Montrer que F est d´erivable sur ]0

Int´egration et Probabilit´es (M43050) 2010-2011

Examen partiel du lundi 21 mars 2011 dur´ee : 3 heures

On pourra admettre le r´esultat d’une question et traiter les questions suivantes.

— Exercice I —

1. Pour quels nombres complexeszla fonctionx→e^−xzest-elle Lebesgue-int´egrable sur ]0,+∞[ ? Quelle est alors la valeur de l’int´egrale ?

2. Montrer, par r´ecurrence surn≥1, l’´egalit´e n! =R+∞

0 xⁿe^−x dx.

On pose pourt >0

F(t) = Z

[0,+∞[

e^−xt

1 +xdλ(x).

3. Montrer que F est d´efinie et continue sur ]0,+∞[. D´eterminer les limites de F(t) quandt→0 et quandt→+∞.

4. Montrer que F est d´erivable sur ]0,+∞[ et exprimer F⁰(t) au moyen d’une int´egrale.

5. Montrer que pour tout r´eelh tel que|h|<1, on a l’´egalit´e F(1−h) =X

n>0

anhⁿ avec, pour tout n≥0, an = Z

[0,+∞[

xⁿe^−x

n! (1 +x)dλ(x).

Montrer que 0< an≤1/n pour tout entier n≥1 (utiliser le r´esultat de la question2).

6. D´emontrer que les coefficients an de la s´erie enti`ere v´erifient la relation de r´ecurrence

∀n≥0, an+1= 1−an

n+ 1.

En d´eduire que F(t) + ln(t) tend vers une limite finie quand ttend vers 0.

— Exercice II —

On donne une fonctionf bor´elienne positive sur [1,+∞[ telle que Z

[1,+∞[

f(x) dλ(x)<+∞.

1. V´erifier que pour tout entier n≥1, on a Z

[1,2]

f(ny) dλ(y) = Z

[1,+∞[

1_[n,2n](x)

n f(x) dλ(x).

2. On suppose que 0< u≤v; montrer que

+∞

X

n=1

1_[u,v](n)

n ≤ v−u+ 1 u

(on pourra utiliser sans preuve le fait que le segment [u, v] contient au plusv−u+ 1 points deN).

3. Montrer que

Z

[1,2]

⁺

∞

X

n=1

f(ny)

dλ(y)<+∞.

4. Montrer que pourλ-presque tout x∈[1,2], la suite num´erique f(nx)

n>1 tend vers 0.

5. Montrer que pour λ-presque tout x ∈ [1,+∞[, la suite num´erique f(nx)

n>1 tend vers 0.

Peut-on modifierf sur un ensemble Lebesgue-n´egligeable pour garantir quef(nx) tende vers 0 pour toutx≥1 ?