Universit´e de Bordeaux Alg`ebre 4– Licence 3
Math´ematiques Ann´ee 2015 – 2016
Devoir Maison 1
Exercice 1 – Soit un entier naturel m. On note Im l’id´eal de Z[X]
engendr´e par m et X :
Im=hm, Xi.
1) Montrer que I4 n’est ni premier ni maximal.
2)Soitil’injection canonique deZdansZ[X] qui `a tout entiernassocie le polynˆome constant ´egal `an et soitp:Z[X]→Z[X]/Imla projection canonique. On poseh=p◦i. Montrer quehest un morphisme surjectif de Z surZ[X]/Im.
3) D´eterminer le noyau de h et en d´eduire que Z[X]/Im 'Z/mZ. 4) Pour quelles valeurs de m l’id´eal Im est-il premier ? Pour quelles valeurs de m est-il maximal ?
5) On a vu en TD que Im est principal si et seulement si m ∈ {0,1}.
G´en´eralisons un peu. Soient m et n deux entiers naturels et soit Im,n l’id´eal de Z[X] engendr´e parm etnX :
Im,n =hm, nXi.
D´eterminer les couples (m, n) pour lesquels Im,n est principal.
F 6) Pour quels couples (m, n) l’id´eal Im,n est-il premier ? Pour quels couples (m, n) est-il maximal ?
Exercice 2– On note Al’ensemble des applications continues de [0,1]
dans R. On munit cet ensemble des lois + et × d´efinies par : (f + g)(x) = f(x) +g(x) et (f ×g)(x) = f(x)g(x) pour tout x∈[0,1].
1) V´erifier que (A,+,×) est un anneau commutatif.
2) Est-il int`egre ? 3) D´eterminer A×.
4) Soit a ∈ [0,1]. On pose Ia = {f ∈ A; f(a) = 0} et on note φa : A → R l’application d´efinie par φa(f) = f(a). Montrer, en se servant de φa, que Ia est un id´eal maximal de A.
5) Essayer de retrouver ce r´esultat sans avoir recours `a φa.
6) On se propose dans cette question d’´etablir la r´eciproque, `a savoir que tout id´eal maximal deAest de la formeIa. SoitIun id´eal maximal de A.
a) Supposons dans les questions a), b) et c) que pour touta∈[0,1]
on a I 6⊂ Ia. Montrer que pour tout a ∈ [0,1], il existe fa ∈ I et Ua un voisinage ouvert dea sur lequelfa ne s’annule pas.
b) Montrer `a l’aide de la compacit´e de [0,1] qu’il existe une appli- cation f de I v´erifiant f(x)>0 pour tout x∈[0,1].
c) En d´eduire que I ne peut ˆetre maximal.
d) ´Etablir qu’il existe a∈[0,1] tel que I =Ia.
7)Parmi les r´esultats ´etablis pr´ec´edemment dans les questions 4) et 6), quels sont ceux qui subsistent si on remplace l’anneau A par l’anneau des applications continues de R dans R ?
Exercice 3 – On consid`ere P l’ensemble des polynˆomes deZ[X] uni- taires, de degr´e ≥ 1, dont tous les coefficients valent 1 ou −1 et dont toutes les racines dans C sont r´eelles.
1) Soit P(X) ∈ P de degr´e n ≥ 2 et soient x1, x2, . . . , xn ses racines.
Calculer Pn i=1x2i.
2)On suppose encoren ≥2. `A l’aide de l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´e- trique1, borner n.
3) D´eterminer tous les ´el´ements deP.
1L’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique s’´enonce ainsi. Soient un entiern≥1 etn r´eels a1, a2, . . . , an ≥0. Alors (a1a2· · ·an)1/n≤ a1+a2+···+an n et il y a ´egalit´e si et seulement si pour tout iet toutj,ai=aj.
