Licence LM360. Topologie et Calcul Diff´erentiel
Examen du 4 janvier 2011. Dur´ee: 3 heures. ∗
Probl`eme 1
Rappellons que dans un espace m´etrique (X, d), la boule ouverte de centre a∈X et rayon R∈[0,+∞[ est d´efinie parB(a;R) ={x∈X;d(a, x)< R}.
On dit que (X, d) est un espace ultram´etrique sid(x, z)≤sup(d(x, y), d(y, z) pour tout x, y, z dans X. Dans la suite, (X, d) d´esignera un espace ul- tram´etrique.
Question1. Soientx, y, z ∈X.
(a) Montrer que d(x, y) 6= d(y, z) entraine d(x, z) = sup(d(x, y), d(y, z)) et en d´eduire que au moins deux des quantit´es d(x, y), d(y, z), d(x, z) sont
´egales.
(b) Soit a∈ X et R ∈]0,+∞]. Monter que B(a;R) est `a la fois ouverte et ferm´ee dansX.
(c) Montrer que la composante connexe de tout point x ∈X est r´eduite `a ce point.
Question2. On note X l’espace des suites `a valeurs complexes. On ´ecrira un ´el´ement f de X sous la forme f = (f(j))j. On pose
v(f) = inf{j∈N;f(j)6= 0}avec v(0) = +∞, et pourf etg dansX, on pose
d(f, g) = 2−v(f−g). (a) Montrer que (X, d) est un espace ultram´etrique.
(b) SoitR∈]0,1[ et soitf ∈X. D´emontrer queg∈B(f;R) si et seulement si il existe un entierjR que l’on d´eterminera tel que f(j) = g(j) pour tout j≤jR.
(c) Montrer que l’espace (X, d) est complet.
∗Barˆeme indicatif sur 20: Pb 1: (1+2+2)+ (1+1+2); Pb 2: 1+2+3+2; Pb 3: 2+3+4
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Probl`eme 2
On consid`ere l’ensemble S = {(x, y, z) ∈ R3;x2 −y2 +z+ 1 = 0} et la fonctionf(x, y, z) = 3x2−y2+z2.
(a) Montrer queS est une surface deR3.
(b) Montrer quef(x, y, z) tend vers +∞quand|x|+|y|+|z|tend vers +∞
avec (x, y, z)∈S.
(c) En d´eduire que f atteint son minimum sur S.
(d) D´eterminer en quel(s) point(s) ce minimum est atteint.
Probl`eme 3
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R muni de la norme ||f|| = supt∈[0,1]|f(t)|. Soit d’autre part ϕ:R → R une fonction continue. On d´efinit la fonction Φ : E→E par
Φ(f) =ϕ◦f.
(a) Montrer que si ϕ est uniform´ement continue, alors la fonction Φ est continue.
(b) En d´eduire que (mˆeme siϕn’est pas uniform´ement continue) la fonction Φ est continue. (Rappellons qu’une fonction continue sur un compact est uniform´ement continue.)
(c) Montrer que siϕest de classeC1 surRalors la fonction Φ est C1 surE.
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