LM372 Math´ematiques 2013
Examen - Premi`ere session
Dur´ee : 2h00.
Les documents, calculatrices, t´el´ephones portables, etc, sont interdits. Il sera parti- culi`erement tenu compte de la r´edaction.
Exercice 1 (Question de cours).— Rappeler la d´efinition d’un anneau int`egre, et celle d’un anneau principal.
Exercice 2.— Soit A un anneau commutatif et soit I un id´eal de A de carr´e nul. Soit a un ´el´ement de A tel que a2 ≡a mod. I .
a) D´emontrer que 2a−1 est un ´el´ement inversible de A .
b) D´emontrer qu’il existe un ´el´ement e de A et un seul tel que e2 =e et e≡amod. I .
Exercice 3.— Notons A l’ensemble des nombres complexes de la forme a+ib√
5 , o`u a et b sont des entiers relatifs.
a) D´emontrer que A est un sous-anneau de C. b) Quelles sont les ´el´ements inversibles de A ?
c) D´emontrer que 2 est un ´el´ement irr´eductible de A . d) D´emontrer que, dans l’anneau A , 2 ne divise ni 1 +i√
5 , ni 1−i√
5 , mais divise leur produit.
e) En d´eduire que l’anneau A n’est pas principal.
Exercice 4.— Notons M le Z-module Z3 et L le sous-module de M engendr´e par les vecteurs (10,−15,5) , (−3,0,−6) , (2,−6,−2) .
a) Quel est le rang du Z-module L ? En donner une base.
b) Trouver une base de M adapt´ee `a L . c) Quelle est la structure du groupe M/L ?
Exercice 5.— Soient E un espace vectoriel de dimension 5 sur C et u, v, w des endomorphismes de E . D´eterminer leurs facteurs invariants possibles, sachant que :
a) Le polynˆome caract´eristique de u est X2(X−1)3. b) Le polynˆome minimal de v est X2(X−1) .
c) Les valeurs propres de w sont 0 et 1 , et les sous-espaces propres associ´es sont de dimension 2 et 1 respectivement.
Quelles sont (`a similitude pr`es) les matrices de Jordan possibles pour u ?
