2 Homommorphismes d’anneaux, id´ eaux

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LICENCE LM372, COURS (Ch. Peskine). Programme examen juin 2011.

R´evis´e le 23 juin!

1 Anneaux

Définition 1.1 Un anneau (A,+, .)est un groupe commutatif (dont la loi est noté+ et est applelée addition) muni d’une deuxième loi de composition interne (noté multiplica- tivement et appelée multiplication) vérifiant les conditions suivantes.

0) Il existe un élément neutre pour la multiplication; il est noté 1(si nécessaire 1A).

1) a(bc) = (ab)c pour tous a, b, c∈A (la multiplication est associative).

2) a(b+c) =ab+ac et (b+c)a=ba+capour tousa, b, c∈A (la multiplication est distributive par rapport `a l’addition).

Si la multiplication est commutative, l’anneau est dit commutatif.

Deux remarques simples, mais importantes.

1) 0a= 0 pour touta∈A. En effet 0a= (0 + 0)a= 0a+ 0a, donc 0a= 0.

2) (−1)a=−a. En effet 0 = 0a= (1 + (−1))a=a+ (−1)a.

3)A#={0} ⇔0#= 1. En effet, si a#= 0, on a 1a=a#= 0 = 0a.

Définition 1.2 Le groupe des éléments inversibles (pour la multiplication) de A, noté U(A), est appelé groupe des unités de A.

Il est important de bien comprendre pourquoi les ´el´ements inversibles (pour la mul- tipliation) forment un groupe.

Exemples 1.3 1) Z. Alors U(Z) ={−1,1}.

2) un corps K est un anneau; par exemple Q,R,C, ainsi que Z/pZ (o`u p est un nombre premier). On a U(K) =K^∗.

3) Si A est un anneau, vous connaissez l’anneau des polynômes, en la variable T, à coefficients dans A; il est noté A[T].

- Si K est un corps U(K[T]) =K^∗.

- On a U(Z[T]) ={−1,1} (vous devez vous en convaincre).

5) Si A et B sont des anneaux (commutatifs), alors A×B est un anneau pour les opérations(a, b)+(a^", b^") = (a+a^", b+b^")et(a, b)(a^", b^") = (aa^", bb^"); l’élément1deA×B est évidemment (1A,1B). On aU(A×B) =U(A)×U(B). Vérifiez tout cela!

6) Les matrices carrées n×n, à coefficients dans un anneau A, forment un anneau notéM_n(A). SiA#={0} et sin≥2, cet anneau n’est pas commutatif.

Dans la suite de ce cours, on ne consid`erera que les anneaux commutatifs.

Remarques 1.4 Soit Aun anneau commutatif. Il y a une identification naturelle entre les anneaux de polynˆomes A[X][Y]et A[Y][X].

On note ces deux anneaux A[X, Y].

Plus généralement on peut parler de l’anneau des polynômes en lesnvariablesX₁, ..., X_n,

`a coefficients dans A, que l”on note A[X1, ..., Xn].

Ici, on a bien sˆur poser XY =Y X.

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D´efinition 1.5 Soit A un anneau. Si B ⊂A est un sous-groupe pour +, tel que a, b∈ B ⇒ ab∈ B et tel que 1A ∈B, alors B est un sous-anneau de A. Si A et B sont des corps, alors on dit que B est un sous-corps deA.

Remarquez que les polynômes de degré 0 de A[X] forment un sous-anneau de A[X], auquelA s’identifie évidemment.

Exemples 1.6 1) Z est un sous-anneau de Q qui est un sous-corps de R, qui est un sous-corps de C.

2) A est un sous-anneau de A[X], qui est un sous-anneau de A[X, Y].

Comme vous l’avez compris, un élément non nul d’un anneau n’est pas toujours inversible. Par exemple, un polynômeP ∈K[X], de degré>0, n’est pas inversible.

Vous n’avez pas vu le pire! Dans un annea, un élément peut être diviseur de 0.

Définition 1.7 Un élémenta#= 0d’un anneauAest diviseur de0s’il existeb∈A, b#= 0 tel que ab= 0.

Un ´el´ement a est nilpotent s’il existen≥1 tel que aⁿ= 0.

Un anneau non nul et sans diviseur de 0 est dit int`egre.

Un corps est un anneau intègre dont tout élément non nul est inversible (pour la multiplication).

ATTENTION : dans un anneau ayant des diviseurs de 0 on ne peut pas toujours simplifier. Autrement dit ab=acn’implique pas b=c, sauf si aest non diviseur de 0.

Exercice 1.8 Montrez que siAest un anneau int`egre, alorsA[T]est un anneau int`egre.

Plus précisément, montrer que si P etQ sont des polynômes non nuls, alors P Q#= 0 et son degré est la somme des degrés de P et de Q.

Corrig´e de l’exercice.

SoientP, Q∈A[T]. Supposons les$= 0 et soientnetmleurs degr´es respectifs. On aP=anTⁿ+an−1Tⁿ⁻¹+ ..., avecan$= 0, etQ=bmT^m+bm−1T^m⁻¹+..., avecbm$= 0. On a alors

P Q=anbmT^n+m+ (anb_m−1+a_n−1bm)T^n+m⁻¹+...+a0b0, avecanbm$= 0 carAest int`egre, ce qui montre bien queP Q$= 0 et qued⁰(P Q) =d⁰P+d⁰Q.

Attention à nouveau, siAn’est pas intègre, le degré deP Qpeut être strictement inférieur àd⁰P+d⁰Q.

Définition 1.9 Le polynôme nul a tous les degrés.

Je tiens beaucoup à cette convention, mais si vous n’en voulez à aucun prix, vous pouvez continuer à penser que le degré du polynôme nul est−∞

Th´eor`eme 1.10 1) Dans le groupe quotient Z/nZ, si cl(m) = cl(m^") et cl(r) = cl(r^"), alorscl(mr) =cl(m^"r^").

2) La multiplication cl(m)cl(r) =cl(mr) est alors bien d´efinie dansZ/nZ et donne

à ce groupe une structure d’anneau dont l’ élément unité estcl(1).

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Preuve de 1) : Sim−m^" ∈nZetr−r^" ∈nZ, alorsmr−m^"r^" =m(r−r^")−r^"(m−m^")∈ nZ.

Pour 2), je vous laisse le soin de montrer que ce produit bien d´efini est associatif et distributif par rapport `a l’addition.

Exemples 1.11 1) L’exemple le plus simple d’un anneau non int`egre (donc ayant des diviseurs de 0) est Z/4Z. Il est clair que cl(2) #= 0 et que cl(2)² = 0, donc cl(2) est nilpotent et diviseur de 0.

2) Plus généralement, si n n’est pas premier il existe une décomposition n = st, avec 1 < s, t < n. Dans l’anneau Z/nZ, on a alors cl(s) #= 0 et cl(t) #= 0 mais bien

´evidemment cl(s)cl(t) =cl(st) = 0.

Remarquons que dans les anneaux Z/nZ, les éléments non diviseurs de zéro et les

éléments inversibles sont les mêmes.

Proposition 1.12 Soit cl(m)∈Z/nZ. Les conditions suivantes sont ´equivalentes.

1) n et m sont premiers entre eux, 2) cl(m) est inversible,

3) cl(m) est non-diviseur de0.

Supposons d’abord que netm sont premiers entre eux. Alors, il existe une relation am+bn= 1, aveca, b∈Z. On en déduit cl(a)cl(m) + 0 =cl(1)∈Z/nZ, ce qui montre quecl(m) est un élément inversible. Un élément inversible est évidemment non diviseur de zéro. Il reste à montrer que si cl(m) est non diviseur de zéro, alors (m, n) = 1.

Sinon, soit p un facteur commun à m et n. On a alors m(n/p) = (m/p)n ∈ nZ, donc cl(m)cl(n/p) = 0 ∈Z/nZ. Comme cl(n/p) #= 0∈ Z/nZ, on a montré quecl(m) est un divieur de zéro dans Z/nZ(une contradiction).

Corollaire 1.13 L’indicatrice d’Eulerφ(n)est le cardinal du groupe des unit´esU(Z/nZ).

C’est clair !

Corollaire 1.14 Les conditions suivantes sont ´equivalentes.

1) n est premier,

2) l’anneau Z/nZ est un corps, 3) l’anneau Z/nZ est int`egre

1) ⇒ 2) : en effet, si n est premier, alors (m, n) = 1 pour tout 0 < m < n, donc cl(m)∈Z/nZ est inversible pourcl(m)#= 0.

2)⇒ 3) car un corps est un anneau int`egre.

3)⇒1) : si 0< m < n, alors 0#=cl(m)∈Z/nZ, donccl(m) est non diviseur de z´ero Z/nZ, ce qui implique (m, n) = 1.

Exercice 1.15 1) Décrire les éléments nilpotents de Z/pⁿZ (ici p est un nombre pre- mier) et les compter.

2) Décrire les éléments nilpotents de Z/pⁿq^mZ(ici p etq sont des nombres premiers distincts) et les compter.

3) Décrire les éléments nilpotents de Z/pⁿ₁¹...pⁿ_r^rZ et les compter.

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1) cl(a)^r = 0⇔a^r ∈pⁿZ, donccl(a)∈ Z/pⁿZest nilpotent si et seulement s’il existe un entierr >0 tel quea^r∈pⁿZ, c’est à dire si et seulement sipdivisea. Donc les éléments nilpotents deZ/pⁿZsont les éléments cl(tp)∈Z/pⁿZ, avec 1≤t≤pⁿ⁻¹. Il y en apⁿ⁻¹(en comptant 0).

Il est intéressant de remarquer qu’un élément de l’anneau Z/pⁿZ est soit inversible, soit nilpotent. En conséquenbce, l’anneau est la réunion disjoint de son groupe des éléments inversibles et de l’ensemble des ses

´

el´ements nilpotents.

2) On voit imm´ediatement que cl(a) ∈ Z/pⁿq^mZ est nilpotent si et seulement si pq divise m. Donc les

´

eléments nilpotents sont les élémentscl(tpq)∈Z/pⁿq^mZ, avec 1≤tett /∈pⁿ⁻¹q^m⁻¹Z. Il y en apⁿ⁻¹q^m⁻¹. 3) Ce sont les élémentscl(tp1...pr)∈Z/pⁿ₁¹...pⁿr^rZ. Leur nombre estpⁿ₁¹⁻¹...pⁿr^r⁻¹.

2 Homommorphismes d’anneaux, id´ eaux

D´efinition 2.1 Soient A et B deux anneaux. Un application f :A→ B est un homo- morphisme d’anneaux si

1) f est un homomorphisme de groupes;

2) f(aa^") =f(a)f(a^") pour tous a, a^"∈A;

3) f(1_A) = 1_B.

4) S’il existe un homomorphisme g:B →A tel que gof =Id_A et f og=Id_B, on dit que f est un isomorphisme (et g aussi ´evidemment).

Attention `a la condition 3); j’y tiens!

Exemple 2.2 Soient A et B deux anneaux.

Les projections p1 : A ×B → A et p2 : A×B → B sont des homomorphismes d’anneaux.

L’application A→ A×B d´efinie par a→ (a,0) est un homomorphisme de groupes mais n’est pas un homomorphisme d’anneaux; en effet l’image de 1_A n’est pas 1_A×B.

Il y a quelques remarques simples que vous devez bien comprendre.

1) Un homomorphisme bijectif d’anneauxf :A→Best un isomorphisme. Autrement dit l’application inverse (f⁻¹ :B→A) est aussi un homomorphisme d’anneaux. D´emontrez le !

2) Le compos´e de deux homomorphismes d’anneaux (composables) est un homomorphisme d’anneaux. V´erifiez le !

3) Comme un homomorphisme d’anneauxf est en particulier un homomorphisme de groupes, on sait deja qu’un tel homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau (kerf) est nul.

4) Si f :A → B est un homomorphisme d’anneaux, le sous-groupe kerf de A a la propri´et´e suivante suivante: a∈kerf⇒ab∈kerf pour toutb∈A.

D´efinition 2.3 Un sous-groupe I d’un anneau A est un id´eal si a∈ I ⇒ ab∈ I pour tout b∈A.

On a vu que le noyau d’un homomorphisme d’anneaux est un idéal. La réciproque est vraie. Plus précisement on a l’énoncé suivant.

Proposition 2.4 SoitI un id´eal d’un anneauA. Le groupe quotientA/Iest muni d’une structure d’anneau telle que l’application classe cl : A → A/I est un homomorphisme d’anneaux dont le noyau est I.

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Il suffit de v´erifier que si a, b ∈ A alors cl(ab) ne d´epend que de cl(a) et cl(b).

Autrement dit, sicl(a) =cl(a^") et cl(b) =cl(b^") alors cl(ab) =cl(a^"b^"). Mais si a−a^" ∈I et b−b^" ∈ I, on a ab−a^"b^" = a(b−b^") +b^"(a−a^") ∈ I. On a donc le droit de poser cl(a)cl(b) = cl(ab). Muni de cette multiplication A/I est clairement un anneau dont l’élément unité est cl(1). Il est évident que l’application classe est un homomorphisme d’anneaux et nous savons déja queI =ker(cl).

Exercice 2.5 1) SoitAun anneau commutatif. Montrez que l’applicatione₀ :A[X]→A d´efinie par e₀(P) = P(0) (c’est l’´evaluation en 0) est un homomorphisme d’anneaux.

Montrez ensuite que le noyau de e₀ est XA[X] (l’idéal de A[X] formé des polynômes multiples de X).

2) Même exercice avec l’évaluation e_a en a∈A, définie pare_a(P) =P(a). Montrez que son noyau est l’idéal(X−a)A[X] formé des multiples du polynômeX−a.

Je traite directement 2). SoientP, Q∈ A[X]. Vous savez depuis toujours queP(a) +Q(a) = (P+Q)(a) etP Q(a) =P(a)Q(a). De plus l’image du polynˆome unit´e 1∈A[X] est l’unit´e 1∈A. Ceci montre queea est un homomorphisme d’anneaux. En utilisant la division euclidienne, vous savez aussi montrer queP(a) = 0 si et seulement siP est un multiple de (X−a), ce qui prouve que (X−a)A[X] est bien le noyau deea.

Commee_a est évidemment surjectif, le théorème de factorisation pour les homomorphismes de groupes donne un isomorphisme de groupes A[X]/(X−a)A[X]+A. Nous verrons plus loin (théorème de factorisation pour les homomorphismes d’anneaux) que c’est aussi un isomorphisme d’anneaux.

La proposition qui suit est presque évidente, mais très importante. Il est utile d’y réfléchir.

Proposition 2.6 Un sous-ensemble non vide I d’un anneau A est un id´eal si et seule- ment si I est stable par combinaison lin´eaire, autrement dit si et seulement si a, b∈ I implique ca+db∈I pour tous c, d∈A.

A v´erifier sans moi!

Définition 2.7 On dira qu’un ensemble d’éléments (a_i) d’un idéal I est un système de générateurs de I (ou que les éléments a_i engendrent I) si tout élément de I est une combinaison linéaire (à coefficients dans l’anneau) des élémentsai.

Si un idéal I est engendré par un ensemble fini d’éléments, on dit que I est de type fini.

Si un idéal I est engendré par un élément, on dit que I est principal.

Si a₁, ..., a_n engendrentI, on note souventI = (a₁, ..., a_n).

Il est clair que tout id´eal de Zest principal (de la forme nZ= (n)).

SiK est un corps, tout idéal deK[X] est principal. En effet, soit I un idéal non nul de K[X]; considérons P #= 0 un polynôme de I de degré minimal parmi les degrés des polynômes deI. Montrons queP engendreI. SoitQ∈I; il existe A, R∈K[X] tels que Q = AP +R, avec d⁰R < d⁰P. Comme R = Q−AP ∈ I, on en déduit R = 0, donc Q=AP.

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Définition 2.8 Un anneau intègre qui n’est pas un corps et dont tous les idéaux sont principaux est un anneau principal.

DoncZet l’anneau de polynˆomesK[X] sur un corpsKsont des anneaux principaux.

Exercice 2.9 Montrez qu’un anneau A #={0} est un corps si et seulement si les seuls id´eaux de A sont {0} et A.

SoientAun corps etIun id´eal tel queI$= (0). Soit 0$=a∈I. Commeaa un inverse, on aI⊇aA=A.

R´eciproquement, soit 0$=a∈I. On a (0)$=aA, doncaA=A, autrement dit, il existeb∈Atel queab= 1.

C’est l’inverse dea.

Définition 2.10 Opération sur les idéaux d’un anneau.

1) Si I etJ sont deux idéaux d’un anneauA, alorsI∩J est un idéal (attentionI∪J n’est pas un idéal).

Plus généralement, si Iα est une famille (éventuellement infinie) d’idéaux deA, alors l’intersection !

αI_α est un id´eal de A.

2) I+J ={a+b, a∈I, b∈J} est un id´eal deA.

Plus généralement, si I_α est une famille (éventuellement infinie) d’idéaux deA, alors

"

αIα est l’idéal formé des combinaisons linéaires d’éléments des idéaux Iα.

3) Si P ⊂ A est une partie de A, l’idéal engendré par P est l’ensemble des combi- naisons linéaires d’éléments deP.

4) IJ denote l’idéal engendré par les produits ab, a ∈ I, b ∈ J, autrement dit, c’est l’idéal engendré par les produits d’un élément de I et d’un élément deJ.

Exercices 2.11 1) Montrez que sia etb sont des ´el´ements nilpotents de A, alors a+b est aussi nilpotent.

2) En déduire que l’ensemble des éléments nilpotents de a est un idéal deA (appelé nilradical de A)

3) Montrez que les éléments diviseurs de 0 d’un anneau A #= {0} ne forment pas nécessairement (avec0) un idéal deA.

4 Montrez que dans l’anneau Z, on a nZ+mZ = gZ, ou g est le pgcd de m et n (c’est le th´eor`eme de Bezout).

5) Montrez que les entiersnetmsont premiers entre eux si et seulement sinZ+mZ= Z.

6) Montrez que dans l’anneau Z, on anZ∩mZ=pZ, oup est le ppcmde m et n.

7) Montrez que nZmZ=mnZ.

Corrig´es des exercices.

1) Supposonsaⁿ=b^m= 0. On a (a+b)^n+m⁻¹=P

lC_n+m^l ₋₁a^lb^n+m⁻¹⁻^l. On remarque alors que l≤n−1⇒n+m−1−l≥m⇒a^lb^n+m−1−l= 0 pour tout l.

2) On en déduit que l’ensemble des éléments nilpotents deAest un sous-groupe deA. Mais siaest nilpotent, il est clair quebaest aussi nilpotent pour toutb∈A, ce qui montre bien que les nilpotents forment un id´eal deA.

3) Considérons dans l’anneauZ/6Zles éléments non nulscl(2) etcl(3). Ils ont diviseurs de 0 carcl(2)cl(3) = 0.

Maiscl(2) +cl(3) =cl(5) =−1 n’est pas diviseur de 0.

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4), 5) C’est Bezout.

6) C’est la d´efinition duppcm.

7) Il est clair quenmZ⊂nZmZ. R´eciproquement, siai∈nZetbi∈mZ), pouri= 1, ..., r, il est clair que Paibi∈nmZ.

Nous terminons cette section avec un nouveau théorème de factorisation, auquel vous avez déjà pensé (j’en suis sûr).

Th´eor`eme 2.12 Soit f :A→B un homomorphisme d’anneaux.

1) f(A) est un sous-anneau de B.

2) Il existe un unique homomorphisme d’anneaux f¯:A/kerf →f(A) tel qu’il existe une factorisationf =i◦f¯◦cl, o`ucl:A→A/kerf est l’application classe eti:f(A)→B l’injection naturelle. De plus f¯est un isomorphisme d’anneaux.

La factorisation f =iof ocl¯ a été démontrée pour les homomorphismes de groupes.

Il est tout à fait clair que f(A) est un sous-anneau de B. Comme ¯f est isomorphisme de groupes, il nous reste à prouver que c’est un homomorphisme d’anneaux. Comme f¯(d) =f(d) pour toutd∈A, il est clair que ¯f(aa^") = ¯f(a) ¯f(a^"). Enfin on a évidemment f¯(1A) = 1B

Pour conclure sur ce thème, vous devez comprendre le résultat suivant qui explique en détails la relation entre les idéaux d’un anneau quotient deA et les idéaux de A.

Théorème 2.13 Soient A un anneau et I un idéal de A.

1) Pour tout id´eal J tel que I ⊂J, le sous-groupe quotient J/I de A/I est un id´eal de A/I.

2) Pour tout id´ealJ^"deA/I, l’image inversecl⁻¹(J^")⊂Aest un id´eal deAcontenant I.

Ces deux applications sont inverses l’une de l’autre et définissent une bijection entre l’ensemble des idéaux deA contenant I et l’ensemble des idéaux de A/I.

Rappelons d’abord queAest un groupe commutatif etI un sous-groupe. Nous avons déjà vu dans le cours sur les groupes cette correspondance bijective entre les sous-groupes de A contenat I est les sous-groupes du groupe quotient A/I. Il nous reste donc à voir que siJ est un sous-groupe deAtel que I ⊂J, alors J est un idéal deAsi et seulement J/I est un idéal de A/I. Autrement dit, tout multiple d’un élément de J est dans J si et seulement si tout multiple d’un élément de J/I est dans J/I. Compte tenu de la remarque suivante, cela tombe sous le sens !

Remarque 2.14 Si I^" est un id´eal de A, alors cl⁻¹(cl(I^")) = I +I^" (o`u cl est encore l’homomorphisme A→A/I). En particulier, si I ⊂J, alors cl⁻¹(cl(J)) =I+J =J.

Proposition 2.15 Si I ⊂ J sont des id´eaux d’un anneau A il y a un isomorphisme naturelA/J +(A/I)/(J/I).

En effet, il suffit de consid´erer l’homomorphisme compos´eA→A/I→(A/I)/(J/I).

Il est surjectif et il est presque évident que son noyau est J. On conclut alors par le théorème de factorisation.

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Exercice 2.16 Décrivez tous les idéaux de Z/nZ en utilisant la décomposition den en facteurs premiers.

Nous savons qu’ils sont en correspondance bijective avec les idéaux deZcontenantnZ. Soitn=p^r₁¹...p^r_k^k la décomposition en facteurs premiers den. Les idéaux deZcontenantnZsont les idéaux

p^s₁¹...p^s_k^kZ, avec 0≤si≤ri pour i= 1, ..., k, donc les id´eaux deZ/nZsont les id´eaux

p^s₁¹...p^s_k^kZ/nZ, avec 0≤si≤ri pour i= 1, ..., k.

Exercice 2.17 Montrer que l’anneau Z/nZ a des éléments nilpotents différents de 0 si et seulement si na un facteur carré.

Sin=p²m, il est clair quecl(pm)∈Z/nZest un ´el´ement non nul et nilpotent.

R´eciproquement soitmZ/nZ$= (0) un id´eal deZ/nZ(oumdivisen). Soitpun facteur premier den/m. S’il existektel quem^k∈nZ, il est clair quepest un facteur premier dem, doncp²est facteur den.

Exercice 2.18 Considérons I₁ et I₂ des idéaux de l’anneau A. Si J est un idéal de A tel que J !I_s pours= 1,2, montrez que J !I₁∪I₂.

Pours= 1,2, il existeas∈Jtel queas∈/Is. Sia1∈/I2, on aa1∈/I1∩I2 et l’affaire est dans le sac. Sinon a1∈I2 et de fa¸cn ´equivalentea2∈I1 On en d´eduit facilement quea1+a2∈/I1∩I2. En effet, sia1+a2∈I1, alorsa2∈I1 impliquea1∈a2A+I1=I1. Je vous laisse conclure.

Exercice 2.19 1) Montrer que si (n, m) = 1, l’isomorphisme de groupes Z/nmZ + Z/nZ×Z/mZ est un isomorphisme d’anneaux.

2) En d´eduire que si (n, m) = 1, alors les indicatrices d’Euler v´erifient la relation φ(mn) =φ(m)φ(n).

Il est clair que l’homomorphisme de groupesZ→Z/nZ×Z/mZdéfini para→(cln(a), clm(a)) est aussi un homomotphisme d’anneaux. Le théorème de factorisation s’applique alors.

2) On en d´eduit l’isomorphisme

U(Z/nmZ)/U(Z/nZ×Z/mZ).

Comme il est clair que

U(Z/nZ×Z/mZ)/U(Z/nZ)×U(Z/mZ), on a montré l’égalité (des cardinaux) annoncée.

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3 Id´ eaux propres, id´ eaux premiers, id´ eaux maximaux

Un idéalI d’un anneau A est dit propre si I #=A. Donc l’anneau quotient d’un anneau A par un idéal propre est différent de{0}

D´efinition 3.1 Un id´eal I est dit maximal si l’anneau quotient A/I est un corps.

Un id´eal I est dit premier si l’anneau quotient A/I est int`egre.

Il est clair qu’un id´eal maximal est premier et qu’un id´eal premier est propre.

Il est tout aussi clair que l’id´eal (0) est premier si et seulement si l’anneau est int`egre et qu’il est maximal si et seulement si l’anneau est un corps.

Remarques 3.2 Les id´eaux maximaux de Z sont les id´eaux pZpour p premier.

Les id´eaux premiers de Z sont les id´eaux maximaux et (0).

Les idéaux maximaux de C[X]sont les idéaux (X−α)C[X]pour α∈C. Les idéaux premiers de C[X]sont les idéaux maximaux et (0).

On utilisera souvent la caract´erisation suivante des id´eaux premiers

Proposition 3.3 Un id´eal propre P d’un anneauA est premier si et seulement si a /∈ P et ab∈ P ⇒b∈ P.

Pour tout a∈A, soitcl(a)∈A/P sa classe. Alors ab∈ P ⇔cl(ab) =cl(a)cl(b) = 0, Si P est premier, l’anneauA/P est int`egre et on cl(a) = 0 oucl(b) = 0, soit a∈ P ou b∈ P. Je vous laisse le soin de montrer la r´eciproque (il faut le faire !).

Corollaire 3.4 Soient I et J des id´eaux de A et P un id´eal premier de A. Si IJ ⊂ P et I !P, alors J ⊂ P.

Soit a ∈ I tel que a /∈ P. Comme ab∈ P pour tout b ∈ J, on a b ∈ P pour tout b∈J, doncJ ⊂ P.

La proposition suivante se déduit de la bijection naturelle entre l’ensemble des idéaux de A contenant un idéalI et l’ensemble des idéaux de l’anneau quotientA/I.

Proposition 3.5 1) Un idéal M d’un anneau A est maximal si et seulement s’il est maximal dans l’ensemble, ordonné par l’inclusion, des idéaux propres.

2) Si I ⊂ Msont deux idéaux de l’anneauA, alorsM est un idéal maximal deA si et seulement si M/I est un idéal maximal de A/I

3) Si I ⊂ P sont deux idéaux de l’anneau A, alors P est un idéal premier de A si et seulement si P/I est un idéal premier de A/I

1) En effet, les idéaux propresA/Msont en bijection naturelle avec les idéaux propres de A contenant M. Donc si A/M est un corps si et seulement s’ il n’y a pas d’idéal propre de Acontenant strictement M.

2) est un conséquence évidente de l’isomorphisme naturel A/M +A/I/M/I. Et 3) est une conséquence de l’isomorphisme A/P +A/I/P/I.

C’est le moment d’admettre le Th´eor`eme suivant (attention, nous l’utiliserons souvent),

(10)

Théorème 3.6 Tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal.

Vous r´esoudrez ensuite ces exercices (avant de lire le corrig´e!).

Proposition 3.7 1) Un élément nilpotent de A est dans l’intersection des idéaux pre- miers de A (la réciproque est vraie mais plus difficile à montrer).

2) Unn élément a∈ A est inversible si et seulement si il n’est contenu dans aucun idéal maximal.

3) Un élémenta∈Aest dans l’intersection des idéaux maximaux deAsi et seulement si 1−abest inversible pour tout b∈A.

1) Un anneau intègre n’a pas de nilpotents (sauf 0). L’image, par un homomorphisme, d’un élément nilpotentaest nilpotent. on en déduit que pour tout idéal premierP, on a cl(a) = 0∈A/P, autrement dita∈ P.

2)aest inversible si et seulement si aA=A, autrement dit si et seulement sia /∈ M pour tout id´eal maximalM.

3) Si a∈ M (pour tout idéal maximalMde A), alors 1−ab /∈ M (sinon on aurait 1 = 1−ab+ab∈ M), pour tout idéal maximalMdeA, ce qui démontre que 1−abest inversible (d’après 2)).

Réciproquement, s’il existe un idéal maximal Mtel quea /∈ M, alors il existeb∈A tel que cl(a)cl(b) = 1∈A/M. Il en résulte que 1−ab∈ M, donc que 1−abn’est pas inversible.

D´efinition 3.8 Deux id´eaux I et J d’un anneau A sont comaximaux si I+J =A.

Théorème 3.9 1) Deux idéauxI et J d’un anneau A sont comaximaux si et seulement si l’homomorphisme naturel

A→A/I ×A/J d´efini par a→(cl_I(a), cl_J(a)) est surjectif.

Dans ce cas il induit un isomorphisme A/(I ∩ J)→A/I ×A/J

2) Si I et J sont des id´eaux comaximaux d’un anneau A, alors IJ =I ∩ J. 1) Supposons d’abord I et J comaximaux. Il existe une d´ecomposition 1 =a+b, avec a∈ I etb∈ J. On a alors, pour tous x, y∈A, les relations

cl_I(bx+ay) =cl_I(b)cl_I(x) =cl_I(x) et cl_J(bx+ay) =cl_J(a)cl_J(y) =cl_J(y), ce qui montre bien que l’homomorphisme A→A/I ×A/J est surjectif.

R´eciproquement, supposons l’homomorphisme surjectif. Soit alors a ∈ A tel que (cl_I(1),0) = (cl_I(a), cl_J(a)). On a 1−a∈ I eta∈ J, donc 1 = 1−a+a∈ I +J.

Enfin il est clair que le noyau de l’homomorphisme A → A/I ×A/J est I ∩ J, et l’isomorphisme annoncé est le théorème de factorisation.

2) Soit x∈ I ∩ J. Si 1 =a+b, avec a∈ I etb∈ J, alorsx=xa+xb∈ IJ. Exercice 3.10 Soient I1,...,In des id´eaux deux `a deux comaximaux. Si Ji=#

j$=iIj, 1) montrez que A="n

i=1Ji;

2) montrez que l’homomorphisme naturel π :A→#_n

k=1A/Ik est surjectif.

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1) Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe un id´eal maximalMtel quePn

k=1Jk⊂ M, autrement dit tel queJk⊂ Mpour toutk. CommeJ1=I2...In⊂ M, il existek >1 tel queIk⊂ M. CommeIk etIs

sont comaximaux pour touts$=k, on en d´eduit queIs!Mpour touts$=k. Il en r´esulte queJk!M, donc une contradiction.

2) Consid´erons une d´ecomposition 1 =P

ai, avecai∈ Ji. On acl_I_i(aj) = 0 pouri$=jetcl_I_i(ai) = 1.

Si (cl_I_i(x_i))∈Qn

k=1A/Ik, on a π(X

a_ix_i) =X

π(a_ix_i) = (cl_I_i(x_i))∈ Yn k=1

A/Ik

Exercice 3.11 Soient I1, ...,In des idéaux de A. On suppose qu’au plus deux de ces idéaux ne sont pas premiers. Soit J un idéal deA tel que J !Is pour tout s. Montrez que J !$

Is.

Cette exercice est difficile ! Il est connu sous le nom de ”lemme d’´evitement”.

Remarquez d’abord que nous avons déjà résolu cette exercice dans le casn= 2 à la fin de la section précédente (dans ce cas les idéaux premiers ne sont pas concernés). On fait une récurrence surn. Par hypothèse de récurrence, il existe pour toutiun éléméntai∈ J tel queai∈/S

s"=iIs. S’il existeitel queai∈ I/ i, alorsai∈/S

Iset c’est terminé. On peut donc supposerai∈ Iipour touti. Sin >2, on peut supposer queI1est premier et considérer l’élémenta=a1+a2...an.

Pouri >1, on aa1∈ I/ ieta2...an∈ Ii, donca /∈ Ii. D’autre part, on aa1∈ I1eta2...an∈ I/ 1 donca /∈ I1. Ceci prouve ´evidemmenta /∈S

Is.

4 Anneaux principaux

Définition 4.1 Un élément a #= 0 et non inversible d’un anneau intègre A est dit irréductible si a=bc impliqueb ou c inversible.

Proposition 4.2 Soient A un anneau principal et a∈A un élément non nul. Alors a est irréductible si et seulement si l’idéal aAest maximal.

Supposons d’abord a irréductible. Soit bA un idéal maximal tel que aA ⊂ bA. Il existec∈Atel que a=bc. Comme bAest un idéal proppre,bn’est pas inversible; donc c est inversible. On en déduitaA=bA.

Réciproquement, supposonsaAmaximal, donc premier. Sia=bc, on a (par exemple) b∈aA, doncb=adeta=adc. Comme l’anneau est intègre, on peut simplifier, dc= 1 etc est inversible (ce qui montre queaest irréductible).

Théorème 4.3 Dans un anneau principal tout élément non nul et non inversible est produit d’éléments irréductibles.

Si a=ub1...bm =vc1...cn, où les éléments bi et cj sont irréductibles et les éléments u et v sont inversibles, alors n=m et il existeσ ∈S_n tel queb_iA=c_σ(i)A.

Soit a∈A un élément non nul et non inversible. Soit bA un idéal maximal tel que a∈bA. On aa=ba₂. Sian’est pas produit d’éléments irréductibles, alorsa₂ non plus (car b est irréductible). Comme b n’est pas inversible,aA est strictement contenu dans a2A. On peut construire ainsi une suite strictement croissante d’idéaux aiA. Montrons que c’est impossible. PosonsI =∪a_iA; il est clair queI est un idéal deA. CommeAest

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principal, il existe d∈I tel que I =dA. CommeI =∪a_iA, il existe itel que d∈a_iA.

On a alorsdA⊂a_iA⊂a_i+1A⊂...⊂a_nA⊂...⊂dA, donc la suite n’est pas strictement croissante; c’est une contradiction.

Pour la deuxième partie de l’énoncé, remarquons que si n = 1 c’est évident. Sup- posons alors n ≤ m et faisons un récurrence sur n. Comme c_nA est maximal (donc premier), il existe itel que bi ∈cnA. Quitte à changer l’ordre desbj, on peut supposer b_m ∈c_nA, soitb_m=c_nu^". Commeb_mest irréductible,u^"est une unite et on ab_mA=c_nA.

Il reste (u^"u)b1...b_m₋₁=vc₁...c_n₋₁ et on conclut par l’hypoth`ese de r´ecurrence.

Corollaire 4.4 Dans un anneau principal tout idéal non nul a une décompostion unique comme produit d’idéaux maximaux. En particulier, tout idéal premier non nul est max- imal.

SoitaAun idéal. Soita=b₁...b_m une décomposition deacomme produit d’éléments irréductibles. On en déduit aA=b₁A...b_mA; c’est une décomposition deaAen produit d’idéaux maximaux. En utilisant le théorème vous pouvez démontrer qu’elle est unique!

SiaAest premier, il contient l’un desb_iA; on a alorsb_iA⊂aA⊂b_iA, doncaA=b_iA.

Définition 4.5 Soient A un anneau principal et a1, ..., a_k des éléments de A.

On appelle pgcd des éléments a₁, ..., a_k un générateur de l’idéal (a₁, ..., a_k).

On appelle ppcm des éléments a₁, ..., a_k un générateur de l’idéal a₁A∩...∩a_kA.

Il est important de comprendre qu’il n’y a pas unicité dupgcdou duppcmdea₁, ..., a_k. Mais deuxpgcd de a₁, ..., a_k diffèrent par une unité et deuxppcm aussi.

Il est tout aussi important de comprendre que le pgcd et le ppcm sont efectivement lepgcd et leppcm.

Plus précisément soir g un pgcd de a₁, ..., a_k ∈ A. Il faut montrer qu’un élément b∈A divise les élémentsa₁, ..., a_k si et seulement s’il divise leur pgcd.

Supposons d’abord a_i = b_ib, pour i = 1, ..., n. Comme gA = "

a_iA, il existe une d´ecomposition g="

a_ic_i="

bb_ic_i qui montre que bdiviseg.

R´eciproquement, comma a_i ∈gA pour tout i, il est clair qu’un diviseur de g divise a_i pour touti.

Je vous laisse le soin de montrer qu’un ´el´ement c∈Aest un multiple dea_i pour tout isi et seulement si c’est un multiple d’unppcm desa_i.

Soient a, b∈ A. Alors on a les d´ecompositiions uniques en produits d’id´eaux maxi- maux

aA = Mⁿ1¹...Mⁿs^s et bA = M^r1¹...M^rs^s, avec n_i, r_j ≥ O (on a supposé que les idéaux maximauxMi étaient deux à deux disctincts.

Les pgcd deaet bsont les générateurs de l’idéalMînf(n1 ¹^,r¹⁾...Mînfs ⁽ⁿ^s^,r^s⁾. Les ppcmde aetb sont les générateurs de l’idéalM^sup(n₁ ¹^,r¹⁾...M^sup(ns ^s^,r^s⁾. Définition 4.6 Soient A un anneau principal et a, b∈A.

Si 1 est un pgcd de a et b, on dit que a et b sont premiers entre eux et on ´ecrit (a, b) = 1.

Remarquez que la notation est bienvenue puisque dire que aetbsont premiers entre eux, c’est dire que l’idéal (a, b) est l’idéal unité 1A=A.