ii) Montrer que l’´egalit´e suivante est v´erifi´ee : δ(f(x)) =X i 1 |f0(xi)|δ(x−xi) o`u xi sont les z´eros def(x) et on suppose que f0(xi)6= 0

Electrodynamique S´erie 2 23 Septembre 2015

Exercice 1 Rappels de magn´etostatique: fil infini

Soit un fil infini de section n´egligeable parcouru par un courantI:

i) En utilisant la sym´etrie du probl`eme calculer le champ magn´etiqueB en d´eduire le potentiel vecteur A.

ii) Calculer B etAavec la loi de Biot-Savart:

A(x) = µ0

4π

Z j(x⁰)

|x−x⁰|d³x⁰ B(x) = µ0

4π Z

j(x⁰)× x−x⁰

|x−x⁰|³d³x⁰

Exercice 2 Distribution δ de Dirac

i) Prouver que l’expression suivante peut servir de repr´esentation pour la distributionδ:

α→0lim α π(x²+α²)

en montrant que qu’elle satisfait R∞

−∞ δ(x)f(x)dx =f(0) avec f une fonction test lisse d´ecroissant vite. Plus pr´ecis´ement, on fera l’hypoth`ese quef ∈ S(R) o`u S(R) est l’espace de Schwartz.

ii) Montrer que l’´egalit´e suivante est v´erifi´ee : δ(f(x)) =X

i

1

|f⁰(x_i)|δ(x−x_i)

o`u xi sont les z´eros def(x) et on suppose que f⁰(xi)6= 0.

iii) Prouver l’identit´e suivante dans un espace n-dimensionnel:

Z

f(x)∇_xδⁿ(x−x₀)dⁿx=−∇_xf|_x=x0

iv) Soitg(x) une fonction lisse, non-nulle uniquement dans un intervalle [a, b] contenant x₀. Calculer:

Z

g(x)θ⁰(x−x₀) dx .

En d´eduire une relation entre la fonction θde Heaviside et la fonction δ de Dirac.

v) Evaluer les int´egrales suivantes:

Z

g(x)δ⁰(x−x0) dx Z

g(x)δ⁰⁰(x−x₀)dx

vi) Calculer exp(x0 d dx)δ(x).

vii) Montrer que 1 2π

Z ∞

−∞

exp(iωt)dω=δ(t).

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