DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Id´ eaux de L(E)
Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. E d´esigne ici un R-espace vectoriel de dimension finie n, et B = (e1, . . . , en) est une base fix´ee deE.
Une partieI deL(E) est appel´eeid´eal `a gauche (resp.`a droite) deL(E) si – (I,+) est un sous-groupe de (L(E),+).
– Pour toutf ∈ L(E), toutu∈ I, f ◦u∈ I (resp.u◦f ∈ I).
Si I est un id´eal `a droite et `a gauche deL(E), on dit queI est unid´eal bilat`ere.
Rappel (symbole de Kronecker) :´etant donn´es deux entiersi etj,δi,j vaut 1 sii=j, et 0 sinon.
Pour tout (i, j)∈[[1, n]]2, on noteϕi,jl’endomorphisme deL(E) envoyant ek sur 0E sik∈[[1, n]]\{j}, etej surei. Autrement dit, pour tout entierk∈[[1, n]], ϕi,j(ek) =δj,kei.
Rappel :(ϕi,j)16i6n,16j6n est une base deL(E).
Partie A – G´ en´ eralit´ es et pr´ eliminaires
A.1Soitf etg deux endomorphismes deE.
a Montrer que Im(f +g)⊂Im(f) + Im(g). Donner un exemple o`u cette inclusion est stricte.
bMontrer que Ker(f)∩Ker(g)⊂Ker(f +g). Donner un exemple o`u cette inclusion est stricte.
A.2 On donne quelques propri´et´es sur les id´eaux `a gauche deL(E). Soit I et J deux id´eaux `a gauche de L(E).
a Montrer queI est un sous-espace vectoriel deL(E).
bMontrer que sif◦g∈ I etf ∈GL(E), alorsg∈ I.
cMontrer que si GL(E)∩ I 6=∅, alorsI=L(E).
dMontrer queI+J est un id´eal `a gauche deL(E).
eMontrer queI ∩ J est un id´eal `a gauche deL(E).
Bien entendu, on a des propri´et´es analogues (admises) pour les id´eaux `a droite, et les id´eaux bilat`eres.
A.3Soiti, j, k, l∈[[1, n]]. Montrer que : ϕi,j◦ϕk,l=δj,kϕi,l.
A.4 Soitf ∈ L(E), et F un suppl´ementaire de Ker(f) dans E. Montrer l’existence d’un automorphisme v de E tel que v|F =f|F. Montrer que v(Ker(f))⊕Im(f) =E. En d´eduire que f peut s’´ecrire sous la forme f =p◦u, o`u pest un projecteur deE, etuun automorphisme deE.
Partie B – Id´ eaux bilat` eres de L(E)
B.1Donner deux id´eaux bilat`eres deL(E).
SoitI un id´eal bilat`ere deL(E).
B.2Montrer que siI comprendϕi0,j0 pour certains entiersi0, j0∈[[1, n]], alors il contient {ϕi,j,16i6n,16j6n}.
B.3On suppose iciI distinct de {0L(E)}. Montrer que pour tout (i, j)∈[[1, n]]2, ϕi,j ∈ I. En d´eduire que I=L(E).
Indication : on pourra d´ecomposer un ´el´ement non nul deI dans la base (ϕi,j)16i6n,16j6n, utiliser A.3 et la question pr´ec´edente.
B.4Donner l’ensemble des id´eaux bilat`eres deL(E).
Partie C – Id´ eaux ` a droite de L(E)
C.1SoitF un sous-espace vectoriel deE. On pose
DF ={f ∈ L(E), Im(f)⊂F}
a Montrer queDF est un id´eal `a droite deL(E).
bMontrer que la dimension deDF est ndim(F).
C.2On fixe un endomorphismeαdeE. On pose
Dα={α◦g, g∈ L(E)}
a Montrer queDα est un id´eal `a droite deL(E).
bMontrer queDα⊂ DIm(α).
On consid`ere l’application lin´eaire ∆ :g7→α◦g deL(E) dansDIm(α). cCalculer la dimension du noyau de ∆.
dEn d´eduire que ∆ est un morphisme surjectif d’espaces vectoriels, et queDα=DIm(α). C.3SoitI un id´eal `a droite deL(E).
a Montrer l’existence de α ∈ I tel que pour tout f ∈ I, rg(f) 6 rg(α). On fixe un tel α. Montrer l’existence d’un projecteurp∈ I tel que Dα=Dp.
On a l’inclusion ´evidente Dp ⊂ I. On veut prouver par l’absurde queDp =I, en supposant l’existence de g∈ I\Dp.
bMontrer l’existence dey∈Im(g) n’appartenant pas `a Im(p).
SoitH un suppl´ementaire de Im(p) +Ry dansE.
cMontrer queH+ Im(p) est un suppl´ementaire deRy dansE.
dMontrer que la projectionq surRy parall`element `aH+ Im(p) est un ´el´ement deI.
eMontrer que Im(p+q) = Im(p) +Ry.
f Conclure.
C.4Montrer qu’aucun hyperplan deL(E) n’est id´eal `a droite deL(E).
Partie D – Id´ eaux ` a gauche de L(E)
D.1SoitF un sous-espace vectoriel deE. Montrer que
GF ={f ∈ L(E), F ⊂Ker(f)}
est un id´eal `a gauche deL(E).
D.2Soitβ ∈ L(E).
a Montrer que l’ensemble
Gβ ={g◦β, g∈ L(E)}
est un id´eal `a gauche deL(E), inclus dansGKer(β). bMontrer queGβ=GKer(β).
On admet que tout id´eal `a gauche deL(E) est de ce type.
Partie E – Quelques cons´ equences
E.1Montrer que siF, Gsont deux sous-espaces vectoriels deE, avecF ⊂G, alorsDF ⊂ DG, etGG⊂ GF. E.2Soitf, g∈ L(E).
a Montrer queDf+Dg =DIm(f)+Im(g) etDf∩Dg=DIm(f)∩Im(g). bMontrer queGf+Gg=GKer(f)∩Ker(g)etGf∩Gg=GKer(f)+Ker(g). E.3Soitf, g, h∈ L(E).
a On suppose Im(h)⊂Im(f) + Im(g). Montrer l’existence d’endomorphismesu, v deE tels que h=f◦u+g◦v.
bOn suppose Ker(f)∩Ker(g)⊂Ker(h). Montrer l’existence d’endomorphismesw, x deEtels que h=w◦f+x◦g.
