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Define: grad f = ∇f the vector field given by: x7→ n X i=1 ∂f ∂xi ∂ ∂xi and div X the function x7→ n X i=1 ∂Xi ∂xi

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Academic year: 2022

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HOMEWORK 7 MATH-GA 2350.001 DIFFERENTIAL GEOMETRY I (part 1 is due by November, 21, 2016)

1. Let ω be a differential form on Rn given by:

ω=

n

X

i=1

(−1)i−1xidx1∧. . .dxci. . .∧dxn.

(a) Compute dω.

(b) Let A:Rn→Rn be a linear map. Compute A∗ω.

2. Let U be an open in E = Rn. Let f : U → R be a smooth function, X = Pn

i=1Xi∂x∂

i ∈ X(U) be a vector field on U. Define: grad f = ∇f the vector field given by:

x7→

n

X

i=1

∂f

∂xi

∂

∂xi and div X the function

x7→

n

X

i=1

∂Xi

∂xi.

Show that

(a) LX(dx1∧. . .∧dxn) = (div X)dx1∧. . .∧dxn; (b) div(f X) =f divX +hgrad f, Xi.

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