Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360
Lundi 29 janvier 2007
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 3 heures – sans document
Dans tout le sujet, la diff´erentielle d’une fonction f d´efinie sur un ouvertU d’un espace de BanachE `a valeurs dans un espace de BanachF en un pointx de U sera toujours not´ee f0(x), et nonDfx, et sa valeur sur un vecteur h de E sera not´ee f0(x).h .
I
Soient P = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ 2y2+z2 = 5 et x2 +y2−2z = 0}, ϕ la fonction de R3 dans R2 d´efinie parϕ(x, y, z) =°
x2+ 2y2+z2−5, x2+y2−2z¢
, et f la fonction de R3 dans Rd´efinie par f(x, y, z) =y+z.
1) Montrer que P est une partie compacte non vide deR3.
2) Montrer qu’en tout pointm de P, le rang de la diff´erentielle de ϕ est 2.
3) Trouver tous les points d’extrema de f et pr´eciser leur nature.
II 1) Enoncer le th´eor`eme des fonctions implicites.
2) Montrer que le syst`eme d’´equations :
x3+y3+z3+t2 = 0 x2+y2+z2+t = 2 x+y+z+t = 0
a une unique solution (x, y, z) = f(t) proche de (0,−1,1) pour t donn´e assez petit.
D´eterminer la d´eriv´ee def en 0.
III
1) Soient X un espace topologique s´epar´e etK une partie de X. Que signifie l’assertion :
“K est une partie compacte de X”?
Montrer que si (Kn)n∈N est une suite d´ecroissante de parties compactes non vides de X, alors l’intersection T
n∈NKn est non vide.
Soient E un espace euclidien de dimension finie et K une partie compacte non vide de E. On suppose que x0 est un point de E et qu’il existe un unique point y0 de K tel que kx0−y0k = d(x0, K). On veut montrer que la fonction δ : x 7→ d(x, K)2 est diff´erentiable en x0.
2) Soient ε >0 et Kε :={y∈K :ky−y0k>ε}. Montrer que si on pose Yn ={y∈Kε:ky−x0k6ky0 −x0k+ 2−n}
la suite (Yn) est une suite d´ecroissante de compacts telle que T
nYn =∅. 3) En d´eduire qu’il existe un entier nε tel que 2−nε < ε et que Ynε =∅. 4) Montrer alors que si kx−x0k<2−nε−1 et z ∈Kε, on a
kx−zk>kx0−zk − kx−x0k>(kx0−y0k+ 2−nε)−2−nε−1 =kx0−y0k+ 2−nε−1 et
d(x, K)6d(x, y0)6d(x0, y0) +kx−x0k<kx0−y0k+ 2−nε−1 <kx−zk
En d´eduire que tout point y de K tel que kx−yk = d(x, K) v´erifie y /∈ Kε, donc ky−y0k< ε.
5) Soient x tel que kx−x0k<2−nε−1 et y∈K tel que kx−yk=d(x, K). Montrer que δ(x) =d(x, K)2 6kx−y0k2 =kx0−y0k2+ 2hx−x0, x0−y0i+kx−x0k2
et que
δ(x0)6kx0−yk2 =k(x0−x) + (x−y)k2
6δ(x)− kx−x0k2−2hx−x0, x0−y0i+ 2hx−x0, y−y0i 6δ(x)−2hx−x0, x0−y0i+ 2εkx−x0k
En d´eduire que
−2εkx−x0k6δ(x)−δ(x0)−2hx−x0, x0−y0i6kx−x0k2 6 ε
2kx−x0k
Conclure que δ est diff´erentiable en x0 et que δ0(x0).h = 2hh, x0−y0i.
6) Montrer que la fonctionx7→d(x, K)3/2 =δ(x)3/4est diff´erentiable enx0, et d´eterminer sa diff´erentielle (on distinguera le cas x0 ∈/ K et le casx0 ∈K).
