MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 28 (du lundi 3 au vendredi 7 juin)
lyc´ee Chaptal
Fonctions de deux variables r´ eelles
I. Continuit´ e
II. Calcul diff´ erentiel
D´efinition de la d´eriv´ee d’une fonction f : R2 → R suivant un vecteur −→ h. D´eriv´ees partielles, explication des notations, sommes et produit de fonctions.
Exemples.
Fonction de classeC1 sur un ouvertU deR2. Th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel : si les d´eriv´ees partielles def sont continues surU, alors f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 en tout point deU dont la forme est ...
Corollaires : si les d´eriv´ees partielles sont continues,f est continue, de classeC1 et D−→
hf(a) =h1∂f∂x(a) +h2∂f∂y(a). Gradient.
D´erivation de quotients, de compos´ee de fonctions. Applications aux change- ments de variables.
D´eriv´ee d’ordre 2 : d´efinition d’une fonction de classeC2, Th´eor`eme de Schwarz.
III. Application du calcul diff´ erentiel : recherche d’extrema
Application `a la recherche des extremums d’une fonctionC1 d´efinie sur un ouvert deR2. Cas d’une partie non ouverte.
IV. Application du calcul diff´ erentiel : E.D.P.
Changement de variables lin´eaire :u(x, y) =ax+byetv(x, y) =cx+dy. Passage en coordonn´ees polaires : si ˜f(r, θ) =f(x, y), exprimer ∂∂rf˜et ∂∂θf˜en fonction de ∂f∂x et ∂f∂y et r´eciproquement. Notion de matrice jacobienne et de diff´eomorphisme.
Equations aux d´eriv´ees partielles : exemples.
Questions de cours
Q.1 Enoncer le th´´ eor`eme de d´erivation des fonctions compos´ees et l’utiliser pour justifier en pratique le changements de variables en polaires (pour les E.D.P).
Q.2 D´emontrer (`a partir du th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel) que si une application admet des d´eriv´ees partielles continues, alors elle est de classe C1.
Q.3 D´eterminer les extremums surR2 des fonctionsf(x, y) =x2+y2−2x−4y et g(x, y) = (x−y)2+ (x+y)3.
Q.4 D´eterminer les extremums de f(x, y) = x2 +y2 sur A = {(x, y) ∈ R2 | px2+y261}, surB= [0; 1]×[0; 1].
Q.5 Si g ∈ C2(R,R) et si f(x, y) = xg(xy), justifier que f est de classe C2 sur R∗+×Ret v´erifie le th´eor`eme de Schwarz.
Q.6 Calcul du gradient en coordonn´ees polaires.[facultative]Calcul du lapla- cien en polaires.
Q.7 R´esoudre l’ E.D.P. : (E) : x∂f∂x+y∂f∂y =p
x2+y2.
Q.8 R´esoudre l’E.D.P. : (E) : ∂f∂x+α∂f∂y = 0.
Q.9 Enoncer et d´´ emontrer les r´esultats sur les extrema d’une fonction de classe C1 sur un ouvert.
A venir : int´` egration sur R2 et R3.
