ) tanh( )
1 tanh( ) tanh( ) tanh( ) t
tanh( )
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
x y x
+ = +
− = −
+ = +
− = −
+ = + +
− = − anh( )
1 tanh( ) tanh( ) 1 coth( ) coth( ) coth( )
coth( ) coth( ) 1 coth( ) coth( ) coth( )
coth( ) coth( ) y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
− + = +
+
− = −
−
Cas particulier : x=y
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 tanh( ) sinh 2 2 sinh( ) cosh
1 tanh ( )
1 tanh ( ) cosh 2 cosh sinh ( ) 2 cosh 1 2 sinh ( ) 1
1 tanh ( ) 2 tanh( )
tanh 2
1 tanh ( ) 1 coth ( ) coth(2 )
2 coth( )
x x x x
x
x x x x x x
x x x
x x x
x
= =
−
= + = − = + = +
−
= +
= +
PanaMaths Octobre 2009
Argument multiple
( )
cosh(nx) sinh(+ nx)= cosh( ) sinh( )x + x n =enx
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 4 4 4
1 1 3 3 3
1 3 3 5 5
2 2 4 4 6 6
cosh cosh +C cosh ( ) sinh ( ) C cosh ( ) sinh ( ) ...
sinh C cosh ( ) sinh( ) C cosh ( ) sinh ( ) ...
C tanh( ) C tanh ( ) C tanh ( ) ...
tanh 1 C tanh ( ) C tanh ( ) C tanh ( ) ...
n n n
n n
n n
n n
n n n
n n n
nx x x x x x
nx x x x x
x x x
nx x x x
− −
− −
= + −
= + +
+ + +
= + + + +
( ) coth ( ) C coth1 2 1 2( ) C coth3 4 3 4( ) C coth5 6 5 6( ) ...
coth C coth ( ) C coth ( ) C coth ( ) ...
n n n n
n n n
n n n
n n n
x x x x
nx x x x
− − −
− − −
+ + + +
= + + +
Cas particulier : n=3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 3 3
3 2 3
3 2
3 2
sinh 3cosh sinh sinh 4 sinh 3sinh
cosh cosh 3sinh cosh 4 cosh 3cosh
3 tanh tanh tanh 3
1 3 tanh 3coth coth coth 3
1 3coth
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
x x
= + = +
= + = −
= + +
= + +
Transformation des sommes
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sinh sinh 2 sinh cosh
2 2
sinh sinh 2 sinh cosh
2 2
cosh cosh 2 cosh cosh
2 2
cosh cosh 2 sinh sinh
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
+ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
+ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
PanaMaths Octobre 2009
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
tanh tanh sinh
cosh cosh tanh tanh sinh
cosh cosh x y
x y
x y
x y
x y
x y
+ = +
− = −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
coth coth sinh
sinh sinh coth coth sinh
sinh sinh x y
x y
x y
x y
x y
x y
+ = +
− = −
Transformation des produits
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
sinh sinh 1 cosh cosh
2
cosh cosh 1 cosh cosh
2
sinh cosh 1 sinh sinh
2
cosh cosh
tanh tanh
cosh cosh
cosh cosh
coth coth
cosh cosh
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y x y
= + − −
= + + −
= + + −
+ − −
= + + −
+ + −
= + − −
Expressions en fonction de l’angle moitié
Avec la simplification d’écriture : tanh 2 t= ⎛ ⎞⎜ ⎟x
⎝ ⎠, on a :
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
1 tanh 2
cosh 1 1
1 1 1
2 cotan
sinh 1 2 2
t x t
x t t
t t
x t
x t t t
+ =
= − +
+ ⎛ ⎞
= = +
= − ⎜⎝ ⎟⎠
