2 Homommorphismes d’anneaux, id´ eaux

LICENCE LM372, RESUME DE COURS (Ch. Peskine). Mis `a jour le 4/05/10

1 Anneaux

D´efinition 1.1 Un anneau (A,+, .) est un groupe commutatif (dont la loi est not´e+et est applel´ee addition) muni d’une deuxi`eme loi de composition interne (not´e multiplica- tivement et appel´ee multiplication) v´erifiant les conditions suivantes.

1) a(bc) = (ab)c pour tous a, b, c∈A (la multiplication est associative) et il existe un

´el´ement neutre, not´e1, pour la multiplication;

2) a(b+c) =ab+ac et(b+c)a=ba+ca pour tousa, b, c∈A (la multiplication est distributive par rapport `a l’addition).

Si la multiplication est commutative, l’anneau est dit commutatif.

Deux remarques simples, mais importantes.

1) 0a= 0 pour touta∈A. En effet 0a= (0 + 0)a= 0a+ 0a, donc 0a= 0.

2) (−1)a=−a. En effet 0 = 0a= (1 + (−1))a=a+ (−1)a.

3)A6={0} ⇔06= 1. En effet, si a6= 0, on a 1a=a6= 0 = 0a.

D´efinition 1.2 Le groupe des ´el´ements inversibles (pour la multiplication) de A, not´e U(A), est appel´e groupe des unit´es de A.

Attention `a bien comprendre pourquoi les ´el´ements inversibles forment un groupe.

Exemples 1.3 1) Z. Alors U(Z) ={−1,1}.

2) un corps K est un anneau; par exemple Q,R,C, ainsi que Z/pZ (o`u p est un nombre premier). On a U(K) =K^∗.

3) Si A est un anneau, vous connaissez l’anneau des polynˆomes, en la variable T, `a coefficients dans A; il est not´e A[T].

- Si K est un corps U(K[T]) =K^∗.

- On a U(Z[T]) ={−1,1} (vous devez vous en convaincre).

5) Si A et B sont des anneaux (commutatifs), alors A×B est un anneau pour les op´erations(a, b) + (a⁰, b⁰) = (a+a⁰, b+b⁰)et(a, b)(a⁰, b⁰) = (aa⁰, bb⁰); l’´el´ement1deA×B est ´evidemment (1_A,1_B). On aU(A×B) =U(A)×U(B). V´erifiez tout cela!

6) Les matrices carr´ees n×n, `a coefficients dans un anneau A, forment un anneau not´eMn(A). Si A6={0} et sin≥2, cet anneau n’est pas commutatif.

Dans la suite de ce cours, on ne consid`erera que les anneaux commutatifs.

Remarques 1.4 SoitA un anneau commutatif. Il y a une identification naturelle entre les anneaux de polynˆomes A[X][Y]et A[Y][X].

On note ces deux anneaux A[X, Y].

Plus g´en´eralement on peut parler de l’anneau des polynˆomes en lesnvariablesX₁, ..., X_n,

`

a coefficients dans A, que l”on note A[X1, ..., Xn].

D´efinition 1.5 Soit A un anneau. Si B ⊂A est un sous-groupe pour +, tel que a, b ∈ B ⇒ ab ∈ B et tel que 1 ∈ B, alors B est un sous-anneau de A. Si A et B sont des corps, alors on dit que B est un sous-corps de A.

Remarquez que les polynˆomes de degr´e 0 de A[X] forment un sous-anneau de A[X], auquelA s’identifie ´evidemment.

Exemples 1.6 1) Z est un sous-anneau de Q qui est un sous-corps de R, qui est un sous-corps de C.

2) A est un sous-anneau de A[X], qui est un sous-anneau de A[X, Y].

Comme vous l’avez compris, un ´el´ement non nul d’un anneau n’est pas toujours inversible. Vous n’avez pas vu le pire! Il peut ˆetre diviseur de 0.

D´efinition 1.7 Un ´el´ementa6= 0d’un anneauAest diviseur de0s’il existeb∈A, b6= 0 tel queab= 0.

Un ´el´ement a est dit nilpotent s’il existe n≥1 tel queaⁿ= 0.

Un anneau non nul et sans diviseur de 0 est dit int`egre.

Un corps est un anneau int`egre dont tout ´el´ement non nul est inversible (pour la multiplication).

ATTENTION : dans un anneau ayant des diviseurs de 0 on ne peut pas toujours simplifier. Autrement ditab=acn’implique pas b=c, sauf siaest non diviseur de 0.

Exercice 1.8 Montrez que siAest un anneau int`egre, alorsA[T]est un anneau int`egre.

Plus pr´ecis´ement, montrer que si P et Q sont des polynˆomes non nuls, alors P Q6= 0 et son degr´e est la somme des degr´es de P et de Q.

Soient P, Q∈A[T]. Supposons les 6= 0 et soientnetm leurs degr´es respectifs. On a P =a_nTⁿ+an−1Tⁿ⁻¹+..., aveca_n6= 0, et Q=b_mT^m+bm−1T^m−1+..., avecb_m 6= 0.

On a alors P Q=anbmT^n+m+ (anbm−1+an−1bmT^n+m−1+..., avec anbm 6= 0 carAest int`egre, ce qui montre bien que P Q6= 0 et que d⁰(P Q) =d⁰P +d⁰Q.

Attention `a nouveau, si A n’est pas int`egre, le degr´e de P Q peut ˆetre strictement inf´erieur `ad⁰P +d⁰Q.

D´efinition 1.9 Le polynˆome nul a tous les degr´es.

Je tiens beaucoup `a cette convention.

Th´eor`eme 1.10 1) Dans le groupe quotient Z/nZ, si cl(m) = cl(m⁰) et cl(r) =cl(r⁰), alorscl(mr) =cl(m⁰r⁰).

2) La multiplication cl(m)cl(r) =cl(mr) est alors bien d´efinie dans Z/nZ et donne

`

a ce groupe une structure d’anneau dont l’ ´el´ement unit´e est cl(1).

Preuve de 1) : Sim−m⁰ ∈nZetr−r⁰ ∈nZ, alorsmr−m⁰r⁰ =m(r−r⁰)−r⁰(m−m⁰)∈ nZ.

Pour 2), je vous laisse le soin de montrer que ce produit bien d´efini est associatif et distributif par rapport `a l’addition.

Exemples 1.11 1) L’exemple le plus simple d’un anneau non int`egre (donc ayant des diviseurs de 0) est Z/4Z. Il est clair que cl(2)6= 0 et que cl(2)² = 0.

2) Plus g´en´eralement, si n n’est pas premier il existe une d´ecomposition n = st, avec 1 < s, t < n. Dans l’anneau Z/nZ, on a alors cl(s) 6= 0 et cl(t) 6= 0 mais bien

´evidemment cl(s)cl(t) =cl(st) = 0.

Remarquons que dans les anneaux Z/nZ, les ´el´ements non diviseurs de z´ero et les

´el´ements inversibles sont les mˆemes.

Proposition 1.12 Soit cl(m)∈Z/nZ. Les conditions suivantes sont ´equivalentes.

1) n et m sont premiers entre eux, 2) cl(m) est inversible,

3) cl(m) est non-diviseur de 0.

Supposons d’abord que n etm sont premiers entre eux. Alors, il existe une relation am+bn= 1, aveca, b∈Z. On en d´eduitcl(a)cl(m) + 0 = 1∈Z/nZ, ce qui montre que cl(m) est un ´el´ement inversible. Un ´el´ement inversible est ´evidemment non diviseur de z´ero. Il reste `a montrer que sicl(m) est non diviseur de z´ero, alors (m, n) = 1. Sinon, soit pun facteur commun `ametn. On a alorsm(n/p)∈nZ, donccl(m)cl(n/p) = 0∈Z/nZ. Comme cl(n/p) 6= 0, on a montr´e que cl(m) est un divieur de z´ero dans Z/nZ (une contradiction).

Corollaire 1.13 Les conditions suivantes sont ´equivalentes.

1) n est premier,

2) l’anneau Z/nZest un corps, 3) l’anneau Z/nZest int`egre

1) ⇒ 2) : en effet, si n est premier, alors (m, n) = 1 pour tout 0 < m < n, donc cl(m)∈Z/nZest inversible pour cl(m)6= 0.

2)⇒ 3) car un corps est un anneau int`egre.

3)⇒1) : si 0< m < n, alors 06=cl(m)∈Z/nZ, donccl(m) est non diviseur de z´ero Z/nZ, ce qui implique (m, n) = 1.

2 Homommorphismes d’anneaux, id´ eaux

D´efinition 2.1 Soient A et B deux anneaux. Un application f :A → B est un homo- morphisme d’anneaux si

1) f est un homomorphisme de groupes;

2) f(aa⁰) =f(a)f(a⁰) pour tous a, a⁰ ∈A;

3) f(1A) = 1B.

4) S’il existe un homomorphisme g:B →A tel que gof =Id_A etf og=Id_B, on dit quef est un isomorphisme (et g aussi ´evidemment).

Attention `a la condition 3); j’y tiens!

Exemple 2.2 Soient A et B deux anneaux.

Les projections p₁ : A×B → A et p₂ : A×B → B sont des homomorphismes d’anneaux.

L’application A → A×B d´efinie par a→ (a,0) est un homomorphisme de groupes mais n’est pas un homomorphisme d’anneaux; en effet l’image de 1_A n’est pas 1A×B.

Il y a quelques remarques simples que vous devez bien comprendre.

1) Un homomorphisme bijectif d’anneauxf :A→Best un isomorphisme. Autrement dit l’application inverse (f⁻¹:B →A) est aussi un homomorphisme d’anneaux. D´emontrez le !

2) Le compos´e de deux homomorphismes d’anneaux (composables) est un homomor- phisme d’anneaux. V´erifiez le !

3) Comme un homomorphisme d’anneauxf est en particulier un homomorphisme de groupes, on sait deja qu’un tel homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau (kerf) est nul.

4) Si f : A → B est un homomorphisme d’anneaux, le sous-groupe kerf de A a la propri´et´e suivante suivante: a∈kerf ⇒ab∈kerf pour tout b∈A.

D´efinition 2.3 Un sous-groupe I d’un anneau A est un id´eal si a∈ I ⇒ ab ∈ I pour tout b∈A.

On a vu que le noyau d’un homomorphisme d’anneaux est un id´eal. La r´eciproque est vraie. Plus pr´ecisement on a l’´enonc´e suivant.

Proposition 2.4 SoitI un id´eal d’un anneauA. Le groupe quotientA/Iest muni d’une structure d’anneau telle que l’application classe cl : A → A/I est un homomorphisme d’anneaux dont le noyau est I.

Il suffit de v´erifier que si a, b ∈ A alors cl(ab) ne d´epend que de cl(a) et cl(b).

Autrement dit, sicl(a) =cl(a⁰) et cl(b) =cl(b⁰) alors cl(ab) =cl(a⁰b⁰). Mais si a−a⁰∈I et b−b⁰ ∈ I, on a ab−a⁰b⁰ = a(b−b⁰) +b⁰(a−a⁰) ∈ I. On a donc le droit de poser cl(a)cl(b) = cl(ab). Muni de cette multiplication A/I est clairement un anneau dont l’´el´ement unit´e est cl(1). Il est ´evident que l’application classe est un homomorphisme d’anneaux et nous savons d´eja que I =ker(cl).

Exercice 2.5 1) SoitAun anneau commutatif. Montrez que l’applicatione₀:A[X]→A d´efinie par e0(P) = P(0) (c’est l’´evaluation en 0) est un homomorphisme d’anneaux.

Montrez ensuite que le noyau de e0 est XA[X] (l’id´eal de A[X] form´e des polynˆomes multiples de X).

2) Mˆeme exercice avec l’´evaluation ea en a∈A, d´efinie par ea(P) =P(a). Montrez que son noyau est l’id´eal (X−a)A[X]form´e des multiples du polynˆome X−a.

Je traite directement 2). Soient P, Q ∈ A[X]. Vous savez depuis toujours que P(a) + Q(a) = (P+Q)(a) et P Q(a) =P(a)Q(a). De plus l’image du polynˆome unit´e 1∈A[X]

est l’unit´e 1∈A. Ceci montre quee_a est un homomorphisme d’anneaux. En utilisant la division euclidienne, vous savez aussi montrer queP(a) = 0 si et seulement si P est un multiple de (X−a), ce qui prouve que (X−a)A[X] est bien le noyau dee_a.

Commee_aest ´evidemment surjectif, le th´eor`eme de factorisation pour les homomor- phismes de groupes donne un isomorphisme de groupes A[X]/(X−a)A[X]'A. Nous verrons plus loin (th´eor`eme de factorisation pour les homomorphismes d’anneaux) que c’est aussi un isomorphisme d’anneaux.

La proposition qui suit est presque ´evidente, mais tr`es importante. Il est utile d’y r´efl´echir.

Proposition 2.6 Un sous-ensemble non videI d’un anneau A est un id´eal si et seule- ment si I est stable par combinaison lin´eaire, autrement dit si et seulement si a, b ∈ I impliqueca+db∈I pour tous c, d∈A.

A v´erifier sans moi!

D´efinition 2.7 On dira qu’un ensemble d’´el´ements (a_i) d’un id´eal I est un syst`eme de g´en´erateurs de I (ou que les ´el´ements ai engendrent I) si tout ´el´ement de I est une combinaison lin´eaire (`a coefficients dans l’anneau) des ´el´ements a_i.

Si un id´eal I est engendr´e par un ensemble fini d’´el´ements, on dit que I est de type fini.

Si un id´eal I est engendr´e par un ´el´ement, on dit que I est principal.

Sia₁, ..., a_n engendrentI, on note souvent I = (a₁, ..., a_n).

Il est clair que tout id´eal deZest principal (de la formenZ= (n)).

SiK est un corps, tout id´eal deK[X] est principal. En effet, soitI un id´eal non nul de K[X]; consid´erons P 6= 0 un polynˆome de I de degr´e minimal parmi les degr´es des polynˆomes deI. Montrons queP engendreI. SoitQ∈I; il existe A, R∈K[X] tels que Q =AP +R, avec d⁰R < d⁰P. Comme R = Q−AP ∈ I, on en d´eduit R = 0, donc Q=AP.

D´efinition 2.8 Un anneau int`egre qui n’est pas un corps et dont tous les id´eaux sont principaux est un anneau principal.

DoncZet l’anneau de polynˆomesK[X] sur un corpsK sont des anneaux principaux.

Exercice 2.9 Montrez qu’un anneau A 6={0} est un corps si et seulement si les seuls id´eaux de A sont {0} et A.

Soient A un corps et I un id´eal tel que I 6= (0). Soit 0 6= a ∈ I. Comme a a un inverse, on aI ⊇aA=A.

R´eciproquement, soit 0 6= a ∈ I. On a (0) 6= aA, donc aA = A, autrement dit, il existeb∈A tel queab= 1. C’est l’inverse dea.

D´efinition 2.10 Op´eration sur les id´eaux d’un anneau.

1) Si I etJ sont deux id´eaux d’un anneauA, alors I∩J est un id´eal (attentionI∪J n’est pas un id´eal).

Plus g´en´eralement, siIαest une famille (´eventuellement infinie) d’id´eaux deA, alors l’intersection T

αI_α est un id´eal deA.

2) I+J ={a+b, a∈I, b∈J} est un id´eal de A.

Plus g´en´eralement, siIαest une famille (´eventuellement infinie) d’id´eaux deA, alors P

αIα est l’id´eal form´e des combinaisons lin´eaires d’´el´ements des id´eaux Iα.

3) Si P ⊂A est une partie de A, l’id´eal engendr´e par P est l’ensemble des combi- naisons lin´eaires d’´el´ements deP.

4) IJ denote l’id´eal engendr´e par les produits ab, a ∈ I, b ∈ J, autrement dit, c’est l’id´eal engendr´e par les produits d’un ´el´ement deI et d’un ´el´ement deJ.

Exercices 2.11 1) Montrez que si aet b sont des ´el´ements nilpotents de A, alors a+b est aussi nilpotent.

2) En d´eduire que l’ensemble des ´el´ements nilpotents de a est un id´eal deA (appel´e nilradical de A)

3) Montrez que les ´el´ements diviseurs de 0 d’un anneau A 6= {0} ne forment pas n´ecessairement (avec 0) un id´eal de A.

4 Montrez que dans l’anneau Z, on a nZ+mZ = gZ, ou g est le pgcd de m et n (c’est le th´eor`eme de Bezout).

5) Montrez que les entiersnetmsont premiers entre eux si et seulement sinZ+mZ= Z.

6) Montrez que dans l’anneau Z, on anZ∩mZ=pZ, ou p est le ppcm de m et n.

7) Montrez que nZmZ=mnZ.

1) Supposons aⁿ = b^m = 0. On a (a+b)^n+m−1 = P

lC_n+m−1^l a^lb^n+m−1−l. On remarque alors que

l≤n−1⇒n+m−1−l≥m⇒a^lb^n+m−1−l= 0 pour tout l.

2) On en d´eduit que l’ensemble des ´el´ements nilpotents deA est un sous-groupe de A. Mais si aest nilpotent, il est clair que baest aussi nilpotent pour tout b∈A, ce qui montre bien que les nilpotents forment un id´eal deA.

3) Consid´erons dans l’anneau Z/6Z les ´el´ements non nuls cl(2) et cl(3). Ils ont diviseurs de 0 carcl(2)cl(3) = 0. Maiscl(2) +cl(3) =cl(5) =−1 n’est pas diviseur de 0.

4), 5) C’est Bezout.

6) C’est la d´efinition du ppcm.

7) Il est clair que nmZ ⊂ nZmZ. R´eciproquement, si ai ∈ nZ et bi ∈ mZ), pour i= 1, ..., r, il est clair que P

aibi ∈nmZ.

Nous terminons cette section avec un nouveau th´eor`eme de factorisation, auquel vous avez sans doute d´ej`a pens´e.

Th´eor`eme 2.12 Soit f :A→B un homomorphisme d’anneaux.

1) f(A) est un sous-anneau de B.

2) Il existe un unique homomorphisme d’anneaux f¯:A/kerf →f(A) tel qu’il existe une factorisationf =i◦f¯◦cl, o`ucl:A→A/kerf est l’application classe eti:f(A)→B l’injection naturelle. De plus f¯est un isomorphisme d’anneaux.

La factorisation f =iof ocl¯ a ´et´e d´emontr´ee pour les homomorphismes de groupes.

Il est tout `a fait clair que f(A) est un sous-anneau deB. Comme ¯f est isomorphisme de groupes, il nous reste `a prouver que c’est un homomorphisme d’anneaux. Comme f¯(d) =f(d) pour toutd∈A, il est clair que ¯f(aa⁰) = ¯f(a) ¯f(a⁰). Enfin on a ´evidemment f¯(1A) = 1B

Pour conclure sur ce th`eme, vous devez comprendre le r´esultat suivant qui explique en d´etails la relation entre les id´eaux d’un anneau quotient de A et les id´eaux de A.

Th´eor`eme 2.13 Soient A un anneau et I un id´eal de A.

1) Pour tout id´eal J tel que I ⊂J, le sous-groupe quotientJ/I de A/I est un id´eal de A/I.

2) Pour tout id´ealJ⁰deA/I, l’image inversecl⁻¹(J⁰)⊂Aest un id´eal deAcontenant I.

Ces deux applications sont inverses l’une de l’autre et d´efinissent une bijection entre l’ensemble des id´eaux de A contenant I et l’ensemble des id´eaux de A/I.

Rappelons d’abord queAest un groupe commutatif etI un sous-groupe. Nous avons d´ej`a vu dans le cours sur les groupes cette correspondance bijective entre les sous-groupes de A contenat I est les sous-groupes du groupe quotient A/I. Il nous reste donc `a voir que siJ est un sous-groupe deAtel queI ⊂J, alors J est un id´eal de Asi et seulement J/I est un id´eal de A/I. Autrement dit, tout multiple d’un ´el´ement de J est dans J si et seulement si tout multiple d’un ´el´ement de J/I est dans J/I. Compte tenu de la remarque suivante, cela tombe sous le sens !

Remarque 2.14 Si I⁰ est un id´eal de A, alors cl⁻¹(cl(I⁰)) = I +I⁰ (o`u cl est encore l’homomorphismeA→A/I). En particulier, si I ⊂J, alors cl⁻¹(cl(J)) =I+J =J.

Proposition 2.15 Si I ⊂ J sont des id´eaux d’un anneau A il y a un isomorphisme naturelA/J '(A/I)/(J/I).

En effet, il suffit de consid´erer l’homomorphisme compos´e A→A/I→(A/I)/(J/I).

Il est surjectif et il est presque ´evident que son noyau est J. On conclut alors par le th´eor`eme de factorisation.

Exercice 2.16 D´ecrivez tous les id´eaux de Z/nZen utilisant la d´ecomposition de n en facteurs premiers.

Nous savons qu’ils sont en correspondance bijective avec les id´eaux de Z contenant nZ. Soit n = p^r₁¹...p^r_k^k la d´ecomposition en facteurs premiers de n. Les id´eaux de Z contenantnZsont les id´eaux

p^s₁¹...p^s_k^kZ, avec 0≤si ≤ri pour i= 1, ..., k, donc les id´eaux de Z/nZsont les id´eaux

p^s₁¹...p^s_k^kZ/nZ, avec 0≤s_i ≤r_i pour i= 1, ..., k.

Exercice 2.17 Consid´erons I1 et I2 des id´eaux de l’anneau A. Si J est un id´eal de A tel queJ *Is pours= 1,2, montrez que J *I1∪I2.

Pour s= 1,2, il existea_s∈J tel que a_s ∈/ I_s. Sia₁ ∈/I₂, on aa₁ ∈/ I₁∩I₂ et l’affaire est dans le sac. Sinona1 ∈I2 et de fa¸cn ´equivalentea2 ∈I1 On en d´eduit facilement que a1+a2 ∈/ I1∩I2. En effet, sia1+a2 ∈I1, alorsa2 ∈I1 impliquea1 ∈a2A+I1=I1. Je vous laisse conclure.

3 Id´ eaux propres, id´ eaux premiers, id´ eaux maximaux

Un id´eal I d’un anneau A est dit propre siI 6=A. Donc l’anneau quotient d’un anneau Apar un id´eal propre est diff´erent de{0}

D´efinition 3.1 Un id´eal I est dit maximal si l’anneau quotientA/I est un corps.

Un id´eal I est dit premier si l’anneau quotient A/I est int`egre.

Il est clair qu’un id´eal maximal est premier et qu’un id´eal premier est propre.

Il est tout aussi clair que l’id´eal (0) est premier si et seulement si l’anneau est int`egre et qu’il est maximal si et seulement si l’anneau est un corps.

Remarques 3.2 Les id´eaux maximaux de Z sont les id´eaux pZ pour p premier.

Les id´eaux premiers de Z sont les id´eaux maximaux et (0).

Les id´eaux maximaux de C[X] sont les id´eaux (X−α)C[X] pourα∈C. Les id´eaux premiers de C[X] sont les id´eaux maximaux et (0).

On utilisera souvent la caract´erisation suivante des id´eaux premiers

Proposition 3.3 Un id´eal P d’un anneau A est premier si et seulement s’il est propre et siab∈ P implique a∈ P ou b∈ P

Pour touta∈A, soit cl(a)∈A/P sa classe. Alorsab∈ P ⇔cl(ab) =cl(a)cl(b) = 0, SiP est premier, l’anneau A/P est int`egre et on cl(a) = 0 ou cl(b) = 0, soit a∈ P ou b∈ P. Je vous laisse le soin de montrer la r´eciproque (il faut le faire !).

Corollaire 3.4 Soient I et J des id´eaux de A et P un id´eal premier de A. Si IJ ⊂ P et I *P, alors J ⊂ P.

Soit a ∈ I tel que a /∈ P. Comme ab ∈ P pour tout b ∈ J, on a b ∈ P pour tout b∈J, donc J ⊂ P.

La proposition suivante se d´eduit de la bijection naturelle entre l’ensemble des id´eaux de Acontenant un id´ealI et l’ensemble des id´eaux de l’anneau quotient A/I.

Proposition 3.5 1) Un id´eal M d’un anneau A est maximal si et seulement s’il est maximal dans l’ensemble, ordonn´e par l’inclusion, des id´eaux propres.

2) Si I ⊂ Msont deux id´eaux de l’anneau A, alors M est un id´eal maximal de A si et seulement siM/I est un id´eal maximal de A/I

3) Si I ⊂ P sont deux id´eaux de l’anneau A, alors P est un id´eal premier de A si et seulement siP/I est un id´eal premier de A/I

1) En effet, les id´eaux propresA/Msont en bijection naturelle avec les id´eaux propres de A contenant M. Donc si A/M est un corps si et seulement s’ il n’y a pas d’id´eal propre deA contenant strictement M.

2) est un cons´equence ´evidente de l’isomorphisme naturelA/M 'A/I/M/I. Et 3) est une cons´equence de l’isomorphismeA/P 'A/I/P/I.

C’est le moment d’admettre le Th´eor`eme suivant (attention, nous l’utiliserons sou- vent),

Th´eor`eme 3.6 Tout id´eal propre est contenu dans un id´eal maximal.

Vous r´esoudrez ensuite ces exercices (avant de lire le corrig´e!).

Exercices 3.7 1) Montrez qu’un ´el´ement nilpotent de A est dans l’intersection des id´eaux premiers de A (la r´eciproque est vraie mais plus difficile `a montrer).

2) Montrer que l’anneauZ/nZa des ´el´ements nilpotents diff´erents de0si et seulement sin a un facteur carr´e.

3) Montrez qu’un ´el´ementa∈A est inversible si et seulement si il n’est contenu dans aucun id´eal maximal.

4) Montrez qu’un ´el´ement a ∈ A est dans l’intersection des id´eaux maximaux de A si et seulement si 1−ab est inversible pour toutb∈A.

1) Un anneau int`egre n’a pas de nilpotents (sauf 0). L’image, par un homomorphisme, d’un ´el´ement nilpotentaest nilpotent. on en d´eduit que pour tout id´eal premierP, on a cl(a) = 0∈A/P, autrement dita∈ P.

2) Si n= p²m, il est clair que cl(pm) ∈ Z/nZ est un ´el´ement non nul et nilpotent.

R´eciproquement soitmZ/nZ6= (0) un id´eal deZ/nZ(doncmdivisen). Soitpun facteur premier den/m. S’il existek tel que m^k ∈nZ, il est clair que p est un facteur premier de m, doncp² est facteur den.

3)aest inversible si et seulement siaA=A, autrement dit si et seulement si a /∈ M pour tout id´eal maximalM.

4) Si a∈ M (pour tout id´eal maximal Mde A), alors 1−ab /∈ M (sinon on aurait 1 = 1−ab+ab∈ M), pour tout id´eal maximalMdeA, ce qui d´emontre que 1−abest inversible (execice pr´ec´edent).

R´eciproquement, s’il existe un id´eal maximalMtel quea /∈ M, alors il existeb∈A tel que cl(a)cl(b) = 1∈A/M. Il en r´esulte que 1−ab∈ M, donc que 1−abn’est pas inversible.

D´efinition 3.8 Deux id´eaux I et J d’un anneau A sont comaximaux si I+J =A.

Th´eor`eme 3.9 1) Deux id´eauxI etJ d’un anneauA sont comaximaux si et seulements i l’homomorphisme naturel A/(I ∩ J)→A/I ×A/J est un isomorphisme.

2) Si I et J sont des id´eaux comaximaux d’un anneau A, alors IJ =I ∩ J. 1) Il est clair que le noyau de l’homomorphisme π : A → A/I ×A/J est toujours I ∩ J. Supposons d’abordI etJ comaximaux. Il existe une d´ecomposition 1 =a+b, avec a∈ I etb∈ J. On a alors, pour tous x, y∈A, les relations

clI(bx+ay) =clI(b)clI(x) =clI(x) et clJ(bx+ay) =clJ(a)clJ(y) =clJ(y), ce qui montre bien que l’homomorphismeA→A/I ×A/J est surjectif.

R´eciproquement, soita∈Atel que (clI(1),0) =π(a). On a 1−a∈ I eta∈ J, donc 1 = 1−a+a∈ I+J.

2) Soit x∈ I ∩ J. Si 1 =a+b, avec a∈ I etb∈ J, alorsx=xa+xb∈ IJ.

Exercice 3.10 Soient I₁,...,I_n des id´eaux deux `a deux comaximaux. SiJ_i =Q

j6=iI_j, 1) montrez que A=P_n

i=1J_i;

2) montrez que l’homomorphisme naturel π :A→Qn

k=1A/I_k est surjectif.

1) Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe un id´eal maximal M tel que J_k ⊂ M pour tout k. Comme J₁ = I₂...I_n ⊂ M, il existe k > 1 tel que I_k ⊂ M.

CommeI_k etI_s sont comaximaux pour touts6=k, on en d´eduit queI_s*Mpour tout s6=k. Il en r´esulte que J_k*M, donc une contradiction.

2) Consid´erons une d´ecomposition 1 = P

ai, avec ai ∈ J_i. On a clIi(aj) = 0 pour i6=j etclI_i(a_i) = 1.

Si (clI_i(xi))∈Qn

k=1A/I_k, on a π(X

aixi) =X

π(aixi) = (clI_i(xi))∈

n

Y

k=1

A/I_k

Exercice 3.11 Soient I₁, ...,I_n des id´eaux de A. On suppose qu’au plus deux de ces id´eaux ne sont pas premiers. SoitJ un id´eal deA tel que J *I_s pour tout s. Montrez queJ *S

I_s.

Cette exercice est difficile ! Il est connu sous le nom de ”lemme d’´evitement”.

Remarquez d’abord que nous avons d´ej`a r´esolu cette exercice dans le casn= 2 `a la fin de la section pr´ec´edente (dans ce cas les id´eaux premiers ne sont pas concern´es). On fait une r´ecurrence surn. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe pour tout iun ´el´em´ent a_i ∈ J tel quea_i∈/ S

s6=iI_s. S’il existe itel quea_i∈ I/ _i, alorsa_i∈/ SI_s et c’est termin´e.

On peut donc supposer a_i ∈ I_i pour tout i. Si n > 2, on peut supposer que I₁ est premier et consid´erer l’´el´ement a=a1+a2...an.

Pour i >1, on a a₁ ∈ I/ _i eta₂...a_n ∈ I_i, donc a /∈ I_i. D’autre part, on a a₁ ∈ I₁ et a₂...a_n∈ I/ ₁ donca /∈ I₁. Ceci prouve ´evidemment a /∈S

I_s.

4 Anneaux principaux

D´efinition 4.1 Un ´el´ement a 6= 0 et non inversible d’un anneau int`egre A est dit irr´eductible si a=bc implique b ou c inversible.

Proposition 4.2 Soient A un anneau principal et a∈A un ´el´ement non nul. Alors a est irr´eductible si et seulement si l’id´eal aA est maximal.

Supposons d’abord a irr´eductible. Soit bA un id´eal maximal tel que aA ⊂ bA. Il existec∈Atel que a=bc. Comme bAest un id´eal proppre, bn’est pas inversible; donc cest inversible. On en d´eduit aA=bA.

R´eciproquement, supposonsaAmaximal, donc premier. Sia=bc, on a (par exemple) b∈aA, doncb=ad eta=adc. Comme l’anneau est int`egre, on peut simplifier, dc= 1 etcest inversible (ce qui montre que aest irr´eductible).

Th´eor`eme 4.3 Dans un anneau principal tout ´el´ement non nul et non inversible est produit d’´el´ements irr´eductibles.

Si a=ub₁...b_m =vc₁...c_n, o`u les ´el´ements b_i et c_j sont irr´eductibles et les ´el´ements u et v sont inversibles, alors n=m et il existeσ ∈Sn tel que biA=c_σ(i)A.

Soit a ∈A un ´el´ement non nul et non inversible. Soit bA un id´eal maximal tel que a∈bA. On a a=ba₂. Sia n’est pas produit d’´el´ements irr´eductibles, alorsa₂ non plus (car b est irr´eductible). Commeb n’est pas inversible, aA est strictement contenu dans a2A. On peut construire ainsi une suite strictement croissante d’id´eaux aiA. Montrons que c’est impossible. PosonsI =∪a_iA; il est clair queI est un id´eal deA. CommeAest principal, il existed∈I tel que I =dA. Comme I =∪a_iA, il existe i tel que d∈a_iA.

On a alorsdA⊂aiA⊂ai+1A⊂...⊂anA⊂...⊂dA, donc la suite n’est pas strictement croissante; c’est une contradiction.

Pour la deuxi`eme partie de l’´enonc´e, remarquons que si n = 1 c’est ´evident. Sup- posons alors n ≤ m et faisons un r´ecurrence sur n. Comme cnA est maximal (donc premier), il existei tel quebi ∈cnA. Quitte `a changer l’ordre des bj, on peut supposer b_m∈c_nA, soitb_m=c_nu⁰. Commeb_mest irr´eductible,u⁰est une unite et on ab_mA=c_nA.

Il reste (u⁰u)b1...bm−1 =vc1...cn−1 et on conclut par l’hypoth`ese de r´ecurrence.

Corollaire 4.4 Dans un anneau principal tout id´eal non nul a une d´ecompostion unique comme produit d’id´eaux maximaux. En particulier, tout id´eal premier non nul est max- imal.

SoitaAun id´eal. Soita=b1...bm une d´ecomposition deacomme produit d’´el´ements irr´eductibles. On en d´eduit aA=b₁A...b_mA; c’est une d´ecomposition de aAen produit d’id´eaux maximaux. En utilisant le th´eor`eme vous pouvez d´emontrer qu’elle est unique!

SiaAest premier, il contient l’un desbiA; on a alorsbiA⊂aA⊂biA, doncaA=biA.

D´efinition 4.5 SoientA un anneau principal et a₁, ..., a_k des ´el´ements deA.

On appelle pgcd des ´el´ements a₁, ..., a_k un g´en´erateur de l’id´eal (a₁, ..., a_k).

On appelle ppcm des ´el´ements a1, ..., ak un g´en´erateur de l’id´eal a1A∩...∩akA.

Il est important de comprendre qu’il n’y a pas unicit´e dupgcdou duppcmdea1, ..., a_k. Mais deuxpgcd dea₁, ..., a_k diff`erent par une unit´e et deuxppcm aussi.

Il est tout aussi important de comprendre que le pgcd et le ppcm sont efectivement lepgcd et leppcm.

Plus pr´ecis´ement soir g un pgcd de a₁, ..., a_k ∈ A. Il faut montrer qu’un ´el´ement b∈A divise les ´el´ementsa1, ..., ak si et seulement s’il divise leur pgcd.

Supposons d’abord ai = bib, pour i = 1, ..., n. Comme gA = P

aiA, il existe une d´ecomposition g=P

a_ic_i=P

bb_ic_i qui montre queb diviseg.

R´eciproquement, comma a_i ∈ gApour tout i, il est clair qu’un diviseur de g divise ai pour touti.

Je vous laisse le soin de montrer qu’un ´el´ementc∈A est un multiple dea_i pour tout isi et seulement si c’est un multiple d’unppcm desa_i.

Soient a, b ∈A. Alors on a les d´ecompositiions uniques en produits d’id´eaux maxi- maux

aA = Mⁿ₁¹...Mⁿ_s^s et bA = M^r₁¹...M^r_s^s, avec n_i, r_j ≥ O (on a suppos´e que les id´eaux maximaux M_i ´etaient deux `a deux disctincts.

Les pgcdde aetb sont les g´en´erateurs de l’id´ealM^inf(n₁ ^1,r1)...M^inf_s ^(ns,rs). Les ppcmde aetbsont les g´en´erateurs de l’id´eal M^sup(n₁ ^1,r1)...M^sup(n_s ^s,rs).

D´efinition 4.6 SoientA un anneau principal et a, b∈A.

Si 1 est un pgcd de a et b, on dit que a et b sont premiers entre eux et on ´ecrit (a, b) = 1.

Remarquez que la notation est bienvenue puisque dire que aetbsont premiers entre eux, c’est dire que l’id´eal (a, b) est l’id´eal unit´e 1A=A.

Exercices 4.7 1) Montrez que l’anneau C[X, Y]n’est pas principal.

2) Soit p un nombre premier. Montrez que l’ensemble des fractions m/n ∈Q telles quen /∈pZ est un anneauA tel que Z⊂A⊂Q. Montrez queA est un anneau principal qui n’a qu’un seul id´eal maximal.

1) L’id´eal (X, Y)⊂C[X, Y] est propre mais n’est pas principal. En effet, il contient X et Y et ces deux polynˆomes n’ont pas de diviseurs communs autres que les ´el´ements de C^∗.

2) Il est clair que si m/n, m⁰/n⁰ ∈ A, on a m/n+m⁰/n⁰ = (mn⁰ +m⁰n)/nn⁰ ∈ A et mm⁰/nn⁰ ∈A. On en d´eduit que A est un anneau. La double inclusionZ⊂A⊂Qest

´evidente.

Remarquons ensuite que pour a ∈ A, il existe r ≥ 0 tel que a = (p/1)ⁿu, o`u u est un ´el´ement inversible de A. En effet, si m =p<sup>r</sup>l, avec (l, p) = 1, on a m/n =p<sup>r</sup>i/n = (p/1)<sup>r</sup>(l/n). Mais commel/n est ´evidemment un ´el´ement inversible deAcarn/l∈A. Il reste `a d´emontrer que pour tout id´eal non nulI ⊂Ail exister≥0 tel queI = (p/1)^rA.

Consid´erons pour cela le plus petitrtel que (p/1)^r ∈ I; il est alors clair queI = (p/1)^rA.

Exercices 4.8 1) Montrez que l’´equation X⁴+Y⁴= 3Z⁴ n’a pas de solution dans Z. Autrement dit, montrez qu’il n’existe pas m, n, t∈Z tels quem⁴+n⁴ = 3t⁴. 2) Montrez que l’´equation X⁶+ 3Y⁶ = 5Z⁶ n’a pas de solution dans Z.

3) Montrez que l’´equationX⁹+kY⁹ = 7Z⁹ n’a pas de solution dansZpour1< k <6.

5 Anneaux noeth´ eriens

D´efinition 5.1 Un anneau dont tout id´eal est de type fini est dit noeth´errien Un corps est ´evidemment noeth´erien. Un anneau principal est noeth´erien.

Remarque 5.2 Un anneau quotient d’un anneau noeth´erien est noeth´erien.

SoitI un id´eal de l’anneau noth´erienA. Un id´eal deA/Iest l’image par l’application classe d’un id´eal de A. Vous devez en d´eduire sans moi qu’il est de type fini.

Th´eor`eme 5.3 Un anneau est noeth´erien si et seulement si toute suite croissante d’id´eaux est stationnaire.

Supposons d’abord A noeth´erien et soit I0 ⊂I1 ⊂....⊂In⊂...une suite croissante d’id´eaux. On v´erifie facilement que I =∪_nI_n est un id´eal. Soit (a₁, ..., a_k) un syst`emme de g´en´erateurs de I. Il est clair qu’i existe n tel que a1, ..., ak ∈ In. On en d´eduit I ⊂In⊂In+1 ⊂...⊂I, doncIn=Im pour m≥n.

R´eciproquement soientI un id´eal deA eta1 ∈I. SiI n’est pas de type fini, il existe a₂ ∈I avec a₂ ∈/ a₁A, puis a₃ ∈I avec a₃ ∈/ (a₁, a₂), ... On peut construire ainsi une suite strictement croissante infini d’id´eaux. Ceci contredit l’hypoth`ese.

Hilbert a montr´e qu’un anneau de polynˆomes (`a plusieurs variables) sur un corps est noeth´erien. C’est un Th´eor`eme fondamental de la g´eom´etrie. Il s’interpr`ete en remarquant que si E est un sous-ensemble de C<sup>n</sup>, les polynˆomesP ∈C[X1, ..., Xn] qui s’annullent en tous les points de E sont les combinaisons lin´eaires d’un nombre fini de polynˆomes. En effet, il est simple de montrer que ces polynˆomes forment un id´eal et on conclut par le Th´eor`eme de Hilbert.

Th´eor`eme 5.4 Si A est un anneau noeth´erien, alors l’anneau de polynˆomes A[X] est noeth´erien.

Soit I un id´eal de A[X]. Pour tout n, soit J_n l’ensemble des coefficients dominants des polynˆomes de degr´e n qui sont ´el´ements de I (je vous rappelle que 0 a tous les degr´es, donc 0∈ Jn). On v´erifie facilement que (Jn)n est une suite croissante d’id´eaux de A; donc il existe un entierm tel que J_n = J_m pour n ≥m. Pour i≤ m, soit (a_i,j) un syst`eme fini de g´en´erateurs de J_i et soit P_i,j un polynˆome de degr´e i de I dont le coefficient dominant est ai,j. Soit I⁰ l’id´eal engendr´e par les polynˆomes Pi,j. Montrons I =I⁰.

Soit Q ∈ I. Si Q est de degr´e 0, c’est une combinaison lin´eaire des ´el´ements P_0,j, doncQ∈I⁰. Faisons une r´ecurence sur le degr´e dde Qet supposons que tout polynˆome de I de degr´e < d est dans I⁰. Soit a le coefficient dominant de Q. Si d≤ m, il existe une d´ecomposition a=P

b_ja_d,j. Le polynˆomeQ−P

b_jP_d,j est de degr´e< d. Comme il est dansI, il est dans I⁰ etQ aussi. Sid > m, il existe une d´ecompositiona=P

bjam,j

et le polynˆome Q−P

bjX^d−mP_d,j est de degr´e < d. Il est dans I, donc dans I⁰ et Q aussi.

Exercice 5.5 Consid´erez l’anneau de polynˆomes C[X, Y].

1) Donnez un syst`eme de g´en´erateurs de l’id´eal form´e des polynˆomes P ∈ C[X, Y] tels queP(0,1) =P(1,0) = 0.

2) Donnez un syst`eme de g´en´erateurs de l’id´eal form´e des polynˆomes P ∈ C[X, Y] tels queP(1, a) = 0 pour tout a∈C.

1) Consid´erons l’´evaluation en (0,1) d´efinie par e(P) = P(0,1). Il est clair que (X, Y −1) ⊂ kere. Il est out aussi clair que (X, Y −1) est un id´eal maximal (car C[X, Y]/(X, Y−1) =C[cl(X), cl(Y)] =C[0,1] =C. On en d´eduit (X, Y −1) = kerecar le noyau de eest un id´eal propre.

On montre de mˆeme que l’id´eal des polynˆomesP tels queP(1,0) = 0 est (X−1, Y).

Comme (X, Y −1) et (X−1, Y) sont maximaux et distincts, ils sont comaximaux.

On en d´eduit

(X, Y−1)∩(X−1, Y) = (X, Y−1)(X−1, Y) = (X(X−1), XY,(Y−1)(X−1),(Y−1)Y).

2) On remarque d’abord que C[X, Y]/(X −1) ' C[Y]. On en d´eduit que tout polynˆomeP ∈C[X, Y] peut s’´ecrire sous la formeP = (X−1)Q+P₁(Y), o`uP₁∈C[Y]/.

On a alors P(1, a) = (1−1)Q+P₁(a) =P₁(a). Il en r´esulte que P(1, a) = 0 pour tout a∈C si et seulement siP1 = 0, c’est `a dire si et seulement siP ∈(X−1)C[X, Y].

Exercice 5.6 Soient a, b∈ C, avec a 6=b. Montrez que tout polynˆome P ∈ C[X] peut s’´ecrire comme combinaison lin´eaire d’un polynˆome ayantapour racine et d’un polynˆome ayant b pour racine.

On a ´evidemment 1 = (X−a)/(b−a)−(X−b)/(b−a), donc P =P(X−a)/(b−a)−P(X−b)/(b−a).

D´efinition 5.7 Un anneau quotient d’un anneau de polynˆomes sur anneauA est appel´e A-alg`ebre de type fini.

SoientAun anneau,A[X₁, ..., X_k] un anneau de polynˆomes etIun id´eal deA[X₁, ..., X_k].

L’anneau quotient A[X1, ..., Xk]/I est donc une A-alg`ebre de type fini. La classe cl(Xi) de Xi dans A[X1, ..., X_k]/I est souvent not´ee xi et on ´ecrit alors A[X1, ..., X_k]/I = A[x₁, ..., x_k]. Les ´el´ements de A[x₁, ..., x_k] sont donc de la forme P(x₁, ..., x_k), avec P ∈ A[X1, ..., Xk]. L’homomorphisme surjectifA[X1, ..., Xk]→A[x1, ..., xk] est l’homomorphisme d’´evaluation.

Exemple 5.8 C est une R-alg`ebre de type fini.

En effet, l’homomorphisme f : R[X] → C d´efini par f(P) = P(i) est surjectif; son noyau est l’id´eal (X²+ 1). On a donc un isomorphisme R[X]/(X²+ 1)'C, d’apr`es le th´eor`eme de factorisation pour les homomorphismes d’anneaux.

Remarque 5.9 Une alg`ebre de type fini sur un anneau noeth´erien est un anneau noeth´erien;

en particulier une alg`ebre de type fini sur un corps est un anneau noeth´erien.

C’est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme de Hilbert.

6 Anneaux de fractions d’un anneau int` egre

Vous savez que dans Q on a n/m = a/b si et seulement si nb = am. C’est ´evident mais il n’est pas inutile de le rappeler. Donc on pourrait d´efinir Q comme l’ensemble quotient de l’ensemble des couples (n, m)∈Z, avec m6= 0, par la relation d’´equivalence (n, m)∼(a, b)⇔nb=am.

Plus g´en´eralement, soit A un anneau int`egre. On consid`ere l’ensemble des couples (a, s), avec a, s ∈ A et s 6= 0 et son quotient par la relation d’´equivalence (a, s) ∼ (a⁰, s⁰) ⇔as⁰ =a⁰s; on notea/s la classe d’´equivalence de (a, s) et K(A) l’ensemble de ces classes. On d´emontre facilement (faites le!) l’´enonc´e suivant.

Proposition 6.1 Soit A un anneau int`egre. L’ensemble K(A) muni des lois (a/s) + (b/t) = (at+bs)/st et(a/s)(b/t) =ab/st

est un corps.

L’applicationA→K(A)d´efinie para→a/1est un homomorphisme injectif d’anneau qui identifie A `a un sous-anneau du corps K(A).

Noter que a/1 =as/s pour touts6= 0.

Remarque 6.2 Si un sous-corps deK(A)contientAc’est K(A) tout entier; autrement ditK(A) est le plus petit corps contenant A.

D´efinition 6.3 K(A) est le corps des fractions deA.

Il est tout `a fait important de comprendre que pour un anneau int`egreAquelconque une fraction a/b n’a pas, comme dans Q, une forme simplifi´ee naturelle. L’existence d’une forme simplifi´ee pour une fraction deQ se d´eduit de l’existence et de l’unicit´e de la d´ecomposition en facteur premier.

SiA est un anneau principal, on peut simplifier une fraction (non nulle) et la repre- senter para/bo`u aetbsont premiers entre eux

On voit donc un anneau int`egreAcomme un sous-anneau de son corps des fractions.

Parmi les sous-anneau de K(A) contenant A on est particuli`erement interess´e par ceux correspondant `a une famille autoris´ee de d´enominateurs.

D´efinition 6.4 Une partie S de A est dit multiplicativement stable si 1 ∈ S et s, t ∈ S⇒st∈S.

Remarquer que si P est un id´eal premier, alorsA− P (la partie compl´ementaire de P dansA) est multiplicativement stable.

Proposition 6.5 Le sous-ensemble deK(A) form´e des fractions ayant un repr´esentant dont le d´enominateur est dans S est un sous-anneau deK(A) contenant A. On note cet anneauS⁻¹A.

C’est tout `a fait clair: a/s+b/t = (at+bs)/st et (a/s)(b/t) = at/bs; de plus 0/1∈S⁻¹A. et 1/1∈S⁻¹A.

Remarque 6.6 La partie T =A− {0} est multiplicativement stable (carA est int`egre) et T⁻¹A=K(A).

D´efinition 6.7 Si P est un id´eal premier et S = A− P. On note souvent AP au lieu de S⁻¹A.

Si s∈Aest un ´el´ement non nul et siS ={sⁿ, n≥O}, on noteA_s au lieu deS⁻¹A.

Th´eor`eme 6.8 SoitAun anneau int`egre. On aA=T

MAM, l’intersection ´etant prise sur l’ensemble des id´eaux maximaux.

Notez bien qu’il s’agit d’une intersection de sous-anneaux du corps des fractiions K(A) de A.

Soit f ∈T

MAM. Il est clair que l’ensembleA :f ={s∈A :sf ∈A} est un id´eal deA. SoitMun id´eal maximal de A. Commef ∈AM, il existes /∈ Mtel quef =a/s, donc sf =a ∈ A. Ceci montre que A :f n’est pas contenu dans M, doncA : f n’est contenu dans aucun id´eal maximal. Il en r´esulteA:f =A, doncf ∈A.

Exercice 6.9 Soient s₁, ..., s_k ∈ A des ´el´ements tels que (s₁, ..., s_k) = A (c’est `a dire tels qu’il existe un d´ecomposition1 =P

a_is_i).

Montrez que A=∩_iAsi.

Si x ∈ ∩_iAsi, il existe pour tout i une repr´esentation x = xi/sⁿ_iⁱ (avec ni ≥ 0. Il en r´esulte que sⁿ_iⁱ ∈ A : x ={b ∈A tel que bx ∈ A}. Mais par hypoth`ese, il n’existe pas d’id´eal maximal qui contiennes_i pour tout i. En cons´equence, il n’existe pas d’id´eal maximal qui contienne sⁿ_iⁱ pour out i. On en d´eduit que l’id´eal A : x est impropre.

Autrement dit, on ax= 1x∈A.

Th´eor`eme 6.10 Soit A un anneau int`egre et S une partie multiplicativement stable de A. Si A est noeth´erien, alors S⁻¹A aussi.

Soit J un id´eal de S⁻¹A. Montrons que J est de type fini. Soit I ⊂A l’ensemble des ´el´ements a ∈ A tels que a/1 ∈ J. Il est clair que I est un id´eal de A. En effet si a/1, a⁰/1∈J et b, b⁰ ∈A, on a (ba+b⁰a⁰)/1 = (ba/1) + (b⁰a⁰/1)∈J, donc ba+b⁰a⁰ ∈I. Soit alors (a1, ..., a_l) un syst`eme de g´en´erateurs de l’id´ealI. Montrons que (a1/1, ..., a<sub>l</sub>/1) est un syst`eme de g´en´erateurs deJ. Si b/s∈J, alors (s/1)(b/s) =b/1∈J, donc b∈I etb=c₁a₁+...+c_lb_l, avec c_i∈A. Il en r´esulteb/s= (c₁/s)(a₁/1) +...+ (c_l/s)(a_l/1).

Th´eor`eme 6.11 Soit A un anneau principal et S une partie multiplicativement stable de A. Alors l’anneau S⁻¹A est soit principal, soit un corps.

Reprenez la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent pour d´emontrer celui-ci.

Exercices 6.12 1) SoitAun anneau int`egre et soit06=s∈A.. Consid´erez l’homomorphisme f :A[X]→As d´efini parf(P) =P(1/s)∈As.

- Montrez que f est surjectif et que son noyau est l’id´eal (sX −1). D´eduisez en que cet id´eal est premier.

2) Soitpun nombre premier. Montrez quepZ(p)est l’unique id´eal maxima de l’anneau l’anneauZ(p)

3) Soient p1, ..., pk des nombres premiers deux `a deux distincts. Consid´erez la partie S⊂Zform´e des entiers n tels quen /∈piZ pouri= 1, ..., k.

- Montrez que S est une partie multiplicativement stable de Z.

- Montrez que les id´eaux p_iS⁻¹Z={p_ia/s, avec s∈S} sont les id´eaux maximaux de S⁻¹Z.

- Montrez que S⁻¹Z n’est pas une A-alg`ebre de type fini.

4) SoitAun anneau int`egre et soientM_i, aveci= 1, ..., kdes id´eaux maximaux deux

`

a deux distincts de A.

- Montrez que S =∩(A− M_i) est une partie multiplicativement stable de A.

- Montrez que les id´eaux M_iS⁻¹A ={a/s, avec a ∈ M_i et s ∈ S} sont les id´eaux maximaux de S⁻¹A.

Exercice 6.13 SoientA un anneau int`egre et S une partie multiplicativement stable de A.

1) Montrez que si P est un id´eal premier de A tel que P ∩S = ∅, alors PS⁻¹A = {a/s, tel quea∈ P est un id´eal premier de S⁻¹A.

2) Montrez que si P⁰ est un id´eal premier de S⁻¹A, alors P =P⁰∩A est un id´eal premier deA disjoint de S.

3) Montrez qu’on a ainsi d´efini une bijection entre les id´eaux premiers deA disjoints de S et les id´eaux premier deS⁻¹A.

7 Modules, sous-modules, homomorphismes, modules quo- tients

Dans cette sectionA est toujours un anneau commmutatif.

D´efinition 7.1 Soit M,+un groupe commmutatif. On dit que M est un A-module s’il existe une application A×M →M, o`u on note ax l’image de(a, x), telle que

1) a(x+y) =ax+ay pour a∈A etx, y∈M, 2) (a+b)x=ax+bx poura, b∈A et x∈M, 3) 1x=x eta(bx) = (ab)x poura, b∈A et x∈M,

Si l’anneau A est un corps K, on dit que M est un K-espace vectoriel.

Exemples 7.2 1) Un id´eal de A, en particulier A lui mˆeme, est un A-module.

2) SiI est un id´eal deA, alorsA/Imuni de l’op´erationacl(b) =cl(ab)(poura, b∈A, est un A-module.

3) Un Z-module est un groupe commutatif et r´eciproquement.

4) Aⁿ = A×A×....×A, muni de l’op´eration a(a1, ..., an) = (aa1, ..., aan) est un A-module.

5) SiM etN sont desA-modules, alorsM×N, muni de l’op´erationa(x, y) = (ax, ay) poura∈A, x∈M et y∈N, est un A-module.

6) Soit f : A → B un homomorphisme d”anneaux. Alors B, muni de l’op´eration ab=f(a)b pour a∈A et b∈B, est un A-module.

D´efinition 7.3 Soit M un A-module. Un sous-groupe N de M tel que ax ∈ N pour a∈A etx∈N est un sous-module de M.

Il est clair qu’ un sous-ensemble N de M est un sous-module de M si et seulement si x, y∈ N eta, b ∈A impliquent ax+by ∈ N, autrement dit si et seulement si N est stable par combinaison lin´eaire.

D´efinition 7.4 Op´erations sur les sous-modules d’un module

1) SiN et N⁰ sont deux sous-modules deM, alorsN∩N⁰⁰ est un sous-module deN, de N⁰ et de M.

2 Si (Ni)i∈I est une famille de sous-modules de M, alors ∩_i∈INi est un sous-module de M.

3) Si N etN⁰ sont deux sous-modules de M, alors N+N⁰ ={x+y, x∈N, y ∈N⁰} est un sous-module de M. C’est le plus petit sous-module deM qui contient N et N⁰.

4) Si I est un id´eal de A, alors IM = {P

a_ix_i}, pour a_i ∈ I et x_i ∈ M, est un sous-module de M.

Faites l’effort de comprendre queN∪N⁰ n’est pas en g´en´eral un sous-module deM.

D´efinition 7.5 1) Soient x1, ..., xn∈M. Les ´el´ements de la forme a1x1+a2x2+...+ a_nx_n, avec a_i ∈A, sont les combinaisons lin´eaires desx_i.

On note parfois cet ensemble Ax₁+...+Ax_n. C’est le sous-module de M engendr´e par les ´el´ements x1, ..., xn.

2) Si E ⊂M, l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’un nombre fini d’´el´ements de E est le sous-module de M engendr´e par E. C’est ´evidemment le plus petit sous-module de M contenant E.

Si cet ensemble est M, on dit que E engendre M.

Si M est engendr´e par un nombre fini d’´el´ements, on dit queM est un A-module de type fini.

3) Si(Ni)i∈I est une famille de sous-modules deM, on noteP

i∈INi le sous-module deM engendr´e par ∪_i∈IN_i. C’est ´evidemment le plus petit sous-module deM contenant tous les sous-modules Ni.

Si I ={1, ..., n}, on note aussi ce sous-module N1+N2+...+Nn. On a N₁+N₂+...+N_n={x₁+...+x_n}, avec x_i ∈N_i pour tout i.

Remarquez que le A-moduleA est engendr´e par 1. Remarquez aussi que siI est un id´eal, alors le A-moduleA/I est engendr´e par cl(1).

Notez enfin queAⁿest engendr´e par lesn´el´ements (1,0,0, ..,0), (0,1,0, ..,0),...,(0,0, ..,0,1).

Exercice 7.6 1) Montrez que a∈A engendre A comme A-module si et seulement si a est inversible.

2) Montrez que (a₁,0, ...,0), (0, a₂,0, ...,0),...,(0, ...,0, a_n) engendrentAⁿ si et seule- ment si a_i est inversible pour tout i.

3) Montrez que cl(m) ∈ Z/nZ engendre Z/nZ comme Z-module si et seulement si (m, n) = 1.

D´efinition 7.7 SoientM etN desA-modules. Un homomorphisme de groupesf :M → N tel quef(ax) =af(x), poura∈Aet x∈M, est un homomoprhisme (une application A-lin´eaire) de A-modules.

S’il existe un homomorphisme g:N →M tel queg◦f =Id_M et f◦g=Id_N, on dit quef est un isomorphisme.

Verifiez qu’une application f de M dans N est A-lin´eaire si et seulement si f(ax+ by) =af(x) +bf(y) poura, b∈A etx, y∈M.

Vous devez aussi v´erifier (comme d’habitude) qu’un homomorphisme bijectif est un isomorphisme, autrement dit que l’application inverse (d´efinie car f est bijective) est bien un homomorphisme de N vers M.

Soient f : M → N un homomorphisme de A-modules et K = kerf. Si x ∈ K et a∈A, alorsf(ax) =af(x) = 0,doncax∈K. On a donc montrer le r´esultat suivant.

Proposition 7.8 Le noyau d’un homomorphisme de A-modules f : M → N est un sous-module de M.

On a alors la r´eciproque attendue.

Proposition 7.9 Soit N un sous-module de M. Le groupe quotient M/N a une struc- ture deA-module telle que l’application classe est un homomorphisme dont le noyau est N.

Si x, y∈M sont tels quecl(x) = cl(y)∈M/N, alors (x−y) ∈N, donc a(x−y) = ax−ay∈N et on acl(ax) =cl(ay). On peut donc d´efinir acl(x) =cl(ax). Ceci donne a M/N une structure de A-module. La relation acl(x) =cl(ax) exprime que l’application classe est lin´eaire; son noyau est ´evidemment N.

Th´eor`eme 7.10 Th´eor`eme de factorisation

Soit f :M →N un homomorphisme de A-modules. Alors f(M) est un sous-module de N et K =kerf un sous-module de M.

Il existe un unique homomorphisme f¯ : M/K → f(M) tel que f = i◦ f¯◦cl o`u cl:M → M/K est l’application classe et i:f(M)→N l’injection naturelle. De plus f¯ est un isomorphisme.

Je vous laisse le soin de montrer cela sans moi!

Remarquez en particulier que sif est surjective, alors ¯f est un isomorphisme M/K 'N.

Corollaire 7.11 Soient N et N⁰ deux sous-modules d’un A-moduleM.

L’application lin´eaire compos´ee N⁰ → N⁰+N → (N⁰ +N)/N est surjective et son noyau est N∩N⁰. Elle induit un isomorphisme deA-modules

N⁰/(N⁰∩N)'(N⁰+N)/N.

Vous connaissez d´ej`a cette application du th´eor`eme de factorisation dans le cas des groupes commutatifs. CommeN⁰ →N⁰+N →(N⁰+N)/N est un homomorphisme de A-modules, toutes les applications induites sont lin´eaires, ce qui d´emontre l’´enonc´e.

Exercice 7.12 Soient I et J deux id´eaux comaximaux de l’anneau A. Montrez que I(A/J) =A/J.

8 Modules de type fini

Th´eor`eme 8.1 SoientM unA-module et N un sous-module deM. 1) Si N et M/N sont de type fini, alors M est de type fini.

2) Si M est de type fini, alors M/N est de type fini.

3) Si M est de type fini et si de plusA est noeth´erien, alors N est de type fini.

1) On suppose d’abord quex1, ..., xnengendrentN et quecl(y1), ..., cl(ym) engendrent M/N. Montrons que x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m engendrentM. Soit z∈M. Il y a dansM/N une d´ecomposition cl(z) = b₁cl(y₁) +...+b_mcl(y_m). On en d´eduit cl(z−P

b_iy_i) = 0, doncz−P

biyi ∈N et une d´ecomposition z−P

biyi =P ajxj.

2) Supposons maintenant que z₁, ...z_k engendrent M. Si z ∈ M, on a une relation z = P

c_iz_i, donc, dans M/N, une relation cl(z) = P

c_icl(z_i). Ceci montre que les

´el´ementscl(z1), ...cl(zk) engendrent M/N.

3) Supposons maintenant que A est noeth´erien et montrons que N est de type fini.

Faisons une r´ecurrence sur le nombre de g´en´erateurskdeM. Sik= 1, alors l’application f :A→ M d´efinie parf(a) =az₁ est surjective; l’image inverse de N est un id´eal I de Atel que f(I) =N. Comme I est de type fini, N aussi d’apr`es 2).

Pour k >1, consid´erons le sous-module M⁰ de M engendr´e par z₁, ...zk−1. Remar- quons d’abord queN∩M⁰ est de type fini par hypoth`ese de r´ecurrence. Notons ensuite que N ∩M<sup>0</sup> est le noyau de l’application lin´eaire compos´ee N ⊂ M → M/M<sup>0</sup>. Par le th´eor`eme de factorisation, on en d´eduit queN/(N∩M⁰) est isomorphe `a un sous-module deM/M<sup>0</sup>, donc queN/(N ∩M<sup>0</sup>) est de type fini (hypoth`ese de r´ecurrence). On conclut alors avec 1).

Corollaire 8.2 Soient M un A-module et 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mn = M une suite croissante de sous-modules.

1) Si Mi+1/Mi est de type fini pour tout i, alors M est de type fini.

2) R´eciproquement, siA est noeth´erien etM de type fini, alorsMi+1/Mi est de type fini pour touti≥0.

Pour 1), on fait une r´ecurrence sur n, le r´esultat ´etant d´eja d´emontr´e pour n ≤ 2.

Par hypoth`ese de r´ecurrenceMn−1 est de type fini. MaisMn/Mn−1 est de type fini, donc M =M_n aussi.

Pour 2), M_i etM_i+1 sont de type fini pouri≥0 , doncM_i+1/M_i aussi.

Exercice 8.3 SoitM un A-module.

Montrez queM est de type fini si et seulement s’il existe une suite croissante de sous- modules(0) =M₀⊂M₁ ⊂...⊂M_n=M et des id´eauxI_i deAtels queM_i+1/M_i 'A/I_i pouri≥0.

Remarquons d’abord que Mi+1/Mi 'A/I_i, il est ´evident que Mi+1/Mi est de type fini. Appliquant le corrollaire pr´ec´edent, on en d´eduit queM est de type fini.

R´eciproquement, supposonsM de type fini. SoitM =Ax1+...+Axn. PosonsM0 = (0) etMi =Ax1+...+Axi pour i≥1. Consid´erons l’application cli =Mi →Mi/Mi−1

pour i > 0. Il est clair que M_i/Mi−1 = Acl_i(x_i) car cl_i(x_j) = 0 pour j < i. Donc Mi/Mi−1 est un module monog`ene (engendr´e par 1 ´el´ement). Il reste `a remarquer que si Az=N est un module monog`ene, l’homorphisme surjectif A→Az, d´efini par a→ az, a pour noyau l’id´eal I = {a tel que az = 0} (c’est l’id´eal l’annulateur de z) et que le th´eor`eme de factorisation induit un isomorphisme A/I 'Az.

Exercice 8.4 Donnez un exemple d’un anneau noeth´erien A et d’un A-module M en- gendr´e par un ´el´ement tel qu’il existe un sous-moduleN deM qui n’est pas engendr´e par 1´el´ement.

PrenezA=C[X, Y] =M etN = (X, Y) =AX+AY. Il est clair queAest monog`ene commeA-module et que l’id´eal (X, Y) ne peut pas ˆetre engendr´e par un seul ´el´ement.

Cela doit vous faire r´efl´echir! En effet vous savez que si E est un K-espace vectoriel engendr´e par n´el´ements, il est de dimension≤n, donc tout sous-espace vectoriel est de dimension≤net peut donc ˆetre en engendr´e parn´el´ements. Ce n’est plus vrai pour les modules sur un anneau. A m´editer.

9 Produits, sommes directes, modules libres

Consid´erons une famille (´eventuellement infinie) (M_i)i∈I deA-modules.

Le produit P =Q

i∈IMi, dont les ´el´ements sont les (xi)i∈I, xi ∈Mi, a une srtucture

´evidente deA-modules, d´efinie par a(xi)i+b(yi)i = (axi+byi)i, pour tousa, b∈A.

Il y a pour tout j une projection p_j : P → M_j d´efinie par p_j((x_i)_i) = x_j. Cette projection est clairement un homomorphisme deA-modules.

Proposition 9.1 Soit N un A-module et pour tout i soit f_i : N → M_i un homomor- phisme. Il existe un unique homomorphisme

f :N →Y

i∈I

M_i tel quef_i =p_i◦f pour tout i∈I.

On posef(x) = (f_i(x))_i. Il est clair quef_i =p_i◦f. Si d’autre partg:N →Q

i∈IM_i est un homomorphisme tel que f_i = p_i◦f, on a n´ecessairement g(x) = (f_i(x))_i, donc g=f.

D´efinition 9.2 La somme directe⊕_i∈IMi est le sous-ensemble de P =Q

iMi form´e des

´el´ements (xi)i, xi ∈Mi tels quexi= 0 sauf pour un nombre fini de i.

Il est clair que la SOMME DIRECTE L

i∈IMi est un SOUS-MODULE DU PRO- DUIT Q

i∈IM_i.

En effet, si x_i =y_i = 0 sauf pour un nombre fini de i, alors ax_i+by_i = 0 sauf pour un nombre fini dei, pour tousa, b∈A.

Il est tout aussi clair que si I est fini, par exemple siI ={1, ..., n}, alors

n

M

i=1

Mi=

n

Y

i=1

Mi

Il y a pour tout j une inclusion ´evidente aj :Mj → ⊕_iMi.

Proposition 9.3 Soit N un A-module et pour tout j soit fj :Mj → N un homomor- phisme Il existe un unique homomorphisme

f :⊕_iMi→N tel que fj =f◦aj pour tout j.

On pose f((xi)i) = P

fi(xi). Remarquer que ceci a un sens car fi(xi) = 0 sauf pour un nombre fini d’´el´ements, autrement dit la somme est finie.. On a ´evidemment f_j =f ◦a_j pour toutj. Je vous laisse le soin de v´erifier l’unicit´e.

Proposition 9.4 Soient M un A-module et (M_i)_i une famille de sous-modules de M.

Soit s:⊕_iM_i→M l’application naturelles((x_i)) =P

ix_i. 1) s est surjective si et seulement siP

iMi =M. 2) s est injective si et seulement siM_i∩P

j6=iM_j ={0} pour tout i.

Si s est surjective et injective on dit que M est la somme directe des sous-modules Mi.