Calcul diff´erentiel

Calcul diff´ erentiel

Table des mati` eres

I Diff´ erentiabilit´ e 2

1 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles 2

1.1 D´eriv´ees partielles . . . 2

1.2 Diff´erentielle . . . 5

2 Cas des applications num´eriques 7 2.1 Le gradient . . . 7

2.2 Recherche des extrema . . . 8

3 Applications continˆument diff´erentiables 9 3.1 D´efinition . . . 9

3.2 Exemples . . . 10

4 Composition 12 5 Un peu de g´eom´etrie diff´erentielle 15 5.1 Image d’un arc param´etr´e . . . 15

5.2 Vecteurs tangents . . . 16

5.3 Plan tangent `a une surface . . . 16

5.4 Surfaces de niveau . . . 18

II Applications de classe C

19

6 D´efinitions 19

7 Op´erations alg´ebriques 20

8 Th´eor`eme de Schwarz 21

Calcul diff´erentiel 1 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles

9 Equations aux d´eriv´ees partielles 21

9.1 Passage en coordonn´ees polaires . . . 21 9.2 Un autre exemple . . . 22 Dans ce chapitre, on fixe

⋄ un couple d’entiers strictement positifs (n, p),

⋄ deuxR-espaces vectoriels E etF de dimensions respectives pet n,

⋄ un ouvert U de E,

⋄ une base e= (e1, . . . , ep) de E,

⋄ une base e^′ = (e^′₁, . . . , e^′_n) de F,

⋄ et une application f :U −→F . Pour tout x=

p

X

j=1

xjej, f(x) =fX^p

j=1

xjej

d´epend desp variables r´eelles x1, . . ., xp. On acceptera de noter f(x) =f(x1, . . . , xp).

Ce chapitre s’int´eresse donc aux fonctions de plusieurs variables, pour lesquelles nous allons d´evelopper une notion (la diff´erentielle) qui g´en´eralise la notion de d´eriv´ee d’une fonction d’une variable r´eelle.

Premi` ere partie

Diff´ erentiabilit´ e

1 Diff´ erentielles et d´ eriv´ ees partielles

1.1 D´ eriv´ ees partielles

Introduction.Souvent, pour ´etudier une fonction de plusieurs variables, on se ram`ene par restriction `a des fonctions d’une seule variable. Par exemple, on peut restreindre l’ensemble de d´epart de f `a une droite affine. Cette approche conduit `a la notion de d´eriv´ees partielles.

Notation. Fixons a ∈U et v ∈E\ {0}.

⋄ L’applicationt 7−→f(a+tv) est une fonction d’une seule variable qui correspond `a la restriction de f `a la droite affine passant par a et dirig´ee par v.

⋄ f est d´efinie sur l’ouvert U, donc il existe r > 0 tel que Bo(a, r) ⊂ U. Ainsi l’applicationt 7−→f(a+tv) est au moins d´efinie sur I =]−ε, ε[, o`u ε= r

kvk >0.

D´efinition. Si t 7−→ f(a +tv) est d´erivable en 0, on dit que f est partiellement d´erivable en a selon le vecteur v, et dans ce cas, la d´eriv´ee de t7−→f(a+tv) en 0 est appel´ee la d´eriv´ee partielle def ena selon le vecteurv; elle est not´eeDvf(a). Lorsque

Calcul diff´erentiel 1 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles Dvf(a) est d´efinie, on dispose ainsi de la formule suivante :

D_vf(a) =d

dt[f(a+tv)]

(0).

Propri´et´e. Pour toutx∈U, notonsf(x) =

n

X

i=1

fi(x)e^′_i.

D_vf(a) est d´efinie si et seulement si, pour tout i∈N_n, D_vf_i(a) est d´efinie, et dans ce cas,

D_vf(a) =

n

X

i=1

D_vf_i(a)e^′_i. D´emonstration.

On sait que l’application t 7−→ f(a+tv) =

n

X

i=1

fi(a+tv)e^′_i est d´erivable en 0 si et seulement si pour tout i ∈ N_n, t 7−→ fi(a+tv) est d´erivable en 0, et dans ce cas, on sait que

d

dt[f(a+tv)]

(0) =

n

X

i=1

d

dt[fi(a+tv)]

(0)e^′_i.

Propri´et´e. Soient g : U −→F et (α, β)∈R². SiDv(f)(a) etDv(g)(a) sont d´efinies, alors D_v(αf +βg)(a) est d´efinie et D_v(αf +βg)(a) = αD_v(f)(a) +βD_v(g)(a).

Propri´et´e. On suppose que F =R. Soitg : U −→R. Si Dv(f)(a) et Dv(g)(a) sont d´efinies, alorsDv(f g)(a) est d´efinie et Dv(f g)(a) = g(a)Dv(f)(a) +f(a)Dv(g)(a).

D´emonstration.

Dv(f g)(a) = d

dt[f(a+tv)×g(a+tv)]

(0) =f(a)Dvg(a) +g(a)Dvf(a).

D´efinition. Soit j ∈ N_p. Si elle existe, on appelle j^`eme d´eriv´ee partielle de f en a la d´eriv´ee partielle de f en a selon le vecteur ej. Dans ce cas, on la note Djf(a) ou

∂f

∂xj

(a), et on dispose ainsi des formules suivantes :

Djf(a) = ∂f

∂xj

(a) =Dejf(a) =d

dt[f(a+tej)]

(0).

Remarque. Cette d´efinition d´epend du choix de la base e de E.

Exemple 1. Consid´erons l’application f deR² dans R d´efinie par

∀(x, y)∈(R²)\ {0} f(x, y) = (x²−y²) ln(x²+y²) et f(0,0) = 0.

• |f(x, y)| ≤ k(x, y)k²2|ln(k(x, y)k²2)| −→

(x,y)→00, donc f est une application continue sur R².

• Soit (x, y)∈(R²)\ {0}.

Calcul diff´erentiel 1 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles

⋄ Dans la quantit´e ∂f

∂x(x, y), les deux occurrences de la variable x jouent des rˆoles diff´erents. Le ’x’ de ∂x repr´esente le nom g´en´erique de la premi`ere variable de f alors que le ’x’ du couple (x, y) repr´esente un r´eel fix´e.

⋄ En revenant `a la d´efinition,

∂f

∂x(x, y) =d

dt[f((x, y) +t(1,0))]

(0)

=d

dt[f(x+t, y)]

(0) = d

dz[f(z, y)]

(x)

= d((z²−y²) ln(z²+y²))

dz (x)

= 2xln(x² +y²) + (x²−y²)2x x²+y² .

A l’usage, dans des cas simples, on utilise x`a la place des variables z out, maisx doit alors ˆetre vu tantˆot comme une variable et tantˆot comme un r´eel fix´e.

⋄ En (0,0), ∂f

∂x(0,0) = d(f(x,0)) dx (0).

Or f(x,0) =x²ln(x²) si x6= 0 etf(0,0) = 0, donc d(f(x,0))

dx (0) = lim

x→0

x²ln(x²)

x = 0, donc ∂f

∂x(0,0) = 0.

• Soit (x, y)∈R². f(y, x) =−f(x, y), donc

∂f

∂y(x, y) = d(f(x, z))

dz (y) = −d(f(z, x))

dz (y) =−∂f

∂x(y, x).

Pour la clart´e du calcul pr´ec´edent, l’utilisation d’une troisi`eme variable z est indispen- sable.

Exemple 2.Consid´erons l’applicationfdeR² dansRtelle que, pour tout (x, y)∈R², si y6= 0, alors f(x, y) = x²

y et si y= 0, alors f(x,0) = 0.

• Calculons les d´eriv´ees partielles de f en 0.

Soit v = (a, b)∈R²\ {0}.

Sib 6= 0, pour tout t∈R^∗, f(tv)−f(0)

t = t²a² t²b = a²

b −→_t→0 a² b . Sib = 0, f(tv)−f(0)

t = 0,

donc f admet en (0,0) une d´eriv´ee partielle selon toutes les directions.

• Pourtantf n’est pas continue en 0 (bien sˆur, 0 = (0,0)).

En effet, f(t,0) = 0−→_t→0

t6=0

0 et f(t, t²) = 1−→_t→0

t6=0

1.

Ainsi, l’existence en un point des d´eriv´ees partielles selon toutes les directions ne ga- rantit mˆeme pas la continuit´e en ce point.

• Cet exemple montre que la notion de d´eriv´ee partielle se comporte mal relativement `a la composition. En effet,f admet en 0 des d´eriv´ees partielles selon toutes les directions, t 7−→ (t, t²) est une application d´erivable en 0, mais t 7−→ f(t, t²) n’est pas d´erivable en 0, car elle n’est mˆeme pas continue en 0.

• La notion de d´eriv´ee partielle n’est donc pas une g´en´eralisation satisfaisante de la notion de d´eriv´ee au cas d’une fonction de plusieurs variables.

Calcul diff´erentiel 1 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles Remarque. De mˆeme, `a propos de la continuit´e d’une application de plusieurs va- riables, on peut construire une application f : R² −→ R telle que, pour tout x ∈R, y7−→f(x, y) est continue, pour tout y ∈R, x7−→f(x, y) est continue, mais telle que f n’est pas continue.

Par exemple, on peut poser f(x, y) = xy

x²+y² si (x, y)6= 0 et f(0,0) = 0. En effet, si x 6= 0, y 7−→ f(x, y) = xy

x²+y² est continue et si x = 0, y 7−→ f(x, y) = 0 est aussi continue. Par sym´etrie, il en est de mˆeme pourx7−→f(x, y) `a y fix´e. Maisf n’est pas continue en 0 car pour t6= 0, f(t, t) = 1

2 −→_t→0

t6=0

1

2 et f(t,0) = 0−→_t→0

t6=0

0.

1.2 Diff´ erentielle

Notation. Dans ce chapitre, si u∈ L(E, F) et h∈ E, on notera souvent u.h au lieu deu(h).

D´efinition. On dit que f est diff´erentiable au pointa si et seulement sif admet ena un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1, c’est-`a-dire si et seulement s’il existe u∈L(E, F) telle quef(a+h) =

h→0 a+h∈U

f(a) +u.h+o(h), ce que l’on peut encore ´ecrire sous la forme : 1

khk(f(a+ h)−f(a)−u.h) −→_h→0

a+h∈U

0. Dans ce cas u est unique. Elle est appel´ee la diff´erentielle def ena, ou encore l’application lin´eaire tangente `af ena. Elle est not´ee d(f)(a), si bien que lorsque f est diff´erentiable en a, pour h au voisinage de 0,

f(a+h) = f(a) +d(f)(a).h+o(h), et d(f)(a)∈L(E, F).

D´emonstration.

Supposons qu’il existeu et v dans L(E, F) telles que

f(a+h) = f(a) +u(h) +o(h) =f(a) +v(h) +o(h). Ainsi, (u−v)(h) =o(h).

Soit x∈E. Pourt ∈R^∗ au voisinage de 0, (u−v)(tx) =o(t), donc (u−v)(x) = ¹_t(u−v)(tx) =o(1) −→_t→0

a+tx∈U

0, donc (u−v)(x) = 0.

Remarque. Lorsque f : U −→ F est diff´erentiable au point a ∈ U, en premi`ere approximation f est assimilable au voisinage du point a `a la somme d’une fonction constante et d’une application lin´eaire.

Remarque. Lorsque E =R,f :U −→F est diff´erentiable en a∈U si et seulement si f est d´erivable en a et dans ce cas, d(f)(a).h=f^′(a).h=h.f^′(a).

En particulier, f^′(a) =d(f)(a).1 . D´emonstration.

f est d´erivable en a si et seulement si f admet au voisinage de a un d´eveloppement limit´e de la formef(a+h) = f(a)+lh+o(h), donc si et seulement sif est diff´erentiable ena.

Calcul diff´erentiel 1 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles Dans ce cas, l =f^′(a) et la diff´erentielle de f en a est l’application R −→ F

h 7−→ f^′(a)h. Exemple. Soit F : R² −→ R²

(x, y) 7−→ (f(x, y), g(x, y)) o`u

f(x, y) =x+y−x³ g(x, y) =x−y+xy. F(x, y) =

x+y x−y

+

−x³ xy

. Choisissons surR²la norme infinie. Ainsi|x| ≤ k x

y

k donc |x|=O

k

x y

k

. De mˆeme,|y|=O

k x

y

k

, donc k

−x³ xy

k ≤ |x|³+|x||y|=O

k x

y

k³

+O

k x

y

k²

=o

k x

y

k

, ce qui montre que

−x³ xy

=o

k x

y

k

. AinsiF(x, y) = F(0,0)+

x+y x−y

+o

k

x y

k

, ce qui prouve queF est diff´erentiable en 0 et que

d(F)(0) : R² −→ R² (x, y) 7−→

x+y x−y

.

Propri´et´e. Si f est diff´erentiable en a, alors f est continue en a.

D´emonstration.

f(a+h) = f(a) +d(f)(a)(h) +o(h) −→_h→0

a+h∈U

f(a).

Propri´et´e. On suppose que f est diff´erentiable en a . Alors pour tout v ∈ E, f admet une d´eriv´ee partielle en a selon le vecteur v et

D_vf(a) =d(f)(a)(v).

D´emonstration.

f ´etant diff´erentiable en a, f(a +tv) = f(a) +d(f)(a)(tv) +o(tv) lorsque t est au voisinage de 0, donc f(a+tv) =f(a) +td(f)(a)(v) +o(t).

Ainsi f(a+tv)−f(a)

t −→

t→0 d(f)(a)(v).

Remarque. L’exemple 2 montre que la r´eciproque est fausse. f peut admettre en a des d´eriv´ees partielles selon toutes les directions sans qu’elle soit diff´erentiable en a.

En effet, dans l’exemple 2, f n’est pas continue en 0, donc a fortiori, elle n’est pas diff´erentiable en 0.

Propri´et´e. On suppose quef est diff´erentiable ena. Alors toutes les d´eriv´ees partielles def ena sont d´efinies et pour tout h =

p

X

j=1

hjej,

d(f)(a).h=

p

X

j=1

hjd(f)(a)(ej) =

p

X

j=1

hj

∂f

∂xj

(a).

Calcul diff´erentiel 2 Cas des applications num´eriques Ainsi

d(f)(a) =

p

X

j=1

dx_j ∂f

∂xj

(a),

o`udxj d´esigne l’application j-i`eme coordonn´ee dans la base e.

D´efinition. Pour tout x ∈ U, notons f(x) =

n

X

i=1

fi(x)e^′_i. On suppose que f est diff´erentiable ena. On appelle matrice jacobienne def enala matrice ded(f)(a) dans les bases e et e^′. On la note Jf(a) ∈ M^n,p(R). Ainsi les colonnes de Jf(a) sont les coordonn´ees dans la base e^′ des d(f)(a)(ej) = ∂f

∂xj

(a). On dispose donc de la formule suivante :

Jf(a) = ∂fi

∂x_j(a)

1≤i≤n 1≤j≤p

.

D´efinition. On dit que f est diff´erentiable sur U lorsque, pour tout a ∈ U, f est diff´erentiable en a. Dans ce cas, on dispose de la diff´erentielle de f,

not´ee d f : U −→L(E, F).

2 Cas des applications num´ eriques

2.1 Le gradient

Notation. dans ce paragraphe, on suppose que f est num´erique, au sens queF =R. D´efinition. Supposons queE est un espace euclidien et quef est diff´erentiable en a.

Si x, y ∈ E, on notera x.y ou bien < x, y > le produit scalaire entre x et y. Dans ce cas, on sait que l’application E −→ L(E,R)

x 7−→ < x, . > est un isomorphisme.

Or d(f)(a) ∈ L(E,R), donc il existe un unique g ∈ E tel que pour tout h ∈ E, d(f)(a).h=g.h.

g est appel´e le gradient de f en a et est not´e∇f(a). Ainsi ∇f(a) est caract´eris´e par la relation

∀h∈E (∇f(a)).h=d(f)(a).h.

Sie = (e1, . . . , ep) est une base orthonorm´ee de E, on v´erifie que

∇f(a) =

p

X

j=1

∂f

∂xj

(a)ej.

Propri´et´e. Avec les notations et hypoth`eses pr´ec´edentes, lorsque h est au voisinage de 0, l’accroissement de f entre a eta+h vaut f(a+h)−f(a) = (∇f(a)).h+o(h).

Calcul diff´erentiel 2 Cas des applications num´eriques Supposons que ∇f(a) 6= 0. D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, lorsque h est uni- taire, (∇f(a)).h ≤ k∇f(a)kkhk = k∇f(a)k, avec ´egalit´e si et seulement si h est co- lin´eaire `a ∇f(a) et de mˆeme sens.

Ainsi∇f(a) indique la direction hselon laquelle l’augmentation def(a) `af(a+h) est maximale, avec h unitaire.

On dit aussi que−∇f(a) est la direction de plus grande pente.

2.2 Recherche des extrema

D´efinition. On suppose que f :U −→Rest diff´erentiable.

On dit que a∈U est un point critique def si et seulement si d(f)(a) = 0, c’est-`a-dire si et seulement si pour toutj ∈ {1, . . . , p}, ∂f

∂xj

(a) = 0.

Th´eor`eme. On suppose que f :U −→R est diff´erentiable.

Sif admet un extremum local ena ∈U, alors a est un point critique de f. D´emonstration.

Supposons par exemple que f admet un maximum local en a, c’est-`a-dire qu’il existe un voisinage V dea tel que ∀x∈V f(x)≤f(a).

Notons a=

p

X

j=1

a_je_j et soit j ∈ {1, . . . , p}. la fonction R −→ R

x 7−→ f(a+xej) admet un maximum local en 0. Comme elle est d´efinie et d´erivable sur un voisinage de 0, sa d´eriv´ee en 0 est nulle. Ainsi ∂f

∂xj

(a) = 0.

Exercice. Parmi les pav´es de R³ (i.e : les parall´el´epip`edes droits) d’un volume fix´e, d´eterminer ceux dont la surface est minimale.

R´esolution.

• Notons V >0 le volume fix´e. La surface d’un pav´e deR³ de volume V d´epend des dimensions l, h et V

lh de ce pav´e.

Il s’agit donc de rechercher le minimum def(l, h) = lh+V h +V

l d´efinie surR^∗₊².

∂f

∂l(l, h) = h−V

l² et ∂f

∂h(l, h) =l−V

h². Ainsi, si (l, h)∈R^∗

+2 est un point critique, hl= V²

(hl)², donchl =V ²³, puis h=l = V

hl =V ¹³. R´eciproquement, on v´erifie que le point (V ¹³, V ¹³) ∈ R^∗

+

2 est un point critique de f. Ainsi, f admet un unique point critique ´egal `a (√³

V ,√³

V) (correspondant `a un cube).

• Notonsm =f(√³ V ,√³

V) = 3V ²³ et montrons qu’il s’agit d’un minimum global.

Pourε >0, notonsDε= (]0, ε[×R^∗

+)∪(R^∗

+×]0, ε[).

Pour tout (l, h)∈Dε,f(l, h)≥ V

ε. Choisissons ε tel que V ε > m.

Calcul diff´erentiel 3 Applications continˆument diff´erentiables Ainsi, ∀(l, h)∈Dε f(l, h)> m.

Soit M ∈ R^∗

+. Notons K = (R^∗

+2

\ Dε)∩ Bf(0, M) o`u Bf(0, M) est la boule ferm´ee pour la norme infinie de centre 0 et de rayon M . Si (l, h) ∈ R^∗

+ 2 \K, ou bien (l, h) ∈ Dε et dans ce cas f(l, h) > m, ou bien lh ≥ M ε et dans ce cas f(l, h)≥M ε.

Choisissons M > m

ε . Ainsi, pour tout (l, h)∈R^∗

+2

\K,f(l, h)> m.

De plusK est ferm´e et born´e, donc il est compact, donc f/K admet un minimum global, et c’est un minimum global pour f. Il s’agit n´ecessairement de l’unique point critique de f. On a prouv´e que le point (√³

V ,√³

V) est l’unique point en lequelfatteint son minimum global. Ainsi la surface du pav´e est minimum lorsque ce pav´e est un cube.

3 Applications continˆ ument diff´ erentiables

3.1 D´ efinition

Introduction. La notion de d´eriv´ee partielle est simple mais elle se comporte mal pour la composition. Au contraire, la notion de diff´erentielle est plus abstraite, mais elle se comporte bien pour la composition (cf le chapitre 4).

Ces deux notions sont cependant “´equivalentes” sous une condition plus forte de r´egularit´e (application de classe C¹). C’est ce que d´emontre le th´eor`eme fondamen- tal ci-dessous.

D´efinition. On dit que f est une application de classe C¹ sur U, ou qu’elle est continˆument diff´erentiable sur U si et seulement si f est diff´erentiable et d(f) est continue de U dans L(E, F).

Th´eor`eme. f est de classe C<sup>1</sup> sur U si et seulement si pour tout j ∈ {1, . . . , p}, l’applicationj<sup>`eme</sup> d´eriv´ee partielle de f est d´efinie et continue de U dans F.

D´emonstration.

Admis.

Propri´et´e. f est de classe C¹ sur U si et seulement si pour tout v ∈ E \ {0}, l’applicationDv(f) est d´efinie et continue.

D´emonstration.

Si pour tout v ∈ E \ {0}, l’application Dv(f) est d´efinie et continue, alors c’est en particulier le cas pour les d´eriv´ees partielles de f, doncf est de classe C¹.

R´eciproquement, si f est de classe C¹, pour tout v ∈ E\ {0}, on peut construire une base de E dont v est le premier vecteur. Alors Dv(f) = ∂f

∂x1

, doncDv(f) est d´efinie et continue sur U.

Calcul diff´erentiel 3 Applications continˆument diff´erentiables

Propri´et´e.

f : U −→ F x 7−→

n

X

i=1

fi(x)e^′_i est de classe C¹ sur U si et seulement si pour tout i∈N_n, fi est de classeC¹ sur U.

D´emonstration.

Pour tout j ∈ {1, . . . , p}, les applications composantes de ∂f

∂xj

sont les ∂fi

∂xj

.

3.2 Exemples

Exemple. Reprenons l’exemple 1. Les d´eriv´ees partielles sont d´efinies sur R² et sont continues sur (R²)\ {0} d’apr`es les th´eor`emes usuels.

Etude en (0,0). Si (x, y)6= 0,

∂f

∂x(x, y)

≤ 2k(x, y)k²|lnk(x, y)k²2|+ 2k(x, y)k² −→

(x,y)→00, donc ∂f

∂x est une application continue en 0.

Comme ∂f

∂y(x, y) =−∂f

∂x(y, x), ∂f

∂y est aussi continue en 0.

Ainsif est de classe C¹ sur R².

Exemple. On suppose que E est euclidien et que e est une base orthonorm´ee deE.

Etudions la diff´erentiabilit´e de l’application k.k: E −→ R x 7−→ kxk.

• Non diff´erentiabilit´e dek.k en 0 : Soit i∈N_p. kte_ik

t = |t|

t n’admet pas de limite lorsque t tend vers 0, donc k.k n’admet aucune d´eriv´ee partielle en 0.

On en d´eduit que k.k n’est pas diff´erentiable en 0.

• Diff´erentiabilit´e de k.k sur E\ {0}. Premi`ere m´ethode :

⋄ Soit i∈ {1, . . . , p} et x∈E\ {0}.

Calculons, si elle existe, la i^`eme d´eriv´ee partielle de k.ken x.

kxk= v u u t

p

X

j=1

x²_j, donc cette d´eriv´ee partielle est d´efinie et ∂k.k

∂xi

(x) = xi

kxk. Ainsi, toutes les d´eriv´ees partielles sont d´efinies et continues sur E\ {0}.

⋄ On en d´eduit que k.k est une application de classe C¹ surE\ {0}. De plus, pour tout h=

p

X

j=1

hjej,dk.k(x)[h] =

p

X

i=1

∂k.k

∂xi

(x)hi =

p

X

i=1

xi

kxkhi, donc dk.k(x) =

h7−→ < x, h >

kxk

. Enfin, ∇k.k(x) = x

kxk. Seconde m´ethode :

Calcul diff´erentiel 3 Applications continˆument diff´erentiables

⋄ Soient x∈E\ {0} et h∈E.

kx+hk=p

kxk²+khk²+ 2< x, h > =kxk r

1 + 2< x

kxk², h >+o(h), donc kx+hk=kxk(1+< x

kxk², h >+o(h))) =kxk+< x

kxk, h >+o(h).

L’application h 7−→< x

kxk, h > ´etant lin´eaire, l’´egalit´e pr´ec´edente prouve que k.k est diff´erentiable en x et que d(k.k)(x)(h) =< _kxk^x , h >.

Ainsi, ∇k.k(x) = x kxk.

⋄ Pour tout i ∈ {1, . . . , p}, ∂k.k

∂xi

(x) = d(k.k)(x)(ei) = x_i

kxk. Ainsi ∂k.k

∂xi

est continue, ce qui prouve quek.k est C¹.

Propri´et´e.

Si f est une application lin´eaire de E dans F,

alors f est de classeC¹ et, pour tout a∈E, d(f)(a) = f.

D´emonstration.

Soit a∈E. Pour h au voisinage de 0,

f(a+h) = f(a)+f(h) = f(a)+f(h)+o(h), doncf est diff´erentiable enaetd(f)(a) = f.

d(f) est une application constante donc elle est continue, donc f est C¹.

Lemme :SiF,F^′ etF” sont troisR-espaces vectoriels et siB :F×F^′ −→F” est une application bilin´eaire continue, alors il existek ∈R₊tel que pour tout (x, y)∈F ×F^′, kB(x, y)k ≤kkxkkyk.

D´emonstration.

B´etant continue en 0, il existeα >0 tel que, pour tout (x, y)∈F×F^′, sik(x, y)k^∞≤α, alors kB(x, y)k ≤1.

Soit (x, y)∈F ×F^′ tels que x6= 0 et y6= 0.

Alorsk( α kxkx, α

kyky)k^∞= max( α kxkx, α

kyky) =α, donc kB( α kxkx, α

kyky)k ≤1, mais B est bilin´eaire, donc α²

kxkkykkB(x, y)k ≤1, donckB(x, y)k ≤kkxkkyk aveck = 1 α². Lorsque x= 0 ou y= 0, l’in´egalit´e est encore clairement vraie.

Propri´et´e. Soient F^′ etF” deux R-espaces vectoriels de dimensions finies.

Soit B :F ×F^′ −→F” une application.

SiB est bilin´eaire, elle est de classeC¹ et

∀(u, v)∈F ×F^′ ∀(h, h^′)∈F ×F^′ d(B)(u, v).(h, h^′) =B(h, v) +B(u, h^′).

D´emonstration.

• Soit (u, v)∈F ×F^′. Pour (h, h^′)∈F ×F^′ au voisinage de 0,

B(u+h, v +h^′) = B(u, v) +B(h, v) +B(u, h^′) +B(h, h^′), or B ´etant bilin´eaire en dimension finie, elle est continue, donc d’apr`es le lemme, il existe k∈R₊ tel que pour tout (x, y)∈F ×F^′, kB(x, y)k ≤kkxkkyk,

Calcul diff´erentiel 4 Composition donc kB(h, h^′)k ≤ kk(h, h^′)k²∞. Ainsi B(h, h^′) = o((h, h^′)), ce qui montre que B est diff´erentiable en (u, v) et qued(B)(u, v) =

(h, h^′)7−→B(h, v) +B(u, h^′) .

• Ainsid(B) est une application lin´eaire deF×F^′ dans L(F ×F^′, F^′′). Nous sommes en dimension finie, donc d(B) est continue, ce qui prouve que B est de classe C¹.

4 Composition

Th´eor`eme. Soit G un troisi`eme R-espace vectoriel de dimension m ∈ N^∗ et V un ouvert de F.

Soient

f : U −→ V

x=

p

X

j=1

xjej 7−→

n

X

i=1

fi(x)e^′_i et

g : V −→ G

y =

n

X

i=1

yie^′_i 7−→ g(y) deux ap- plications diff´erentiables (resp : de classe C¹).

Alorsg◦f est diff´erentiable (resp : de classe C¹) et , pour touta∈U, d(g◦f)(a) =d(g)(f(a))◦d(f)(a).

En passant aux matrices, on en d´eduit que

Jg◦f(a) =Jg(f(a))×Jf(a).

D´emonstration.

• Soit h∈E tel que a+h∈U.

(g◦f)(a+h) = g[f(a+h)] =g[f(a) +d(f)(a).h+o(h)], or d(f)(a).h+o(h) −→_h→0

a+h∈U

0, donc (g◦f)(a+h) = (g◦f)(a) +d(g)(f(a)).[d(f)(a).h+o(h)] +o[d(f)(a).h+o(h)].

De plus, en normant correctement L(E, F),kd(f)(a).hk ≤ kd(f)(a)kkhk, donc o(d(f)(a).h+o(h)) = o(O(h) +o(h)) =o(h).

De plus, en normant correctement L(F, G), kd(g)(f(a)).o(h)k ≤ kd(g)(f(a))kko(h)k, donc kd(g)(f(a)).o(h)k=O(o(h)) =o(h).

Ainsi (g ◦f)(a+h) = (g ◦f)(a) +d(g)(f(a)).[d(f)(a)(h)] +o(h), ce qui montre que g◦f est diff´erentiable en a et que d(g◦f)(a) = d(g)(f(a))◦d(f)(a).

• En passant aux matrices, on obtient J_g◦f(a) = J_g(f(a))×J_f(a).

• Supposons que f etg sont de classe C¹. Ainsi toutes les d´eriv´ees partielles de f et deg sont continues, donc les applications a7−→Jf(a) et b 7−→Jg(b) sont continues.

La multiplication matricielle ´etant bilin´eaire en dimension finie, donc continue, par composition,a 7−→Jg◦f(a) est continue, donc ses applications composantes sont conti- nues, donc les d´eriv´ees partielles deg◦f sont continues, ce qui prouve que g◦f est de classe C¹.

Remarque. Pour retenir la formule pr´ec´edente, il faut la mettre en parall`ele avec la formule de composition d’applications d’une variable r´eelle : (g◦f)^′(a) =g^′(f(a))f^′(a).

Calcul diff´erentiel 4 Composition Formule. Avec les notations du th´eor`eme, pour tout j ∈ {1, . . . , p} eta∈U,

R`egle de la chaˆıne : ∂(g◦f)

∂xj

(a) =

n

X

i=1

∂fi

∂xj

(a)∂g

∂yi

(f(a)).

D´emonstration.

Pour tout h∈ {1, . . . , m}

∂(g◦f)h

∂xj

(a) = [Jg◦f(a)]h,j =

n

X

i=1

[Jg(f(a))]h,i[Jf(a)]i,j =

n

X

i=1

∂fi

∂xj

(a)∂gh

∂yi

(f(a)).

Remarque. Lorsque F =R, la formule pr´ec´edente devient

∀a∈U ∀j ∈N_p ∂(g◦f)

∂xj

(a) = ∂f

∂xj

(a)g^′(f(a)).

En consid´erant quef ne d´epend que de la seule variablex_j, cette formule est exactement la formule de d´erivation de la compos´ee de deux applications d’une variable r´eelle.

Exemple. ∂ln(x²+y² + 1)

∂x = 2x

x²+y²+ 1.

Propri´et´e. Soient I un intervalle (non n´ecessairement ouvert) de R, M : I −→ U

t 7−→

p

X

j=1

ϕj(t)ej un arc param´etr´e d´erivable (resp : de classe C¹) et f :U −→F une application diff´erentiable (resp : de classe C¹).

Alorsf ◦M est un arc param´etr´e d´erivable (resp : de classeC¹) `a valeurs dans F. De plus, pour tout a∈I,

(f◦M)^′(a) =d(f)(M(a)).M^′(a)

=

p

X

j=1

M_j^′(a)∂f

∂xj

(M(a)).

Lorsque F =Ret E est euclidien, on a aussi (f◦M)^′(a) = [∇f](M(a)).M^′(a) . D´emonstration.

Cette propri´et´e n’est pas un cas particulier du th´eor`eme pr´ec´edent car l’intervalleIn’est pas n´ecessairement ouvert. Cependant, on peut adapter la d´emonstration du th´eor`eme

`a la situation actuelle.

Soit a∈I. Lorsque h tend vers 0 avec a+h ∈I,

(f◦M)(a+h) =f(M(a) +hM^′(a) +o(h)), or hM^′(a) +o(h) −→_h→0

a+h∈I

0, donc (f◦M)(a+h) =f(M(a)) +d(f)(M(a))(hM^′(a) +o(h)) +o(hM^′(a) +o(h))

= (f◦M)(a) +hd(f)(M(a))(M^′(a)) +o(h),

pour des raisons similaires `a celles rencontr´ees dans la d´emonstration du th´eor`eme pr´ec´edent.

Calcul diff´erentiel 4 Composition Ainsi,f◦M est d´erivable enaet (f◦M)^′(a) = d(f)(M(a))(M^′(a)) =

p

X

j=1

M_j^′(a)∂f

∂xj

(M(a)).

Cette derni`ere formule prouve que, lorsquef etM sont de classeC¹, il en est de mˆeme def ◦M.

Remarque. Dans le cas o`u E = R^p, on peut ´ecrire cette formule sous la forme suivante :

∀a∈I d[f(M₁(t), . . . , M_p(t))]

dt (a) =

p

X

j=1

M_j^′(a)∂f

∂xj

(M₁(a), . . . , M_p(a)).

Exemple. Si f : R² −→ R

(x, y) 7−→ f(x, y) est une application de classe C¹, d(f(t³,√

t²+ 1))

dt = 3t²∂f

∂x(t³,√

t²+ 1) + t

√t²+ 1

∂f

∂y(t³,√

t²+ 1), et

∂f(t³u⁴,√

t²+ 1 +u²)

∂t = 3t²u⁴∂f

∂x(t³u⁴,√

t²+ 1 +u²)

+ t

√t²+ 1 +u²

∂f

∂y(t³u⁴,√

t²+ 1 +u²).

Formule. On comprend mieux ainsi comment fonctionne la r`egle de la chaˆıne, qui peut s’´ecrire sous la forme :

∂

∂xj

g(f1(x1, . . . , xp), . . . , fn(x1, . . . , xp)

=

n

X

i=1

∂fi

∂xj

∂g

∂yi

.

Propri´et´e. On suppose que f est une application de classe C¹ deU dans F. Soit a et b deux points de U. On suppose qu’il existe un arc de classe C¹, M : [0,1]−→U tel que M(0) =a et M(1) =b. Alors

f(b)−f(a) = Z 1

0

d(f)(M(t)).M^′(t)dt.

D´emonstration.

f(b)−f(a) =f(M(1))−f(M(0)) = Z 1

0

d

dt[f(M(t))]dt, car t7−→f(M(t)) est de classe C¹. Ainsi, f(b)−f(a) =

Z 1 0

d(f)(M(t)).M^′(t)dt.

Propri´et´e. Si U est convexe, une application f de U dans F est constante si et seulement si f est de classeC¹ et d(f) = 0.

D´emonstration.

Si f est constante sur U, alors les d´eriv´ees partielles de f sont nulles, donc f est de classe C¹ etd(f) = 0.

Calcul diff´erentiel 5 Un peu de g´eom´etrie diff´erentielle R´eciproquement, supposons que f : U −→ F est de classe C¹ avec d(f) = 0 et U convexe. Soit a, b∈ U. Pour tout t ∈ [0,1], posons M(t) =a+t(b−a). Ainsi M est un arc de classe C¹ tel que M(0) =a etM(1) =b.

Alorsf(b)−f(a) = Z 1

0

d(f)(M(t)).M^′(t)dt= 0.

Propri´et´e. Soient F^′ etF” deux R-espaces vectoriels de dimensions finies.

Soit B :F ×F^′ −→F” une application bilin´eaire.

Soient f :U −→F et g :U −→F^′ deux applications diff´erentiables (resp : de classe C¹). Alors B(f, g) : U −→ F”

x 7−→ B(f(x), g(x)) est une application diff´erentiable (resp : de classeC¹) et

∀a∈U ∀h∈E d[B(f, g)](a).h=B(d(f)(a).h, g(a)) +B(f(a), d(g)(a).h).

D´emonstration.

• Notons ϕ: U −→ F ×F^′

x 7−→ (f(x), g(x)). Soit a∈U. Pourh au voisinage de 0, ϕ(a+h) = (f(a), g(a)) + (d(f)(a).h, d(g)(a).h) +o(h),

donc ϕ est diff´erentiable en a etdϕ(a) =

h7−→(d(f)(a).h, d(g)(a).h) .

• Soit v ∈E \ {0}. Dvϕ(a) = dϕ(a)(v) = (Dvf(a), Dvg(a)), donc Dvϕ est d´efinie et continue surU. Ainsi, lorsquef etg sont de classeC¹,ϕ est aussi de classe C¹ surU.

• B(f, g) =B◦ϕ, donc B(f, g) est diff´erentiable sur U (resp : de classeC¹). De plus, si a∈U et si h∈E,

d[B(f, g)](a).h =d(B)(ϕ(a)).[dϕ(a).h]

=d(B)(f(a), g(a)).(d(f)(a).h, d(g)(a).h)

=B(d(f)(a).h, g(a)) +B(f(a), d(g)(a).h).

Corollaire. Soient f : U −→ F et ϕ : U −→ R deux applications diff´erentiables (resp : de classeC¹). Alors ϕ.f : U −→ F

x 7−→ ϕ(x).f(x) est une application diff´erentiable (resp : de classe C¹) et

∀a∈U ∀h∈U d(ϕ.f)(a).h= [dϕ(a).h].f(a) + [ϕ(a)].[d(f)(a).h].

5 Un peu de g´ eom´ etrie diff´ erentielle

5.1 Image d’un arc param´ etr´ e

Propri´et´e. SoitM : I −→U un arc param´etr´e d´erivable sur I et f : U −→F une application diff´erentiable surU. Soit t0 ∈I :

si d(f)(M(t0)).M^′(t0)6= 0, ce vecteur dirige la tangente enf(M(t0)) `a l’arc f◦M. Exemple fondamental : Lorsque P(t) =a+th, o`ua∈U eth∈E\ {0}, l’arc P est une portion de la droite affine passant par a et dirig´ee par h.

Calcul diff´erentiel 5 Un peu de g´eom´etrie diff´erentielle Alors, lorsque d(f)(a).h=Dh(f)(a)6= 0, la d´eriv´ee partielle de f ena selon le vecteur h dirige la tangente enf(a) `a l’arc f ◦P (image d’une droite affine par f).

En reprenant les notations de la propri´et´e pr´ec´edente, on en d´eduit que,

lorsque d(f)(M(t0)).M^′(t0) 6= 0, la tangente en f(M(t0)) `a l’image par f de l’arc M est aussi la tangente en f(M(t0)) `a l’image parf de la tangente en M0 `a l’arc M (on a ici n´ecessairement M^′(t0)6= 0).

Exemple. Soit M : I −→E un arc param´etr´e d´erivable et soit t0 ∈I tel queM(t0) est un point r´egulier de l’arcM.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕G. On note p la projection sur F parall`element `a G.

p◦M est alors la projection de l’arc M surF parall`element `aG.

p´etant lin´eaire, d(p)(M(t0)) =p, donc ce qui pr´ec`ede montre que si p(M<sup>′</sup>(t0))6= 0, ce vecteur dirige la tangente en p(M(t0)) `a l’arc p◦M.

Dans ce cas, la tangente en M(t₀) `a l’arc M est la droite affine M(t<sub>0</sub>) +RM<sup>′</sup>(t<sub>0</sub>) et la projection de cette tangente, ´egale `ap(M(t0))+Rp(M^′(t0)) est la tangente enp(M(t0))

`a la projection de l’arc M.

En r´esum´e, la projection d’une tangente `a un arc est une tangente `a la projection de cet arc.

Ce raisonnement et son r´esultat se g´en´eralisent au cas d’une application lin´eaire quel- conque deE dans F.

5.2 Vecteurs tangents

D´efinition. Soit X une partie de E etx un point de X. Soit v un vecteur de E.

On dira que v est un vecteur tangent `a X en x si et seulement si il existe ε >0 et un arc param´etr´eM : ]−ε, ε[−→X d´erivable en 0 tel que x=M(0) et v =M^′(0).

En r´esum´e, lorsquev 6= 0,v est tangent `aX enxsi et seulement siv dirige la tangente enx `a un arc param´etr´e trac´e sur X passant par x.

5.3 Plan tangent ` a une surface

Notation. On suppose que E est euclidien de dimension 3.

D´efinition. On appelle nappe param´etr´ee diff´erentiable toute application diff´erentiable

M : U −→ E

(u, v) 7−→ M(u, v), o`u U est un ouvert de R². On dit que M(U) est le support de la nappeM.

Exemple. Si a > 0, M(θ, ϕ) = O +asinθ−→uϕ +acosθ−→k o`u (θ, ϕ) ∈ R<sup>2</sup> est un param`etrage de la sph`ere de centre O et de rayon a.

D´efinition. Soit M : U −→E une nappe diff´erentiable et soit (u0, v0)∈U. Toute combinaison lin´eaire des vecteurs ∂M

∂u (u0, v0) et ∂M

∂v (u0, v0) est un vecteur tan- gent `a M(U) en M(u0, v0).

Calcul diff´erentiel 5 Un peu de g´eom´etrie diff´erentielle Lorsque (∂M

∂u (u0, v0),∂M

∂v (u0, v0)) est libre, le plan affineM(u0, v0) + Vect(∂M

∂u (u0, v0),∂M

∂v (u0, v0)) est appel´e le plan tangent `aM enM(u0, v0), et la droite affineM(u0, v0) +R

∂M

∂u (u0, v0)∧ ∂M

∂v (u0, v0)

est appel´ee la normale `aM en M(u0, v0).

D´emonstration.

Soit α, β ∈R². Posons P(t) = M(u0+αt, v0+βt).

U ´etant ouvert, il existe ε > 0 tel que pour tout t ∈]−ε, ε[, (u0 +αt, v0 +βt) ∈ U. Ainsi, P : ]−ε, ε[−→M(U) est un arc param´etr´e d´erivable tel queP(0) =M(u0, v0).

AlorsP^′(0) =α∂M

∂u (u0, v0)+β∂M

∂v (u0, v0) est un vecteur tangent `aM(U) enM(u0, v0).

Remarque. Avec les notations et hypoth`eses de la d´efinition, pour (u, v) au voisinage de (u0, v0),

M(u, v) =M(u0, v0) + (u−u0)∂M

∂u (u0, v0) + (v−v0)∂M

∂v (u0, v0) +◦(u−u0, v−v0).

Cela signifie qu’en premi`ere approximation, une surface M(U) co¨ıncide avec son plan tangent au voisinage de M(u0, v0).

Exemple. On consid`ere la surface S param´etr´ee en coordonn´ees cart´esiennes par M : R² −→ E

(t, θ) 7−→ M(t, θ) = O+ (costcosθ)~ı+ (costsinθ)~+θ~k. Dans le rep`ere mobile R_θ = (O,−→u_θ,−→v_θ, ~k), M(t, θ) =

Rθ

cost 0 θ

, donc, toujours dans le

rep`ere mobile, ∂M

∂t =

Rθ

−sint 0 0

et ∂M

∂θ =

Rθ

0 cost

1 ,

donc ∂M

∂t ∧∂M

∂θ =

Rθ

0 sint

−sintcost .

Ainsi, lorsque t /∈ πZ, le plan tangent `a S en M(t, θ) a pour ´equation dans le rep`ere fixe R : −sinθ(x−costcosθ) + cosθ(y−costsinθ)−cost(z−θ) = 0, qu’il reste `a simplifier.

Propri´et´e. Soit U un ouvert de R² etf : U −→R une application diff´erentiable.

Alors la surface S d’´equation z =f(x, y) est appel´ee le graphe de l’application f. S est aussi le support de la nappe param´etr´ee diff´erentiableM : U −→R³ d´efinie par M(x, y) =

x y f(x, y)

.

Calcul diff´erentiel 5 Un peu de g´eom´etrie diff´erentielle

Fixons (x₀, y₀)∈U et notons z₀ =f(x₀, y₀) et M₀ =

R

x0

y₀ z0

. Alors le plan tangent en M0 `a S a pour ´equation

z−z0 = (x−x0)∂f

∂x(x0, y0) + (y−y0)∂f

∂y(x0, y0).

D´emonstration.

∂M

∂x (x0, y0) =

1

∂f 0

∂x(x₀, y₀)

et ∂M

∂y (x0, y0) =

0

∂f 1

∂y(x0, y0) donc

∂M

∂x (x0, y0)∧ ∂M

∂y (x0, y0) =

−∂f

∂x(x0, y0)

−∂f

∂y(x0, y0) 1

6

= 0.

Ainsi∂M

∂x (x0, y0),∂M

∂y (x0, y0)

est libre et le plan tangent a pour ´equation

−(x−x0)∂f

∂x(x0, y0)−(y−y0)∂f

∂y(x0, y0) + (z−z0) = 0.

5.4 Surfaces de niveau

Notation. On suppose que E est euclidien.

Soit U un ouvert de E et f : U −→ R une application diff´erentiable. On appelle surfaces (ou lignes) de niveau def les ensembles {x∈U/f(x) =k}, o`u k est fix´e.

Propri´et´e. Fixons k∈R.

Soit x un point de la surface de niveau X ={x∈U/f(x) =k}.

Alors tout vecteur tangent en x `a X est orthogonal au gradient def enx.

D´emonstration.

Soit v un vecteur tangent en x `a X :

il existeε >0 et un arc param´etr´eM : ]−ε, ε[−→X d´erivable en 0 tel quex=M(0) etv =M^′(0).

Pour tout t∈]−ε, ε[, f(M(t)) =k, donc 0 = d

dt(f(M(t))) =∇f(M(t)).M^′(t).

En t= 0, on obtient∇f(x).v = 0.

Exercice. Soit F et F^′ deux points distincts du plan euclidien R². Soit a ∈ R tel que 2a > d(F, F^′) = F F^′. On note E = {M ∈ R²/M F +M F^′ = 2a} : on admettra que E est l’ellipse de foyer F et F^′ dont le grand axe est de longueur 2a.

Montrer que la tangente en un point M de E est la bissectrice ext´erieure des demi-droites [M, F) et [M, F^′).

Calcul diff´erentiel 6 D´efinitions

un

eellipse

*

* foyer

foyer

b

une tange

nte `a l’ellipse

la normale

Solution : Notons f : R² −→ R d´efinie par f(M) = M F +M F^′. E est une ligne de niveau de f, donc la tangente en un point M de E est orthogonale au gradient def enM. Il suffit donc de montrer que ce gradient dirige la bissectrice int´erieure des demi-droites [M, F) et [M, F^′) (qui est orthogonale `a la bissectrice ext´erieure), c’est-`a-dire que le gradient est colin´eaire au vecteur

−−→M F M F +

−−→M F^′ M F^′. Or, en posant M = (x, y) et F = (xF, yF), M F =p

(xF −x)²+ (yF −y)², donc ∂(M F)

∂x = x−xF

p(x_F −x)²+ (y_F −y)² et ∂(M F)

∂y = y−yF

M F , donc∇(M 7−→M F) =

−−→F M

M F, puis ∇f(M) =

−−→F M M F +

−−→F^′M M F^′.

Deuxi` eme partie

Applications de classe C ^k

6 D´ efinitions

D´efinition.

⋄ On d´efinit la notion d’application de classeC^kpar r´ecurrence de la mani`ere suivante.

Pour k ∈ N^∗, on dit que f : U −→ F est de classe C^k surU si et seulement si pour tout j ∈ {1, . . . , p}, ∂f

∂xj

est d´efinie et est de classe C^k−1 surU.

⋄ On dit que f est C^∞ si et seulement si f est C^k pour tout k∈N. Propri´et´e. f :U −→F est de classe C² si et seulement si,

pour tout (i, j)∈ {1, . . . , p}², ∂²f

∂x_i∂x_j est d´efinie et continue sur U.

Calcul diff´erentiel 7 Op´erations alg´ebriques Les ∂²f

∂xi∂xj

s’appellent les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 de f.

Propri´et´e. Soit k∈N^∗. f :U −→F est de classeC^k si et seulement si, pour tout (i1, . . . , ik)∈ {1, . . . , p}^k, ∂^kf

∂x_i1· · ·∂x_ik est d´efinie et continue sur U.

Les ∂^kf

∂xi1· · ·∂xik

s’appellent les d´eriv´ees partielles d’ordre k de f.

D´emonstration.

Par r´ecurrence sur k.

7 Op´ erations alg´ ebriques

Notation. Pourk ∈N∪{∞}, on noteC^k(U, F) l’ensemble des applications deU dans F qui sont de classeC^k.

On note aussiC^k(U) = C^k(U,R).

Propri´et´e. Pour toutk ∈N∪ {∞}, C^k(U, F) est un R-espace vectoriel . D´emonstration.

Soit k ∈N. Notons R(k) l’assertion pr´ec´edente.

• Pourk = 0, R(0) est connu.

• Pourk ≥0, supposons R(k).

⋄ Soit (f, g, α, β)∈ C^k+1(U, F)²×R². Soit j ∈ {1, . . . , p}.

Dj(αf +βg) = Dej(αf +βg) = αDjf +βDjg, or (Djf, Djg, α, β) ∈ C^k(U, F)² ×R², donc d’apr`es R(k),αD_jf+βD_jg ∈ C^k(U, F). Ainsi, pour tout j ∈ {1, . . . , p},

Dj(αf +βg)∈ C^k(U, F), ce qui prouve que αf +βg ∈ C^k+1(U, F).

⋄ De plus l’application identiquement nulle est un ´el´ement de C^k+1(U, F), lequel est donc non vide. Ceci prouve que C^k+1(U, F) est un sous-espace vectoriel de F(U, F).

• La propri´et´e est donc montr´ee pour toutk ∈N. On en d´eduit facilement la propri´et´e pourk =∞.

Propri´et´e. Soit k∈N∪ {∞}. Pour tout (f, g)∈ C^k(U)², f g ∈ C^k(U).

D´emonstration.

Soit k ∈N. Notons R(k) l’assertion pr´ec´edente.

• Pourk = 0, R(0) est connu.

• Pourk ≥0, supposons R(k).

Soit (f, g)∈ C^k+1(U)². Soit j ∈ {1, . . . , p}.

Dj(f g) = Dej(f g) = gDjf +f Djg, or (Djf, Djg, f, g) ∈ C^k(U)⁴, donc d’apr`es R(k), gDjf+f Djg ∈ C^k(U). Ainsi, pour toutj ∈ {1, . . . , p},Dj(f g)∈ C^k(U), ce qui prouve que f g∈ C^k+1(U).

• La propri´et´e est donc montr´ee pour toutk ∈N. On en d´eduit facilement la propri´et´e pourk =∞.

Corollaire. Pour tout k ∈N∪ {∞}, C^k(U) est une R-alg`ebre commutative.

Calcul diff´erentiel 9 Equations aux d´eriv´ees partielles Th´eor`eme. (Admis) Soit k ∈N∪ {∞}. La compos´ee de deux applications de classe C^k est une application de classe C^k.

8 Th´ eor` eme de Schwarz

Th´eor`eme. (Admis) On suppose quef :U −→F est de classeC². Alors, pour tout (i, j)∈ {1, . . . , p}²

∂²f

∂xi∂xj

= ∂²f

∂xj∂xi

.

Plus g´en´eralement, si f est de classe C^k o`u k ≥ 2, l’application ∂^kf

∂xi1· · ·∂xik

est ind´ependante de l’ordre du k-uplet (i1, . . . , ik).

C’est pourquoi, en notant pour tout j ∈ {1, . . . , p}, αj = card({h ∈ N_k/ih = j}), on peut poser

∂^kf

∂x_i1· · ·∂x_ik = ∂^kf

∂x^α₁¹· · ·∂x^αp^p

.

9 Equations aux d´ eriv´ ees partielles

9.1 Passage en coordonn´ ees polaires

Notation. Si g : R² −→ R

(x, y) 7−→ g(x, y) est une fonction, on notera g^∗ : R² −→ R

(ρ, θ) 7−→ g(ρcosθ, ρsinθ). Ainsi, g^∗ =g◦f, o`u f : R² −→ R²

(ρ, θ) 7−→ (x(ρ, θ) = ρcosθ, y(ρ, θ) = ρsinθ). On souhaite exprimer ∂g

∂x et ∂g

∂y en fonction de ∂g^∗

∂ρ et ∂g^∗

∂θ . g^∗(ρ, θ) =g(x(ρ, θ), y(ρ, θ)), donc d’apr`es la r`egle de la chaˆıne,







∂g^∗

∂ρ = ∂x

∂ρ

∂g

∂x + ∂y

∂ρ

∂g

∂y = cosθ∂g

∂x + sinθ∂g

∂y

∂g^∗

∂θ = ∂x

∂θ

∂g

∂x + ∂y

∂θ

∂g

∂y =−ρsinθ∂g

∂x +ρcosθ∂g

∂y

Pour ρ 6= 0, c’est un syt`eme de Cramer en les inconnues ∂g

∂x et ∂g

∂y. Les formules de

Calcul diff´erentiel 9 Equations aux d´eriv´ees partielles Cramer donnent :

∂g

∂x = 1 ρ

∂g^∗

∂ρ sinθ

∂g^∗

∂θ ρcosθ

= cosθ∂g^∗

∂ρ −sinθ ρ

∂g^∗

∂θ et

∂g

∂y = 1 ρ

cosθ ∂g^∗

∂ρ

−ρsinθ ∂g^∗

∂θ

= sinθ∂g^∗

∂ρ +cosθ ρ

∂g^∗

∂θ .

On en d´eduit que ∇(g) = ∂g

∂x~ı+ ∂g

∂y~= ∂g^∗

∂ρ−→uθ+ 1 ρ

∂g^∗

∂θ −→vθ.

Exercice. D´eterminer les applications diff´erentiablesg :R²\ {0} −→Rqui sont solutions de l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :

(E) : x² +y² + (x∂g

∂x +y∂g

∂y)g = 0.

R´esolution.

• Passons en coordonn´ees polaires :

(E)⇐⇒ρ²+<−−→OM ,∇(g)> g= 0 ⇐⇒ρ²+ρ∂g^∗

∂ρ g^∗ = 0, ρ6= 0 car (x, y)∈R²\ {0}, donc (E)⇐⇒ρ+∂g^∗

∂ρg^∗ = 0 ⇐⇒ ∂[g^∗2]

∂ρ =−2ρ.

• Ainsi, g est solution si et seulement s’il existe une application ϕ : ]−π, π[−→R d´erivable telle que g(ρcosθ, ρsinθ)² =ϕ(θ)−ρ².

9.2 Un autre exemple

Soit k ∈R^∗

+. On souhaite r´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles

(E) ∂²z

∂x² − 1 k²

∂²z

∂t² = 0.

Cette ´equation caract´erise les ondes planes (c’est-`a-dire qui ne d´ependent que du temps, not´e t, et d’une seule coordonn´ee, not´ee x, dans un rep`ere bien choisi) se propageant

`a la vitesse k. Nous allons dans ce but pratiquer le changement de variables suivant : u =x+kt

v =x−kt.

Notons f : R² −→ R²

(x, t) 7−→ (u, v) = (x+kt, x−kt). f est C^∞. De plus, u =x+kt

v =x−kt ⇐⇒







x= u+v 2 t= u−v

2k

, donc f est bijective et f⁻¹ estC^∞.

Calcul diff´erentiel 9 Equations aux d´eriv´ees partielles Soit z : R² −→ R

(x, t) 7−→ z(x, t) une application de classe C². Notons z^∗ =z◦f⁻¹ : R² −→ R

(u, v) 7−→ z(x(u, v), t(u, v)). z(x, t) =z^∗(u, v) = z^∗(x+kt, x−kt), donc

∂z

∂x(x, t) = ∂(x+kt)

∂x .∂z^∗

∂u(x+kt, x−kt) + ∂(x−kt)

∂x .∂z^∗

∂v (x+kt, x−kt)

= ∂z^∗

∂u(x+kt, x−kt) + ∂z^∗

∂v(x+kt, x−kt), puis, en d´erivant `a nouveau par rapport `ax,

∂²z

∂x²(x, t) = ∂²z^∗

∂u² + ∂²z^∗

∂v∂u+ ∂²z^∗

∂u∂v+∂²z^∗

∂v² = ∂²z^∗

∂u² + 2 ∂²z^∗

∂u∂v +∂²z^∗

∂v² , d’apr`es le th´eor`eme de Schwarz.

De mˆeme, ∂z

∂t(x, t) = k∂z^∗

∂u (x+kt, x−kt)−k∂z^∗

∂v(x+kt, x−kt), puis

∂²z

∂t²(x, t) =k²∂²z^∗

∂u² −2k² ∂²z^∗

∂u∂v +k²∂²z^∗

∂v² Ainsi (E)⇐⇒4∂²z^∗

∂u∂v = 0⇐⇒ ∂

∂u(∂z^∗

∂v ) = 0. Donc

z est solution de (E) si et seulement s’il existe une application ϕ de classe C¹ de R dans R telle que ∀(u, v) ∈ R² ∂z^∗

∂v(u, v) = ϕ(v), donc si et seulement s’il existe deux applications Φ et Ψ de classe C² de R dans Rtelles que

∀(u, v)∈R² z^∗(u, v) = Φ(v) + Ψ(u).

Finalement, z est solution de (E) si et seulement s’il existe deux applications Φ et Ψ de classeC² de Rdans R telles que ∀(x, t)∈R² z(x, t) = Φ(x−kt) + Ψ(x+kt).