Lyc´ee Schuman Perret
F´evrier 2020 Contrˆole No 3 Cira1
EXERCICE 1
Afin d’assurer une meilleure protection contre les surtensions du r´eseau et de r´eduire les harmoniques de courant produits par le variateur sur le r´eseau, un technicien d´ecide d’ins´erer en amont du variateur une inductance de ligne.
On note i1 la fonction d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ qui mod´elise le courant (exprim´e en amp`ere) induit dans cette inductance en fonction du tempst(exprim´e en seconde).
A l’instant` t= 0, aucun courant ne circule donc : i1(0) = 0.
L’´equation r´egissant l’´evolution du courant il dans le circuit est : Ldi1
dt +Ri1=E
o`u L est l’inductance, exprim´ee en henry (H), R est la r´esistance, exprim´ee en ohm (Ω), et E est la diff´erence de potentiel dans le circuit, exprim´ee en volt (V).
On donne : E= 6V.
Dans cette partie, on prendR= 0,5Ω etL= 0,015H. Ces valeurs sont celles qui figurent sur la plaque signal´etique de l’inductance que le technicien souhaite installer.
1. Justifier que la fonctioni1 est solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’´equation diff´erentielle (E1) 3y′+ 100y= 1 200.
2. a) Donner les solutions de l’´equation diff´erentielle (E0) : 3y′+ 100y= 0.
b) D´eterminer une fonction constante yp, qui soit solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (El).
c) En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (El).
3. Montrer que pour tout r´eel positif ou nul t:
i1(t) = 12−12e−1003 t.
4. On note i′1 la fonction d´eriv´ee de la fonction i1 sur l’intervalle [0 ; +∞[. Calculeri′1(t) et en d´eduire que la fonction i1 est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
5. Sur l’annexe 1 on a trac´e la courbe Γ qui repr´esente la fonction i1. On note T la tangente `a cette courbe en son point d’abscisse 0.
a) D´eterminer une ´equation de la droiteT.
b) Tracer la droiteT sur le mˆeme graphique que la courbe Γ.
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EXERCICE 2 Un jouet pour enfant pr´evu pour ˆetre utilis´e en ext´erieur, est un bonhomme de neige mont´e sur un ressort. Le principe de fonctionnement est le suivant : on comprime le jouet au sol et une fois relˆach´e, celui-ci est propuls´e dans les airs `a une certaine hauteur et retombe ensuite au sol. On suppose que le mouvement du jouet est vertical.
On souhaite ´etudier la hauteur atteinte par le jouet en fonction du nombre d’ann´ees d’utilisation.
On mod´elise la hauteur que peut atteindre le jouet par une solution de l’´equation diff´erentielle (E) :
y′′+ 2y′+y= 3 ;
y est une fonction de la variable r´eelle x, d´efinie et deux fois d´erivable sur
0 ; +∞
; x repr´esente la dur´ee d’utilisation, exprim´ee en ann´ees ;
y′ d´esigne la fonction d´eriv´ee dey ety′′ d´esigne la fonction d´eriv´ee seconde dey.
Partie A : R´esolution de l’´equation diff´erentielle On fournit les formules suivantes :
Equations´ Solutions sur un intervalle I Equation diff´erentielle :´
ay′′+by′+cy= 0
Si ∆>0,f(x) =λer1x+µer2x o`u r1 etr2 sont les solutions de l’´equation caract´eristique.
Si ∆ = 0, f(x) = (λx+µ) erx o`u r est la solution double de l’´equation caract´eristique.
Equation caract´eristique :´
ar2+br+c= 0 de discriminant ∆. Si ∆<0,f(x) = [λcos(βx) +µsin(βx)] eαx
o`u r1 = α + iβ et r2 = α− iβ sont les solutions complexes conjugu´ees de l’´equation caract´eristique.
1. R´esoudre dans R, l’´equation diff´erentielle (E0) : y′′+ 2y′+y= 0.
2. Soit un nombre r´eel k, on d´efinit surR la fonction constanteg telle queg(x) =k.
D´eterminer la valeur dekpour que la fonctiongsoit une solution de l’´equation diff´erentielle (E).
3. En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
4. D´eterminer la fonction f, solution de l’´equation diff´erentielle (E) v´erifiant les conditions suivantes :f(0) = 4 et f(2) = 5 e−2+ 3.
Partie B : ´Etude de la fonction f
La hauteur exprim´ee en d´ecim`etres que peut atteindre le jouet apr`es x ann´ees d’utilisation est donn´ee par la fonction f d´efinie sur l’intervalle
0 ; +∞ par f(x) = (2x+ 1) e−x+ 3.
On note C la courbe repr´esentative de la fonction f dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e
O ; −→ ı , −→
donn´ee enAnnexe.
1. Quelle hauteur en d´ecim`etres peut atteindre le jouet lors de la toute premi`ere utilisation, c’est- `a-dire pourx= 0 ?
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2. Quelle hauteur en d´ecim`etres peut atteindre le jouet apr`es 6 mois d’utilisation ? Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie `a 10−2.
3. On admet que lim
x→+∞xe−x = 0 et quef(x) = 2xe−x+ e−x+ 3.
a) D´eterminer la limite de la fonctionf en +∞.
b) En d´eduire que la courbeC admet une asymptote D, dont on donnera une ´equation puis tracer cette droite D sur le document fourni en Annexe (`a rendre avec la copie).
c) Interpr´eter cette limite dans le contexte de la situation ´etudi´ee.
4. On note f′ la fonction d´eriv´ee de la fonction f.
a) Justifier que pour toutx appartenant `a l’intervalle
0 ; +∞
,f′(x) = (1−2x)e−x. b) ´Etudier le signe def′(x) sur l’intervalle
0 ; +∞
et en d´eduire le tableau de variations de la fonction f.
5. On admet que la fonctionF d´efinie sur l’intervalle
0 ; +∞
par :F(x) = (−2x−3) e−x+3x est une primitive de la fonction f.
Calculer l’aire A en cm2, de la partie du plan limit´ee par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x= 0 etx= 2.
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie `a 10−2.
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NOM : PRENOM :
EXERCICE 1 – Annexe
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0
2 4 6 8 10
12 Γ
EXERCICE 2 – Annexe
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
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