Partie II – Syst` eme diff´ erentiel

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MP Clemenceau 2020 - 21 Pour s’entrainer avant le DS 4

Notations et d´efinitions

• soientn∈IN^∗et (p, q)∈(IN^∗)²;

• IR[X] d´esigne l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans IR ; si P ∈ IR[X], on notera encore P la fonction polynomiale associ´ee ;

• Mp(IR) et Mp(C) d´esignent respectivement les ensembles des matrices carr´ees de taillep`a coefficients dans IR et dansC, et Mp,q(IR) et Mp,q(C) d´esignent respectivement les ensembles des matrices `a plignes et qcolonnes

`

a coefficients dans IR et dansC;

• on noteIp la matrice identit´e de Mp(C) et 0p la matrice de Mp(C) ne comportant que des 0 ;

• on noteχ_A le polynˆome caract´eristique d’une matriceA∈M_p(C), c’est-`a-dire le polynˆome det(XI_p−A) ;

• ´etant donn´ee une matriceM ∈Mp(C), on note Sp(M) l’ensemble des valeurs propres complexes deM. Objectifs

Dans la partie I, on d´etermine les valeurs propres d’une matrice tridiagonale sym´etrique r´eelle particuli`ere. On utilise les r´esultats d´emontr´es dans lapartie Ipour r´esoudre, dans lapartie II, un syst`eme diff´erentiel.

Partie I – ´ El´ ements propres d’une matrice

I.1 – Localisation des valeurs propres.

On consid`ere une matrice A = ((ai,j))_16i,j6n ∈ Mn(C). Soient une valeur propre λ∈C de A et un vecteur propre associ´ex=





 x1

... x_n





∈Mn,1(C)\

0_Mn,1(C) .

1) Montrer que pour touti∈[[1, n]], on a :λx_i=

n

X

j=1

a_i,jx_j.

2) Soiti0∈[[1, n]] tel que|xi₀|= max

j∈[[1,n]]|xj|. Montrer que :|λ|6

n

X

j=1

|ai₀,j|.

En d´eduire que :

|λ|6 max

i∈[[1,n]]







n

X

j=1

|ai,j|





 .

Soientαet β deux nombres r´eels. On consid`ere la matriceA_n(α, β)∈M_n(IR) d´efinie par :

An(α, β) =



















α β 0 · · · 0 β α β . .. ... 0 . .. . .. . .. 0 ... . .. β α β 0 · · · 0 β α

















 .

3) Justifier que les valeurs propres deA_n(α, β) sont r´eelles.

1

4) Soitλ∈IR une valeur propre deAn(α, β). Montrer que :

|λ|6|α|+ 2|β|.

I.2 – Calcul des valeurs propres deA_n(α, β).

5) En utilisant la question 4, montrer que pour toute valeur propreλdeA_n(0,1), il existeθ∈[0, π] tel queλ= 2 cos(θ).

On noteUn le polynˆomeχ_An(0,1)(2X).

6) Etablir, pour´ n>3, une relation entreχ_An(0,1), χ_An−1(0,1)etχ_An−2(0,1). En d´eduire, pour n>3, une relation entreUn,U_n−1 et U_n−2.

7) Montrer par r´ecurrence surnque pour toutθ∈]0, π[ :

U_n(cos(θ)) = sin((n+ 1)θ) sin(θ) .

8) D´eduire de la question pr´ec´edente que l’ensemble des valeurs propres de An(0,1) est n

2 cos _jπ

n+1

;j∈[[1, n]]o . D´eterminer la multiplicit´e des valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associ´es.

Consid´erons j∈[[1, n]] et posonsθ_j= jπ n+ 1.

9) Montrer que pour tout vecteur proprex=





 x1

... xn





∈Mn,1(IR) deAn(0,1) associ´e `a la valeur propre 2 cos(θj), on

a : 





−2 cos(θj)x1+x2 = 0,

∀k∈[[2, n−1]]t, x_k−1−2 cos(θj)xk+xk+1 = 0, x_n−1−2 cos(θj)xn = 0.

SoitE l’ensemble des suites r´eelles (uk)_k∈IN v´erifiant la relation de r´ecurrence :

∀k∈IN^∗, u_k−1−2 cos(θj)uk+uk+1= 0.

10) Montrer queEest un espace vectoriel sur IR dont on pr´ecisera la dimension.

11) D´eterminer l’ensemble des suites (uk)_k∈IN∈E telles queu0=un+1= 0.

12) En d´eduire l’espace propre deA_n(0,1) associ´e `a la valeur propre 2 cos(θ_j).

13) En d´eduire, pour tout (α, β)∈IR², l’ensemble des valeurs propres deA_n(α, β) et les espaces propres associ´es. On distinguera le casβ6= 0 du casβ= 0.

Partie II – Syst` eme diff´ erentiel

II.1 – Matrices par blocs

On consid`ereA,B,C etD des matrices de Mn(C) telles queC etD commutent.

14) Calculer

A B C D

D 0n

−C I_n

.

L’objectif des trois prochaines questions est de d´emontrer la relation : det

A B C D

= det(AD−BC). (1)

15) Montrer l’´egalit´e (1) dans le cas o`uD est inversible.

16) On ne suppose plusD inversible. Montrer qu’il existe p₀∈IN^∗ tel que pour tout p>p₀, la matrice D+¹_pI_n soit inversible.

2

17) En d´eduire que l’´egalit´e (1) est ´egalement vraie dans le cas o`u Dn’est pas inversible.

Consid´erons une matrice M ∈Mn(C) et formons la matrice : N =

0_n I_n M 0_n

.

18) Montrer que Sp(N) ={µ∈C;µ²∈Sp(M)}.

19) Soientµ∈Sp(N) etx=





 x1

... xn





∈Mn,1(C) un vecteur propre deM associ´e `a la valeur propreµ². Montrer que le vecteur

x µx

∈M_2n,1(C) est vecteur propre deN associ´e `a la valeur propreµ.

20) Montrer que siM est diagonalisable et inversible, alorsN est ´egalement diagonalisable et inversible.

II.2 – Application `a un syst`eme diff´erentiel dans le cas o`un= 2 On consid`ere le syst`eme diff´erentiel :

x⁰⁰₁ = −2x1+x2,

x⁰⁰₂ = x1−2x2. (2)

21) D´eterminer (α, β)∈IR²tel que le syst`eme (2) soit ´equivalent au syst`eme diff´erentiel du premier ordreX⁰=BX, o`uX =







 x1

x2

x⁰₁ x⁰₂









et B=

02 I2

A₂(α, β) 0₂

∈M4(IR).

Que d´eduit-on du th´eor`eme de Cauchy quant `a la structure de l’ensemble des solutions de ce syst`eme ? 22) En utilisant la question 18, d´eterminer les valeurs propres deB et en d´eduire queB est diagonalisable.

On consid`ere la matrice :

D=









−i√

3 0 0 0

0 i√

3 0 0

0 0 −i 0

0 0 0 i







 .

23) En utilisant la question 19, d´eterminer une matrice inversibleP ∈M₄(C) dont la premi`ere ligne ne comporte que des 1 et telle queB =P DP⁻¹.

24) D´eterminer l’ensemble des solutions du syst`eme diff´erentielY⁰=DY, avecY =







 y1

y2

y3

y4







 .

25) D´eterminer la solution du syst`eme diff´erentiel (2) avec conditions initiales (x1(0), x2(0), x⁰₁(0), x⁰₂(0)) = (1,0,0,0).

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