Topologie de Zariski

Alg`ebre 2 – TD8 2010-2011

Topologie de Zariski

Exercice n^o 1 Soit k un corps. La topologie de Zariski sur kⁿ est la topologie induite par la topologie de Zariski deSpec(k[X₁, . . . , X_n]) via l’inclusion canonique kⁿ⊂Spec(k[X₁, . . . , X_n]). Montrer que sik est infini, la topologie de Zariski surk² n’est pas la topologie produit sur k×k o`uk est muni de la topologie de Zariski.

Exercice n^o 2 Parmi les sous-vari´et´es suivantes deC², d´eterminer lesquelles sont irr´eductibles, et pr´eciser leurs composantes irr´eductibles :

V(Y²−X), V(XY), V(X²+Y²), V(Y² −X³ −X).

Exercice n^o 3

1. Soit u:A →B un morphisme d’anneaux. Montrer que l’image inverse par u induit une application continue

u^♯ :Spec(B)→Spec(A).

2. Soit I un id´eal de l’anneau A et soit p : A → A/I la projection canonique.

Montrer quep^♯:Spec(A/I)→Spec(A) induit un isomorphisme deSpec(A/I) sur le ferm´e V(I) de Spec(A).

3. Montrer que Spec(A^red) est canoniquement hom´eomorphe `aSpec(A).

D´ ecomposition primaire, id´ eaux associ´ es

Exercice n^o 4 SoitAun anneau noeth´erien etI un id´eal irr´eductible deA. Soient a, b ∈ A tels que ab ∈ I mais a /∈ I et b /∈ √

I. Montrer que pour n suffisamment grand, on a

I = (I+ (bⁿ))∩(I :bⁿ).

Exercice n^o 5

1. Quels sont les id´eaux primaires de Z?

2. SoitK un corps et soitAl’anneau K[X, Y, Z]/(XY −Z²). Montrer que l’id´eal deAengendr´e par les classes de X etZ est premier, mais que son carr´e n’est pas primaire.

3. Dans l’anneau Z[X], montrer que l’id´eal engendr´e par 4 et X est primaire mais n’est pas une puissance d’un id´eal premier. Quel est son radical ?

Exercice n^o 6

1. Soit A un anneau. Montrer que les id´eaux premiers minimaux de A sont des id´eaux premiers associ´es (`a l’id´eal nul). Montrer qu’il peut y en avoir d’autres.

On pourra penser `a la d´ecomposition primaire de (XY, X²).

2. Si A est r´eduit, montrer que les id´eaux premiers associ´es (`a l’id´eal nul) sont exactement les id´eaux premiers minimaux de A.

Alg`ebre 2 – TD8 2010-2011

Exercice n^o 7 SoitKun corps. Dans l’anneauK[X, Y, Z], trouver une d´ecomposition primaire de l’id´eal (XY, Y Z, ZX).

Exercice n^o 8 (D´ecomposition primaire des id´eaux monomiaux) Soit K un corps, et soit R l’anneau de polynˆomes k[X₁, . . . , X_n]. On dit qu’un id´eal de R est monomial s’il est engendr´e par des monˆomes en lesX_i. SoitI un id´eal monomial deR.

1. Si x∈I, montrer que les monˆomes apparaissant dans x sont dans I.

2. Montrer qu’il existe un unique ensemble minimal Sde monˆomes qui engendre I.

3. Montrer que le radical de√ I est monomial, qu’un monˆome X_i1. . . X_ir est dans I si et seulement si il existe des entiers strictement positifs a₁, . . . , a_r tels queX_i^a₁¹. . . X_i^a_r^r ∈S, et que les tels monˆomes engendrent le radical de I.

4. Soit i un entier entre 1 et n. Montrer que l’on a l’´egalit´e

X_i = ∑

m∈S

((m) : (X_i))

et calculer ((m) : (X_i)) quandm est un monˆome quelconque.

5. Montrer que tout id´eal premier associ´e `a I est monomial.

6. Montrer que I est primaire si et seulement si pour tout X_i, si X_i divise un

´el´ement de S, alors X_i ∈√

I. On pourra d’abord montrer que le radical deI est premier.

7. D´ecrire un algorithme qui donne la d´ecomposition primaire d’un id´eal mo- nomial et l’appliquer `a (X², XY) dansK[X, Y]. On pourra utiliser l’exercice 4.