Topologie et Calcul Diff´ erentiel

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM360

Lundi 8 janvier 2007

Topologie et Calcul Diff´ erentiel

Dur´ee 3 heures – sans document

Dans tout le sujet, la diff´erentielle d’une fonction f d´efinie sur un ouvertU d’un espace de BanachE `a valeurs dans un espace de BanachF en un pointx de U sera toujours not´ee f⁰(x), et nonDf_x, et sa valeur sur un vecteur h de E sera not´ee f⁰(x).h .

I

Soient M(n) l’espace vectoriel des matrices r´eelles (n, n) et f la fonction de M(n) dans M(n) d´efinie par f(M) = (trM)·M, o`u trM d´esigne la trace P

im_i,i de la matrice M = (m_i,j).

Montrer que f est de classe C² sur M(n), et calculerf⁰(A) et f⁰⁰(A), pour A∈M(n).

II

Soit u une application lin´eaire non identiquement nulle de l’espace euclidien Rⁿ dans lui-mˆeme. On veut montrer qu’il existe n vecteurs (x1, x2, . . . , xn) de norme 1 et deux `a deux orthogonaux dont les images aient toutes mˆeme norme.

Pour x et y dans Rⁿ, on note hx, yi le produit scalaire de x et y, et kxk=p hx, xi. 1) Montrer que la fonction ∫ : x 7→ kxk² = hx, xi est de classe C¹ sur Rⁿ et que, pour h∈Rⁿ, on a∫⁰(x).h= 2hx, hi.

2) On d´efinit la fonctionf sur E = (Rⁿ)ⁿ par f(X) =

Yn

j=1

ku(xj)k² o`u X = (x1, x2, . . . , xn)

Montrer que f est de classe C¹ et que, si f(X)6= 0, on a pour H = (h1, h2, . . . , hn) 1

f(X)f⁰(X).H = Xn

j=1

2

ku(xjk²hu(xj), u(hj)i

3) Pour 16i 6j 6netX ∈E, on poseϕi,j(X) =

Ωhx_i, x_ji si i < j

hx_i, x_ii −1 si i =j . Montrer que les fonctions ϕ_i,j sont de classe C¹ et d´eterminer leurs diff´erentielles.

4) Montrer que l’ensembleO_n desn-uplets (x₁, x₂, . . . , x_n) de vecteurs de Rⁿ de norme 1 et deux `a deux orhogonaux est une partie compacte de E, et que

On={X ∈E :ϕi,j(X) = 0 pour 1 6i6j 6n} . 5) Montrer qu’il existe unX = (x₁, x₂, . . . , x_n)∈O_n tel que f(X)>0.

6) Montrer que la fonction f atteint sur O_n un maximum strictement positif en un point A= (a1, a2, . . . , an), et enfin qu’il existe des nombres r´eels (∏i,j)16i6j6n tels que, pour tout H = (h₁, h₂, . . . , h_n)∈E, on ait

Xn

j=1

2

ku(a_j)k²hu(a_j), u(h_j)i= X

16i6j6n

∏_i,j°

ha_i, h_ji+hh_i, a_ji¢

7) On fixe i et j avec i < j. Montrer, en prenant hj = ai, hi = −aj et hk = 0 pour k /∈ {i, j}, qu’on doit avoir

√ 1

ku(a_i)k² − 1 ku(a_j)k²

!

hu(a_i), u(a_j)i= 0

et en d´eduire que si les vecteursu(ai) etu(aj) n’ont pas la mˆeme norme, ils sont orthogonaux.

8) On suppose que X = (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ O_n, que f(X) > 0, que hu(x_i), u(x_j)i = 0 et queku(x_i)k 6=ku(x_j)k. On pose alorsx⁰_i = x_i+x_j

√2 ,x⁰_j = x_i−x_j

√2 etx⁰_k =x_k pourk /∈ {i, j}. Montrer que X⁰ = (x⁰₁, x⁰₂, . . . , x⁰_n)∈O_n et que

ku(x⁰_i)k² =∞∞u(x⁰_j)∞∞² = 1 2

°ku(xi)k²+ku(xj)k²¢

>ku(xi)k · ku(xj)k

En d´eduire que f(X⁰)> f(X).

9) Montrer que les vecteurs ° u(a_j)¢

16j6n ont tous mˆeme norme.

III

On note F l’espace de Banach des applications continues f de [0,1] dans R muni de la norme de la convergence uniforme : kfk₀ = sup_t∈[0,1]|f(t)|.

On noteE l’espace de Banach des fonctionsyde classeC²de [0,1] dansRqui s’annulent en 0 et en 1, muni de la normekyk= sup_t∈[0,1]|y⁰⁰(t)|+ sup_t∈[0,1]|y⁰(t)|+ sup_t∈[0,1]|y(t)|.

On consid`ere l’application ϕ:E →F d´efinie par ϕ(y) =y<sup>00</sup> +h·y<sup>02</sup>+k·y<sup>2</sup>, o`u h et k sont deux fonctions r´eelles continues donn´ees sur [0,1].

1) Montrer que l’application Φ :E ×E →F d´efinie par Φ(y, z) = h·y⁰ ·z⁰+k·y·z est bilin´eaire continue.

2) Montrer que ϕest de classe C¹ sur E et calculer la diff´erentielle ϕ⁰(0) de ϕen 0.

3) Montrer que ϕ⁰(0) est un isomorphisme deE sur F.

4) D´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’il existe un ε > 0 tel que, pour toute fonction f ∈ F v´erifiantkfk<sub>0</sub> < ε, il existe uny∈E tel queϕ(y) =f, c’est-`a-dire une solution de l’´equation diff´erentielley⁰⁰+h(x)y⁰²+k(x)y² =f(x) qui s’annule en 0 et en 1.