Topologie et calcul diff´ erentiel

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 U.F.R. M.I.T.S.I.C.

Universit´e de Paris 8 Examen - jeudi 15 janvier 2009

Topologie et calcul diff´ erentiel

- Carte d’´etudiant obligatoire -

hormis une feuille A4 manuscrite, AUCUN document n’est autoris´e

Interdits : walkman, calculatrice, t´el´ephone, organizer, communication, sacs sur la table.

N’oubliez pas nom, pr´enom et num´ero sur chaque copie - Dur´ee : 3 heures.

Le barˆeme est sur 24 points (vous pouvez donc avoir 24 sur 20), les exercices sont ind´ependants et de difficult´es variables.

Je vous conseille de ne faire que 5 exercices sur les 6 mais de les faire s´erieusement, une attention particuli`ere sera apport´ee `a la clart´e ainsi qu’`a la qualit´e de la r´edaction.

Topologie

Exercice 1 (4 points)

(E,||.||) un espace vectoriel norm´e.

1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´ee B⁰(a, r) est l’adh´erence de la boule ouverte B(a, r).

2. Montrer que B(a, r)⊂B(b, R)⇐⇒ r6R et ||a−b||6R−r.

Exercice 2 (4 points)

Soit E ={f ∈C¹([0,1],R) ; f(0) = 0}. On pose

||f||= sup

06x61

|f(x) +f⁰(x)|, et N(f) = sup

06x61

|f(x)|+ sup

06x61

|f⁰(x)|.

Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes sur E.

Indication : Montrer que l’on a : – kfk6N(f) ;

– kf⁰k∞ 6kfk∞+kfk; – kfk_∞6kfk.

1

Continuit´ e

Exercice 3 (3 points)

Soit I un intervalle ouvert de R,f etg deux fonctions d´efinies sur I.

1. Soit a∈I. Donner une raison pour laquelle :

x→alimf(x) =f(a)

⇒

x→alim|f(x)|=|f(a)|

.

2. On suppose quef etgsont continues surI. En utilisant l’implication d´emontr´ee ci-dessus, la relation Sup (f, g) = ¹₂(f+g+|f−g|), et les propri´et´es des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f, g) est continue sur I.

Indication :

1. On pourra utiliser la variante de l’in´egalit´e triangulaire |x−y|>| |x| − |y| |.

2. Utiliser la premi`ere question pour montrer que |f −g| est continue.

Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 4 (3 points) R´esoudre l’´equation suivante :

y⁰−y= cosx.

Exercice 5 (5 points)

R´esoudre l’´equation suivante :

4y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y= sinxe^−x/2.

Exercice 6 (5 points)

On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante :

(E.D.) y⁰⁰−4y⁰+ 4y=d(x), o`ud est une fonction qui sera pr´ecis´ee plus loin.

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle homog`ene (ou sans second membre) associ´ee `a (E.D.).

2. Trouver une solution particuli`ere de (E.D.) lorsque d(x) = e^−2x et lorsque d(x) = e^2x respectivement.

3. Donner la forme g´en´erale des solutions de (E.D) lorsque

d(x) = e^−2x+e^2x

4 .

2