1`ere S 11 DST 6 Correction 28 mars 2015
Exercice 1 : ´Etudes de fonction 1.
f est d´efinie et d´erivable surRcomme fonction polynˆome.
f0(x) =−3x2−12x+53 x
f0(x) f
−∞ −56 23 +∞
− 0 + 0 −
1735 432 1735
432
154 27 154
27
2. x7→√
xest d´efinie sur [0; +∞[ et d´erivable sur ]0; +∞[. Par produit, on en d´eduit que f est aussi d´efinie sur [0; +∞[ et d´erivable sur ]0; +∞[.
f0(x) =−3(x−1) 2√
x . x
f0(x) f
0 1 +∞
+ 0 −
0 0
2 2
3. −x2+ 2x−6<0 pour toutx∈R, donc f est une fonction d´efinie et d´erivable surR comme quotient de fonctions d´erivable avec un quotient non nul.
f0(x) =−16 x−1 (−x2+ 2x−6)2 x
f0(x) f
−∞ 1 +∞
+ 0 −
−25
−25
Exercice 2 : Un petit dessin
−5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
0
f a
Exercice 3 : Cosinus et sinus
(1) cos 2π3
=−cos π3
=−12
(2) sin 4π3
=−sin π3
=−
√3 2
(3) sin −5π6
=−sin π6
=−12 (4) cos 2015π4
= cos 504π−π4
=
√2 2
Exercice 4 : Equations (1) cosx=−
√3
2 ⇔cosx= cos 5π6
⇔S =5π
6 + 2kπ;−5π6 + 2kπ (aveck ∈ Z) surR. S={5π6;7π6 }sur [0; 2π]
(2) sin(3x) = 1 ⇔ 3x = π2 + 2kπ donc S = π
6 +23kπ (pour tout k ∈ Z) dans R. S=π
6;5π6 ;3π2 sur [0; 2π]
(3) 4 cos(2x+π) = 2⇔2x+π= π3 + 2kπou−π3 + 2kπDoncS =
−π3+kπ;−2π3 +kπ surR.S={2π3;5π3 ;π3;4π3 }sur [0; 2π]
(4) 2 cos2x−1 = 0⇔cosx=
√2 2 ou−
√2
2 ⇔S =
−π4 + 2kπ;π4 + 2kπ;3π4 + 2kπ;−3π4 + 2kπ (aveck∈Z) surR. S=π
4;3π4 ;5π4;7π4 sur [0; 2π]
Exercice 5 : Equation particuli`ere
(1) On remarque que 3π10 +π5 =π2 donc cos π5
= cos π2 −3π10
= sin 3π10 . (2) cos(x) = sin 3π10
⇔cosx= cos π5
⇔S=π
5 + 2kπ ou −π5 + 2kπ Exercice 6 : Probl`eme
(1) On sait que le volume est donn´e parV =B×houBest l’aire de la base. On a donc hx= 128 eth= 128x
(2) Le prix de revient est donc de 0,04×x2 euros pour une base carr´ee et 8x2 centimes d’euros pour les deux bases. Il y a 4 faces lat´erales, le prix de revient des faces lat´erales est donc 4×128x ×2 = 1024x centimes d’euros. Le prix de revient total est la somme des deux.
(3) p0(x) = 16x−1024x2 = 16x3x−642 .x7→x3x3−64>0⇔x3>64⇔x >4 (La fonction cube est croissante).pest donc strictement d´ecroissante sur ]− ∞; 4[ etpest donc strictement croissante sur ]4; +∞[.
(4) patteint donc son minimum en 4 le prix de revient est donc minimal lorsque le cˆot´e du carr´e est de 4cm et la hauteur de 1284 = 32 cm.
Exercice 7 : Question ouverte
Soitpun polynˆome du 3`eme degr´e. Il existea, b, cet dtels queP(x) =ax3+bx2+cx+d.
P(0) =ddoncd= 0, P(1) = 1 donca+b+c+d= 1.
P0(x) = 3ax2+ 2bx+c.P0(0) = 0 doncc= 0,P0(1) = 3a+ 2b+cdonc 3a+ 2b+c= 0.
On doit donc r´esoudre le syst`eme :
d = 0
a+b+c+d = 1 3a+ 2b+c = 0
c = 0
⇔
d = 0
a+b = 1 a =−23b
c = 0
⇔
d = 0 b = 3 a =−2 c = 0
Le polynˆome−2x3+ 3x2 v´erifie les
contraintes.
