Exercice 1. Soit A un anneau. Soit L un A-module, on pose L

Modules sur les anneaux principaux et formes bilin´ eaires

(Les exercices 3, 4, 5, 6, 7 et 9 sont des exercices sur ce th`eme, les exercices 1 et 2 sont essentiellement des exercices sur la notion de module libre de dimension finie sur un anneau arbitraire, l’exercice 8 est un exercice tr`es ´el´ementaire concernant les fractions rationnelles.)

Exercice 1. Soit A un anneau. Soit L un A-module, on pose L

= Hom

(L, A) (comme dans la cas o` u A est un corps, L

s’appelle le dual de L).

1) Montrer que si le A-module L est libre de dimension n alors il en est de mˆ eme du A-module L

. Montrer plus pr´ ecis´ ement que si {e

, e

, . . . , e

} est une base de L alors {e

, e

, . . . , e

} est une base de L

, e

, e

, . . . , e

d´ esignant les ´ el´ ements de L

d´ efinis par

e

(e

) =

(

1 si j = i 0 sinon.

(Comme dans le cas o` u A est un corps, {e

, e

, . . . , e

} s’appelle la base duale de la base {e

, e

, . . . , e

}.)

Soit b : L× L → A une application A-bilin´ eaire. On note respectivement δ

et γ

les applications A-lin´ eaires de L dans L

d´ efinies par (δ

(x))(y) = b(x, y) et (γ

(y))(x) = b(x, y) .

2) On suppose que L est libre de base {e

, e

, . . . , e

}. Quelles sont les ma- trices des applications A-lin´ eaires δ

et γ

dans les bases {e

, e

, . . . , e

} et {e

, e

, . . . , e

} ? Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) δ

est un isomorphisme de A-modules ;

(ii) γ

est un isomorphisme de A-modules ;

(iii) le d´ eterminant de la matrice [b(e

, e

)] (carr´ ee d’ordre n) est un ´ el´ ement inversible de A .

Comme dans le cas o` u A est un corps, on dit que b est non-d´ eg´ en´ er´ ee si la

condition (i) est v´ erifi´ ee.

Exercice 2. Soit A un anneau. Soient M et M

deux A-modules ; soit b : M × M

→ A une application A-bilin´ eaire.

Soit n ≥ 1 un entier ; soient e

, e

, . . . , e

des ´ el´ ements de M et e

, e

, . . . , e

de M

. On note respectivement L et L

les sous-modules de M et M

en- gendr´ es par e

, e

, . . . , e

et e

, e

, . . . , e

.

On suppose que le d´ eterminant de la matrice [b(e

, e

)] (carr´ ee d’ordre n) est un ´ el´ ement inversible de A.

1) Montrer que les A-modules L et L

sont libres de dimension n.

2) On note L

le sous-module de M constitu´ e des ´ el´ ements x v´ erifiant b(x, x

) = 0 pour tout ´ el´ ement x

de L

(on dit que L

est l’orthogonal de L

, par rapport ` a b). Montrer que l’on a :

M = L ⊕ L

.

Exercice 3. Soient L un Z -module libre de dimension n et b : L × L → R une application Z -bilin´ eaire.

1) Soit {e

, e

, . . . , e

} une base de L ; montrer que le d´ eterminant de la matrice [b(e

, e

)] (carr´ ee d’ordre n) est ind´ ependant du choix de cette base.

On le note D(L, b).

2) On suppose que L est somme directe de deux sous-modules M et N orthogonaux par rapport ` a b (c’est-` a-dire que l’on a b(x, y) = 0 pour tout x dans M et tout y dans N ). Montrer que l’on a :

D(L, b) = D(M, b

) D(N, b

) b

d´ esignant la restriction de b ` a un sous-module.

3) Soit L

un sous-module de L tel que le quotient L/L

est fini. On note [L : L

] le cardinal de L/L

; montrer que l’on a :

D(L

, b

) = [L : L

]

D(L, b) .

Exercice 4. Soit L un Z -module libre de dimension n (non nulle) ; soit b : L × L → R une application Z -bilin´ eaire sym´ etrique. On pose :

m(L, b) = inf

x∈L−{0}

|b(x, x)| .

L’objet de cet exercice est de d´ emontrer l’in´ egalit´ e d’Hermite :

m(L, b) ≤ ( 4 3 )

n−1

2

|D(L, b)|

(la notation D(L, b) est introduite dans l’exercice 3).

On dit qu’un ´ el´ ement e de L est indivisible s’il est non nul et si l’´ egalit´ e e = ae

avec e

∈ L et a ∈ Z implique a ∈ Z

(c’est-` a-dire a = ±1).

1) Montrer que l’on a

m(L, b) = inf |b(e, e)| , e d´ ecrivant l’ensemble des ´ el´ ements indivisibles de L 2) Soit e un ´ el´ ement indivisible de L.

2.1) Montrer que le quotient L/hei, hei d´ esignant le sous-module de L en- gendr´ e par e, est un Z -module libre de dimension n − 1.

On note π : L → L/hei la surjection canonique.

2.2) Montrer qu’il existe une application Z -bilin´ eaire sym´ etrique b

: L/hei × L/hei → R ,

uniquement d´ etermin´ ee, telle que l’on a, pour tout x et tout y dans L : b

(π(x), π(y)) = b(e, e)b(x, y) − b(e, x)b(e, y) .

2.3) On suppose n ≥ 2. Montrer que l’on a :

D(L/hei, b

) = b(e, e)

D(L, b) .

[On commencera par supposer b(e, e)6= 0 (en fait cette restriction ne serait pas g´enante pour la suite de l’exercice) et on consid´erera l’application bilin´eaire sym´etrique _b(e,e)^be .]

2.4) On suppose n ≥ 2 et b(e, e) 6= 0. Soit ξ un ´ el´ ement de L/hei, montrer que l’on a :

x∈π

min

|b(e, x)| ≤ 1

2 |b(e, e)| . 2.5) On suppose n ≥ 2. Montrer que l’on a :

|b(e, e)| m(L, b) − 1

4 |b(e, e)|

≤ m(L/hei, b

) .

[Soit ξ un ´el´ement non nul de L/hei; observer que l’on a par d´efinition b(e, e)b(x, x) = be(ξ, ξ) +b(e, x)² pour toutxdansπ⁻¹(ξ). En d´eduire l’in´egalit´e

|b(e, e)| m (L, b) ≤ |b_e(ξ, ξ)|+|b(e, x)|² . Conclure `a l’aide de 2.4.]

3) V´ erifier que ce qui pr´ ec` ede conduit ` a une d´ emonstration par r´ ecurrence de l’in´ egalit´ e d’Hermite.

[Observer que l’hypoth`ese de r´ecurrence et les questions 2.3 et 2.5 impliquent l’in´egalit´e

|b(e, e)| m (L, b) ≤ (4 3)

n−2

2 |b(e, e)|ⁿ⁻²ⁿ⁻¹ D (L, b)ⁿ⁻¹¹ + 1

4|b(e, e)|² . Conclure `a l’aide de la question 1.]

Exercice 5. Soient L un Z -module libre de dimension n et b : L × L → Z une application Z -bilin´ eaire sym´ etrique. On suppose que l’on a D(L, b) = ±1 (la notation D(L, b) est introduite dans l’exercice 3) et que b est anisotrope, c’est-` a-dire que l’on a b(x, x) 6= 0 pour tout x 6= 0 dans L.

Montrer que si l’on a n ≤ 5, alors il existe une base {e

, e

, . . . , e

} de L v´ erifiant :

- b(e

, e

) = ±1 pour tout i ; - b(e

, e

) = 0 pour i 6= j .

[Utiliser l’in´egalit´e d’Hermite (Exercice 4) pour montrer qu’il existe un ´el´ement e1 de L v´erifiantb(e1, e1) =±1 puis observer que l’on aL=Ze1⊕(Ze1)^⊥et D ((Ze1)^⊥, b_|(Ze

1)^⊥) =

±1,Ze₁ d´esignant le sous-Z-module engendr´e pare₁, (Ze₁)^⊥ son orthogonal par rapport

`

a bet b_|(Ze

1)^⊥ la restriction deb `a cet orthogonal.]

Montrer que l’on a en outre :

- b(e

, e

) = b(e

, e

) = . . . = b(e

, e

) .

[Se rappeler quebest anisotrope !]

(On montre en fait que l’on peut remplacer ci-dessus n ≤ 5 par n ≤ 7 ; le r´ esultat est alors optimal, voir Exercice 6.)

Exercice 6. Soient b : Z

× Z

→ Z l’application Z -bilin´ eaire sym´ etrique d´ efinie par

b ((x

, x

, . . . , x

, x

), (y

, y

, . . . , y

, y

)) =

8

X

i=1

x

y

− x

y

et u l’´ el´ ement (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3) de Z

. 1) V´ erifier que l’on a la congruence

b(x, x) ≡ b(u, x) mod 2 pour tout x dans Z

.

2) Soit L l’orthogonal de u par rapport ` a b, c’est-` a-dire le sous- Z -module de Z

constitu´ e des ´ el´ ements x v´ erifiant b(u, x) = 0 . Montrer que les propri´ et´ es suivantes sont v´ erifi´ ees :

- Z

= Z u ⊕ L , Z u d´ esignant le sous- Z -module de Z

engendr´ e par u ;

[Observer que l’on ab(u, u) =−1.]

- L est un Z -module libre de dimension 8 ;

- D(L, b

) = 1 , b

d´ esignant la restriction de b ` a L (la notation D( , ) est introduite dans l’exercice 3) ;

- b(x, x) ≡ 0 mod 2 , pour tout x dans L ; - b(x, x) ≥ 2 , pour tout x 6= 0 dans L ;

- m(L, b

) = 2 (la notation m( , ) est introduite dans l’exercice 4).

3) On suppose que l’on a L = M ⊕ N avec M et N deux sous- Z -modules orthogonaux par rapport ` a b (ce qui signifie que l’on a b(x, y) = 0 pour tout x dans M et tout y dans N). Montrer que l’on a M = 0 ou N = 0 .

[Observer que M ou N est un Z-module libre de dimension inf´erieure ou ´egale `a 4 et utiliser l’in´egalit´e d’Hermite (Exercice 4).]

Exercice 7. Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application x 7→ |x| de K dans R v´ erifiant les axiomes suivants :

- |x| ≥ 0 pour tout x et |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 , - |xy| = |x||y| pour tout x et tout y ,

- |x + y| ≤ |x| + |y| pour tout x et tout y . Si l’axiome suivant (qui implique le pr´ ec´ edent) :

- |x + y| ≤ max(|x|, |y|) pour tout x et tout y

est v´ erifi´ ee on dit que la valeur absolue est non-archim´ edienne.

1) Soit x 7→ |x| une valeur absolue sur K. Montrer que celle-ci est non- archim´ edienne si et seulement si l’application x 7→ |x|

est encore une valeur absolue sur K pour tout nombre r´ eel ν ≥ 1.

Soient K un corps, x 7→ |x| une valeur absolue de K et A un sous-anneau de K tels que les propri´ et´ es suivantes sont v´ erifi´ ees :

- On a |a| ≥ 1 pour tout ´ el´ ement non nul a de A.

- Il existe un nombre r´ eel avec 0 < ρ < 1 tel que pour tout ´ el´ ement x de K il existe un ´ el´ ement a de A avec |x − a| ≤ ρ.

2) Montrer que l’anneau A est principal.

3) Soit a un ´ el´ ement de A, montrer que les conditions suivantes sont ´ equi- valentes :

(i) |a| = 1 ; (ii) 0 < |a| < 1

ρ ; (iii) a ∈ A

.

Soient L un A-module libre de dimension n et b : L × L → K une application A-bilin´ eaire.

4) Soit {e

,e

,. . ., e

} une base de L. Montrer que le nombre r´ eel |d´ et[b(e

, e

)]|

est ind´ ependant du choix de cette base.

On le note |D(L, b)|.

On suppose maintenant que b est sym´ etrique et on pose : m(L, b) = inf

x∈L−{0}

|b(x, x)| .

5) En reprenant la d´ emonstration, d´ ecrite dans l’exercice 4, de l’in´ egalit´ e d’Hermite, montrer que l’on a ici :

m(L, b) ≤ ( 1 1 − ρ

)

n−1

2

|D(L, b)|

.

6) Montrer que si la valeur absolue | | est non-archim´ edienne, alors on a en fait :

m(L, b) ≤ |D(L, b)|

.

[On pourra utiliser la question 1.]

Exercice 8. Soit k un corps ; on rappelle que la notation k(T ) d´ esigne le corps des fractions rationnelles en l’ind´ etermin´ ee T .

On d´ efinit une application f 7→ |f | de k(T ) dans R de la fa¸con suivante. On se donne un nombre r´ eel q > 1. Si la fraction rationnelle f est non nulle, on

´

ecrit f =

avec A et B deux polynˆ omes non nuls de k[T ] et on pose

|f | = q

,

la notation deg( ) d´ esignant le degr´ e d’un polynˆ ome non nul ; si f est nulle, on pose |f | = 0.

Montrer que l’application f 7→ |f | est une valeur absolue non-archim´ edienne de k(T ) (cette notion est introduite dans l’exercice 7).

Exercice 9. Soit k un corps. Soit L un module libre de dimension n sur l’anneau de polynˆ omes k[T ]. Soit b : L × L → k[T ] une application k[T ]- bilin´ eaire sym´ etrique. On suppose que

- b est non-d´ eg´ en´ er´ ee (voir Exercice 1),

- b est anisotrope, c’est-` a-dire que l’on a b(x, x) 6= 0 pour tout x 6= 0 dans L (comme dans l’exercice 5).

Montrer qu’il existe alors une base {e

, e

, . . . , e

} de L v´ erifiant : - b(e

, e

) ∈ k

pour tout i ;

- b(e

, e

) = 0 pour i 6= j .

[Proc´eder comme dans l’exercice 5 en utilisant les exercices 7 et 8.]