LM360 2012-2013 Universit´e Paris 6
Topologie et calcul diff´ erentiel (LM360) deuxi` eme session
18 juin 2013
Dur´ee : 3h. Sans documents.
Question de cours.Soit E un espace vectoriel norm´e. On suppose que toute s´erie absolument convergente d’´el´ements de E est convergente. Montrer queE est un espace de Banach.
Exercice 1.—Dans cet exercice, on note respectivement B(a, r) etBf(a, r) les boules ouverte et ferm´ee de centreaet de rayonr. SoientketN deux entiers strictement positifs, on consid`ere kpoints distincts a1, . . . , ak de RN. On d´efinit, pour tout entier positif n, l’ensemble
Kn=Bf(0, n+ 1)\
k
[
j=1
B
aj, 1 n+ 1
·
1. D´emontrer que, pour tout entier n, l’ensemble Knest une partie compacte de RN. 2. D´emontrer qu’il existe un entiern0 tel que
∀n≥n0, ∀j ∈ {1,· · ·, k}, Bf aj, 1
n+ 1
⊂B(0, n).
3. D´emontrer qu’il existe un entiern1 tel que pour toutn≥n1, l’ensembleKn est non vide.
4. D´emontrer que [
n∈N
Kn=RN \ {a1,· · ·, ak}.
5. D´emontrer qu’il existe un entiern2 tel que
∀n≥n2, ∀(j, j0)∈ {1,· · · , k}2/ j 6=j0, Bf
aj, 1
n+ 1
∩Bf
aj0, 1 n+ 1
=∅.
6.D´emontrer qu’il existe un entiern3 tel que, pour tout entiern≥n3, le compl´ementaire deKn a exactementk+ 1 composantes connexes.
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Exercice 2.— Soit f : RN → RN une application de classe C1, et U un ouvert de RN. On suppose que 0 appartient `a U, et que 0 est un point fixe def.
1. Dans cette question, on suppose qu’il existe une suite (xn)n∈N qui tend vers 0 et telle que, pour chaque entiern,xn est un point fixe def distinct de 0.
a. Montrer qu’il existen0 ∈Ntel que, pour tout n≥n0,xn appartient `a U. b. Montrer qu’il existe une suite extraite (xφ(k))k∈Ntelle que la suite
xφ(k) xφ(k)
!
k∈N
soit convergente. On notev sa limite.
c. Ecrire le d´eveloppement limit´e def `a l’ordre 1 au point 0.
d. Montrer queDf(0)·v =v.
2. Dans cette question, on suppose que 1 n’est pas valeur propre deDf(0).
a. Montrer qu’il existe deux ouvertsV etW, contenant 0, tels que l’application (f−Id)|V
est unC1-diff´eomorphisme entreV etW.
b. Montrer que 0 est le seul point fixe def dans V.
3. Comparer les r´esultats obtenus dans la question 1 et dans la question 2.
4. (Cette question est totalement ind´ependante des pr´ec´edentes) Exprimer la diff´erentielle de f◦f `a l’aide de Df, d’abord en un point quelconque deU, puis en 0.
Rappels d’alg`ebre lin´eaire. Etant donn´ee une application lin´eaire Φ : RN → RN, un r´eel λ est ditvaleur propre de Φ s’il existe un vecteurvnon nul tel que Φ(v) =λv. Les valeurs propres sont aussi les racines du polynˆome caract´eristique P(X) = Det(Φ−XId). L’application Φ est bijective si et seulement si son d´eterminant est non nul.
Exercice 3.—Soit f :R2 →Rd´efinie par f(x, y) =xey+yex.
1. Montrer quef n’a pas d’extremum local en un point (x, y) tel quex ouy soit positif ou nul.
2.Trouver un point (x0, y0) deR2, dont les deux coordonn´ees sont ´egales, et tel queDf(x0, y0) = 0.
3. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 def en ce point.
4. En d´eduire un d´eveloppement limit´e de f(x0 +h, y0 +h), et un d´eveloppement limit´e de f(x0+h, y0−h).
5. Conclure quant `a la nature de ce point critique.
6.Montrer que la diff´erentielle def ne s’annule en aucun autre point du plan. Finalement, quels sont les extrema locaux de f?
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