1. A quelle(s) condition(s) sur a et b peut-on trouver deux réels A et ϕ tels que : ∀ ∈ x \ , cosh a ( ) x + b sinh ( ) x = A cosh ( x + ϕ ) ?

(1)

PanaMaths Octobre 2014

Soit a et b deux réels tels que ( ) ( ) ^{a b} ^, ^≠ ^{0, 0} ^.

1. A quelle(s) condition(s) sur a et b peut-on trouver deux réels A et ϕ tels que : ^{∀ ∈} ^x ^\ ^{, cosh} ^a ( ) ^x ⁺ ^b ^sinh ( ) ^x ⁼ ^A ^cosh ( ^x ⁺ ^ϕ ) ^?

2. A quelle(s) condition(s) sur a et b peut-on trouver deux réels A et ϕ tels que : ^{∀ ∈} ^x ^\ ^{, cosh} ^a ( ) ^x ⁺ ^b ^sinh ( ) ^x ⁼ ^A ^sinh ( ^x ⁺ ^ϕ ) ^?

Analyse

On reprend les définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques et on procède classiquement par identification.

Résolution

Question 1.

On a les équivalences :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

²

( )

, cosh sinh cosh

, 2 2 2

, 0

0 0

x x x x x x

x x

x

x a x b x A x

e e e e e e

x a b A

x a b Ae e a b Ae e x a b Ae e a b Ae

a b Ae a b Ae

Ae a b Ae a b

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

− − + − −

− −

−

∀ ∈ + = +

+ − +

⇔ ∀ ∈ × + × = ×

⇔ ∀ ∈ + − + − − =

⎧ + − =

⇔ ⎨⎪

− − =

⎪⎩

⎧ = +

⇔ ⎨⎪

⎪⎩ = −

\

Si a=b, alors la deuxième équation donne A=0 et (par exemple) la première entraîne alors 0

a= =b ce qui est contraire à l’hypothèse

( ) ( )

^{a b}^, ^≠ ^{0, 0} ^.

On suppose désormais a≠b.

(2)

PanaMaths Octobre 2014

Dans ce cas, en divisant les deux équations membre à membre, il vient : Ae 2 a b

Ae e a b

ϕ ϕ

ϕ

−

= = +

− On a alors :

ϕ existe ^{a b} ⁰

(

^{a b}

)(

^{a b}

)

⁰ ^a² ^b² ⁰ ^a ^b

a b

⇔ + > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >

−

Sous cette hypothèse, qui implique a≠0, il vient alors :

2

1 1 1

ln ln arg tanh

2 2 1

b

a b a b a b

e a b a b b a

a

ϕ = ⁺ ⇔ =ϕ ⁺ ⇔ =ϕ ⁺ ⇔ =ϕ

− − −

D’où, grâce à la deuxième équation du système :

( ) ( )

^{a b} ^sgn

( )

^{a b} ^sgn

( )

² ²

A a b e a b a b a b a b a b

a b a b

ϕ + +

= − = − = − × − × = − × −

− −

A et ϕ existent si, et seulement si : a > b et on a alors : arg tanhb

ϕ= a et ^A⁼^sgn

(

^{a b}^{− ×}

)

^a²⁻^b² ^{soit :}

( ) ( ) ( )

² ²

, cosh sinh sgn cosh arg tanh b

x a x b x a b a b x

a

⎛ ⎛ ⎞⎞

∀ ∈\ + = − × − ⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

Question 2.

On procède comme précédemment et on obtient cette fois : Ae a b Ae b a

ϕ ϕ

−

⎧ = +

⎪⎨

⎪⎩ = −

On trouve cette fois que le système n’admet de solution que pour b > a et elles s’écrivent alors : arg tanha

ϕ = b et ^A⁼^sgn

(

^{b a}^{− ×}

)

^b²⁻^a²^.

A et ϕ existent si, et seulement si : b > a et on a alors : arg tanha

ϕ= b et ^A⁼^sgn

(

^{b a}^{− ×}

)

^b²⁻^a² ^{soit :}

( ) ( ) ( )

² ²

, cosh sinh sgn cosh arg tanh a

x a x b x b a b a x

b

⎛ ⎛ ⎞⎞

∀ ∈\ + = − × − ⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

1. A quelle(s) condition(s) sur a et b peut-on trouver deux réels A et ϕ tels que : ∀ ∈ x \ , cosh a ( ) x + b sinh ( ) x = A cosh ( x + ϕ ) ?

PanaMaths Octobre 2014

Soit a et b deux réels tels que ( ) ( ) a b , ≠ 0, 0 .