Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360 B
Jeudi 11 d´ecembre 2008
Topologie et Calcul Diff´ erentiel Corrig´ e de l’examen
Dur´ee 3 h – sans document I
1) C’est un r´esultat du cours que C0(J) est complet pour la norme de la convergence uniforme.
Il est clair que k.k1 est une norme sur C1(J). Si (fn) est une suite de Cauchy dans C1(J), on a kfn−fpk0 6kfn−fpk1 : il en r´esulte que (fn) est une suite de Cauchy pour la norme uniforme, et converge uniform´ement sur J vers une fonction continue f. De plus, puisque ∞∞fn0 −fp0∞∞
0 6 kfn−fpk1, la suite des d´eriv´ees (fn0) est une suite de Cauchy pour la norme uniforme, et converge uniform´ement surJ vers une fonction continue g. Il r´esulte alors du th´eor`eme rappel´e dans l’´enonc´e, que f est de classe C1 sur ]−1,1[, et que f0 =g, donc quef0 se prolonge en une fonction continue surJ. Puisque (fn) converge uniform´ement vers f et (fn0) converge uniform´ement vers f0, la suite (fn) converge vezrs f dans C1(J). Il en r´esulte que C1(J) est un espace de Banach.
Enfin, puisque, pour f ∈ C1(J), on a |f(0)| 6 kfk0 6 kfk1, on voit que l’application f 7→f(0) est une forme lin´eaire continue surC1(J), dont le noyau C01(J) est un sous-espace vectoriel ferm´e, donc complet.
2) a) On a, pour f ∈C1(J) , kDfk0 =kf0k0 6kfk0+kf0k0 =kfk1.
b) Si f ∈C01(J) et Df = 0, la fonction f de d´eriv´ee nulle sur ]−1,1[ est constante ; et comme elle s’annule en 0, elle est nulle. Il en r´esulte que le noyau deD est r´eduit `a {0}, et que D est injective.
Inversement, si g∈C0(J), elle poss`ede une primitive f nulle en 0, qui est de classeC1. On voit alors que f ∈C01(J) et que Df =g. Donc D est surjective.
c) Il r´esulte de l’in´egalit´e des accroissements finis que, si f ∈C01(J) et t ∈J,
|f(t)|=|f(t)−f(0)|6|t−0|sup
s∈J|f0(s)|6|t| kf0k0 6kf0k0 .
d) L’application lin´eaire D est continue d’apr`es a) et bijective d’apr`es b). Enfin, si g∈C0(J) et f =D−1g, on a d’apr`esc) : kfk0 6kf0k0 =kgk0, donc
∞∞D−1g∞∞1 =kfk1 =kfk0+kgk0 62kgk0
ce qui montre que D−1 est continue de norme au plus 2.
3) L’applicationDest lin´eaire continue, donc de classeC1 avec une diff´erentielle constante
´egale `a D. L’application p : (g, h) 7→ gh est bilin´eaire de C1(J)×C1(J) dans C0(J) et on a kghk0 6 kgk0.khk0 6 kgk1.khk1. Donc p est bilin´eaire continue, et par suite de classe C1. Et on a, pour (u, v) ∈ C1(J)×C1(J) : p0(g, h).(u, v) = p(g, v) +p(u, h). Il en r´esulte que l’application q : f 7→ p(f, f) est de classe C1 et que, pour u ∈ C1(J), on a
q0(f).u = 2f u. On en conclut que Φ est de classe C1 sur C1(J) (et a fortiori sur C01(J)) et que Φ0(f).u = Du+ 2f u. En particulier , Φ0(0) =D est un isomorphisme de C01(J) sur C0(J).
4) Le th´eor`eme d’inversion locale, appliqu´e `a Φ au voisinage de 0, donne l’existence d’un voisinage W de 0 dans C01(J) dont l’image par Φ est un voisinage V de Φ(0) = 0 dans C0(J) tel que Φ soit un diff´eomorphisme de W sur V. En particulier, il existe r >0 tel que B(0, r)⊂V, et la restriction Ψ de Φ−1 `a B(0, r) est une application de classeC1.
Alors, si g∈ C0(J) et kgk0 < r, la fonction f = Ψ(g) est de classe C1 sur J et v´erifie Φ(f) = g, c’est-`a–dire f0−f2 =g : il en r´esulte que f est solution nulle en 0 de l’´equation diff´erentielley0 =y2+g.
II 1) On a, pour v6= 0, en posant y= u
v : (u−v)2+v2− 1
4(u2+v2) = 1
4(3u2+ 7v2−8uv) = v2
4 (3t2 −8t+ 7)
et puisque le discriminant ∆0 = 42−3×7 = −5 < 0, le trinˆome 3t2 −8t+ 7 est toujours positif. L’in´egalit´e cherch´ee s’en d´eduit alors. Et pourv = 0, on a bienu2 > 1
4u2. 2) a) On d´eduit de ce qui pr´ec`ede quex4+2y4−2x2y2 = (x2−y2)2+(y2)2 > 1
4(x4+y4), donc quef(x, y)> 1
4(x4+y4)−x2−2y2 = 1
4((x2−2)2+ (y2−4)2−20). Et cette derni`ere quantit´e tend vers +∞ lorsque|x|+|y| tend vers l’infini.
b) D’apr`es a), il existe R > 0 tel que f(x, y) > 0 si |x|+|y| > R. Il en r´esulte que l’ensemble K = {(x, y) : f(x, y) 6 0} est contenu dans [−R, R]×[−R, R], donc est born´e.
Et comme la fonction polynˆomiale f est continue, K = f−1(]− ∞,0]) est ferm´e dans R2. DoncK est compact.
c) La fonction continue f atteint son minimum sur K en un point (x0, y0). Puisque (0,0)∈K, on a f(x0, y0)6f(0,0) = 0.
Et pour tout point (x, y)∈/ K, on af(x, y)>0>f(x0, y0), ce qui montre que f atteint en (x0, y0) son minimum sur R2.
3) a) Les points critiques de f sont les points o`u ∂f
∂x et ∂f
∂y s’annulent simultan´ement.
On a
∂f
∂x = 4x3−4xy2−2x= 2x(2x2−2y2 −1)
∂f
∂y = 8y3−4x2y−4y=−4y(x2−2y2+ 1)
On a donc, pour un point critique (x, y) : — soit x = y = 0 — soit x = 0 et 2y2 = 1
— soit y = 0 et 2x2 = 1 — soit 2x2 − 2y2 = 1 et x2 −2y2 = −1, c’est-`a-dire x2 = 2 et y2 = 3
2. Il y a donc 9 points critiques : M0 = (0,0) , M1 = (0,− 1
√2) , M2 = (0, 1
√2) ; 2
M3 = (− 1
√2,0) ,M4 = ( 1
√2,0) ,M5 = (−√ 2,−
√3
√2) ,M6 = (−√ 2,
√3
√2) ,M7 = (√ 2,−
√3
√2) et M8 = (√
2,
√3
√2).
b) On a r = ∂2f
∂x2 = 12x2−4y2−2 , s= ∂2f
∂x ∂y =−8xy , t= ∂2f
∂y2 = 24y2−4x2−4 Et la matrice hessienne def en (x, y) estHf(x, y) =
µr s s t
∂ . Donc Hf(M0) =
µ−2 0 0 −4
∂
, Hf(M1) =Hf(M2) =
µ−4 0
0 8
∂ , Hf(M3) =Hf(M4) =
µ4 0 0 −6
∂
, Hf(M5) =Hf(M8) =
µ 16 −8√ 3
−8√
3 24
∂ , Hf(M6) =Hf(M7) =
µ 16 8√ 3 8√
3 24
∂ .
c) La matrice Hf(M0) est clairement d´efinie n´egative, etf admet un maximum local enM0. Les matricesHf(Mi) pour 16i64 ont une valeur propre positive et une n´egative, donc ne sont ni positives ni n´egatives et ces points sont des cols.
Enfin, pour 5 6 i 6 8, on a r > 0, t > 0 et rt−s2 = 16×24−3×64 = 192 > 0.
La matrice hessienne en ces points est donc d´efinie positive, et f y admet des minimums locaux. Et on af(Mi) = 22+ 29
4 −2.23
2 −2−23
2 =−5 2. Le minimum global def est minimum local : c’est donc−5
2, atteint en les quatre points Mi pour 56i68.
III
1) d(u, v, w)2 est le minimum de la fonction f : (x, y, z)7→(x−u)2+ (y−v)2+ (z−w)2 sur P, c’est-`a-dire avec la condition ϕ(x, y, z) := x+y+z−h = 0. La fonction ϕ n’a pas de point critique : ce minimum est donc atteint en un point (x, y, z) pour lequel existe un multiplicateur de Lagrange λ tel que
2(x−u) =λ.1 2(y−v) =λ.1 2(z−w) =λ.1 x+y+z−h = 0 d’o`uh=x+y+z =u+v+w+ 3λ
2, c’est-`a-direλ= 2
3(h−u−v−w) et le minimum vaut d(u, v, w)2 = (x−u)2+ (y−v)2+ (z−w)2 = 3λ2
4 = 1
3(h−u−v−w)2. On en conclut que d(u, v, w) = |h−u−v−w|
√3 .
2) La distance δ entre P et E est ´egale au minimum sur E de d(u, v, w), c’est-`a-dire que δ2 est le minimum de la fonction g: (u, v, w)7→ 1
3(h−u−v−w)2 sur E, c’est-`a-dire avec 3
la conditionψ(u, v, w) := u2 a2 + v2
b2 + w2
c2 −1 = 0. La fonction ψ n’a d’autre point critique que l’origine, qui n’est pas dans E. Le minimum est donc atteint en un point (u, v, w) pour lequel existe un multiplicateur de Lagrangeµ v´erifiant :
2(u+v+w−h) = 2µu a2 2(u+v+w−h) = 2µv
b2 2(u+v+w−h) = 2µw
c2 u2
a2 + v2 b2 + w2
c2 −1 = 0 Alors
- ou bien µ= 0 et le point (u, v, w) de E v´erifie u+v+w =h, c’est-`a-dire appartient
`
a P : P ∩E 6=∅ et δ= 0. On a alors, par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : h =u+v+w=a.u
a +b.v
b +c.w c 6p
a2+b2+c2. ru2
a2 + v2 b2 + w2
c2 =p
a2+b2+c2
- ou bien on a ν := u a2 = v
b2 = w
c2 = u+v+w−h
µ , donc a4ν2
a2 + b4ν2
b2 + c4ν2 c2 = 1 et ν2 = 1
a2+b2+c2. On a alors, pour ε = ±1, u = εa2
√a2+b2+c2, v = εb2
√a2+b2+c2 et w = εc2
√a2+b2+c2. On trouve dans ce cas : δ2 = 1
3(h−εp
a2+b2+c2)2. Cette quantit´e est inf´erieure si ε=−1, ce qui entraˆıne finalement
δ = 1
√3(h−p
a2+b2+c2) .
4
