Partie II - Valeurs singulières d’une matrice

Centrale Maths 2 PSI 2009 — Énoncé 1/6

ConcoursCentrale- Supélec2009

Épreuve :

MATHÉMATIQUES II

PSI

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Préliminaires

Dans le problème,Rdésigne l’ensemble des nombres réels ;M_n(R)désigne l’es- pace vectoriel des matrices carrées d’ordrenà coefficients réels. L’espace vectoriel euclidienRⁿest muni du produit scalaire usuel. On identifie l’espace vectorielRⁿ et l’espace des matrices colonnes réelles d’ordren.

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X,Y >de deux vecteursX etYde Rⁿ sous la forme^tXYet la norme||X||=p

<X,X>sous la formep

tXX.

Pourλ₁, . . . ,λ_ndes réels, on note Diag(λ₁, . . . ,λ_n)∈ M_n(R)la matrice diagonale avecλ₁, . . . ,λncomme coefficients diagonaux.

On noteO(n)l’ensemble des matrices orthogonales deM_n(R).

Si Best une base deRⁿ, on note(x₁, . . . ,x_n)B le vecteur deRⁿ de coordonnées (x₁, . . . ,x_n)dans la baseB.

Si B

1 = (e₁,e₂, . . . ,e_n) et B

2 = (e₁^′,e^′₂, . . . ,e^′_n) sont deux bases de Rⁿ, on note PB_1→B₂ la matrice de passage deB₁versB₂.

Si f est un endomorphisme deRⁿ, on note MatB_1,B₂(f)la matrice de l’endomor- phismef par rapport à la baseB₁au départ etB₂à l’arrivée, c’est-à-dire la matrice dont les colonnes sont les vecteurs f(e₁)

B₂, f(e₂)

B₂, . . . , f(e_n)

B₂. En particulier, siB

1 = B₂ = B, on note MatB(f) = MatB_1,B₂(f)la matrice de l’endomorphisme f dans la baseB.

Partie I - Valeurs propres de AB et B A

Soitn>2 un entier etA,Bdeux matrices appartenant àM_n(R).

On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité.

I.A -Cas de la valeur 0.

I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre deABsi, et seulement si, det(AB) =0.

I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre deABsi, et seulement si, 0 est valeur propre deBA.

I.B -Soitλune valeur propre réelle non nulle deAB,X∈Rⁿun vecteur propre de ABassocié à cette valeur propreλ.

I.B.1) Démontrer que les vecteursABXetBXsont non nuls.

I.B.2) Démontrer que le vecteurBXest vecteur propre pour la matriceBA.

I.B.3) Démontrer queABetBAont les mêmes valeurs propres réelles.

I.C -On suppose queAest inversible. On noteIla matrice identité d’ordren.

I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matriceABA−xA, démontrer que pour toutxréel ou complexe, on a : det(AB−xI) =det(BA−xI).

I.C.2) En déduire queABet BAont les mêmes valeurs propres réelles ou com- plexes, avec le même ordre de multiplicité.

On admet que ce résultat est encore vrai siAn’est pas inversible.

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Partie II - Valeurs singulières d’une matrice

Dans cette partie II, on fixe un entiern,n>2, une matriceAappartenant àM_n(R) et on poser=rg(A).

On note f et g les deux endomorphismes de Rⁿ dont les matrices dans la base canoniqueBsont respectivementAet^tAA.

II.A -Diagonalisation deA^tAet de^tAA.

II.A.1)

a) Démontrer que pour toutX∈Rⁿ, AX=0=⇒^tAAX=0.

b) On suppose queX∈Rⁿest tel que^tAAX=0.

Calculer^tX^tAAXet en déduire queAX=0.

c) En déduire que Kerg=Ker f puis querg(A) =rg(^tAA).

II.A.2) Démontrer que^tAAetA^tAsont deux matrices symétriques.

II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu’il existeP,Q∈O(n)etD∈ M_n(R) diagonale telles que

tAA=PD^tPetA^tA=QD^tQ On poseD=Diag(λ₁, . . . ,λn)

II.A.4) Démontrer queDpossède exactementrtermes diagonaux non nuls.

On suppose par la suite queλ₁, . . . ,λ_rsont non nuls et donc λ_r+1=· · ·=λn =0.

II.A.5)

a) En utilisant^tAA = PD^tP, démontrer qu’on peut écrireD sous la forme^tMM, avecM∈M_n(R).

b) Démontrer queλ₁, . . . ,λ_n ∈[0,+∞[.

Pouri∈ {1, . . . ,n}, on appelle « valeurs singulières deA» lesnnombresσ_idéfinis parσ_i=p

λ_i.

II.A.6) SoientU,V∈O(n).

Démontrer que les valeurs singulières deU AVsont exactement celles deA.

II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose queA ∈ M_n(R)est une ma- trice symétrique réelle.

Déterminer les valeurs singulières deAen fonction des valeurs propres deA.

II.B -On rappelle que A = MatB(f)et^tAA = MatB(g)et dans cette section, on noteρ=rg(^tAA) =rg(g).

II.B.1) Justifier l’existence d’une base orthonormée deRⁿnotéeB₁= (X₁, . . . ,X_n) telle que :

• Pour tout entieri∈[1,ρ],^tAAX_i =λ_iX_i;

• (X_ρ+1, . . . ,X_n)soit une base de Ker f.

II.B.2) Démontrer que la famille(AX₁, . . . ,AXρ)est une famille orthogonale de vecteurs non nuls et une base de Im(f).

II.B.3) Pour tout entieri∈[1,ρ], calculer||AX_i||.

II.B.4) Démontrer qu’il existe une base orthonorméeB₂deRⁿtelle que MatB_1,B₂(f) =Diag(σ₁, . . . ,σn).

II.B.5) Démontrer qu’il existe deux matrices orthogonalesP₁,P₂∈O(n)telles que A=P₁·Diag(σ₁, . . . ,σ_n)·P₂.

II.C -

II.C.1) Soientσ₁, . . . ,σ_n ∈R⁺des réels positifs.

Démontrer qu’il existe deux matricesQ₁etQ₂dansO(n)telles que :

A=Q₁·Diag(σ₁, . . . ,σn)·Q₂⇐⇒σ₁, . . . ,σnsont les valeurs singulières deA.

II.C.2) SoientA,B∈M_n(R)deux matrices réelles. Démontrer que :

AetBont les mêmes valeurs singulières⇐⇒ ∃(R₁,R₂)∈O(n)²,A=R₁BR₂.

Partie III - Étude géométrique d’un exemple

Dans cette partie, on poseA=





1 −1 0

1 0 1

0 0 0



.

On note f l’endomorphisme deR³canoniquement associé àAetBla base cano- nique deR³.

III.A -Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie II.

III.A.1) Déterminer le rang deAet calculer^tAA.

III.A.2) Déterminer les valeurs singulières deAque l’on noteraσ₁,σ₂,σ₃ avecσ₁>σ₂>σ₃.

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III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de^tAAque l’on noteraB₁= (X₁,X₂,X₃).

On rangera les vecteurs dans l’ordre décroissant des valeurs propres correspon- dantes.

III.A.4) Déterminer une base orthonorméeB

2= (Y₁,Y₂,Y₃)telle que MatB_1,B₂(f) =Diag(σ₁,σ₂,σ₃).

III.A.5) Démontrer queA=PB_→B₂·Diag(σ₁,σ₂,σ₃)·^tPB_→B₁. On pose pour la suiteP=PB_→B₁,Q=PB_→B₂ etD=Diag(σ₁,σ₂,σ₃).

III.B -On étudie la partieSdeR³définie par

S ={AX; X∈R³,||X||=1}={f(x); x∈R³,||x||=1}.

C’est donc l’ensemble décrit par f(x)quand x décrit l’ensemble des vecteurs de norme 1 (sphère unité deR³).

III.B.1) Démontrer queSest une partie d’un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne.

III.B.2) Démontrer queS ={QDX^′,X^′∈R³,||X^′||=1}.

III.B.3) Démontrer que dans une base adaptéeB^′à déterminer, y= (y₁,y₂,y₃)B^′ ∈ S ⇐⇒





 y²₁ σ₁²+ y²₂

σ₂² 61 y₃=0

III.B.4) Préciser la nature géométrique de l’ensembleS.

Partie IV - Image de la sphère unité

Dans cette partie, comme dans la Partie III,Aest une matrice deM₃(R)et on étudie Sl’ensembleS ={AX;X∈R³,||X||=1}.

IV.A -

Dans cette section on suppose que rg(A) =3.

IV.A.1) Démontrer queAadmet trois valeurs singulièresσ₁,σ₂,σ₃strictement po- sitives, distinctes ou non.

IV.A.2) Démontrer qu’il existe une base orthonormée deR³notéeB^′telle que :

= (y ) ∈ ⇐⇒ y²₁ +y²₂

+y²₃

=

IV.B -

Dans cette section, on suppose que rg(A) =1.

IV.B.1) Démontrer qu’une seule des valeurs singulières deAest non nulle.

On la noteσ₁.

IV.B.2) Démontrer queS est un segment dont on donnera la longueur.

Partie V - Pseudo-inverse d’une matrice

Soitnun entier,n>2 etA∈M_n(R), qu’on écrit, comme dans la Partie II, sous la formeA=Q₁·Diag(σ₁, . . . ,σp, 0, . . . , 0)·Q₂, oùQ₁,Q₂∈O(n)sont deux matrices orthogonales etσ₁, . . . ,σpdes réels strictement positifs.

On définit le pseudo-inverseA⁺deApar A⁺=^tQ₂·Diag

1

σ₁,· · ·, 1

σ_p, 0 ,· · ·, 0

·^tQ₁ On poseP=AA⁺.

V.A -Démontrer querg(A) =p.

V.B -Simplifier le produit matriciel AA⁺ et en déduire que, si Aest une matrice inversible,A⁺ =A⁻¹.

V.C -On note f ethles endomorphismesRⁿdont les matrices dans la base cano- nique sont respectivementAetP.

Démontrer quehest un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.

V.D -Démontrer que Im(f) =Im(h).

V.E -SoitY∈Rⁿfixé.

On considère le système linéaire AX = Y, oùX ∈ Rⁿ est l’inconnu. On suppose que ce système n’a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteursXtels que la norme deY−AXsoit minimale.

Démontrer queX=A⁺Yest l’un de ces vecteurs.

• • •FIN• • •