Exercice 2 : Sous-anneau dense de R

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Exercice 1 : Groupe dont tout ´ el´ ement est son propre sym´ etrique

SoitGun groupe (dont la loi est not´ee multiplicativement). On suppose que pour toutg∈G,g²= 1 (1 est l’´el´ement neutre deG).

1Montrer queGest ab´elien.

2SoitH un sous-groupe propre deG(i.e.un sous-groupe de Gdistinct deG), eta∈G\H. Montrer queH∩aH =∅et queH∪aH est un sous-groupe deG.

3On supposeGfini. Montrer que son cardinal est une puissance de 2.

R´eciproquement, pour toutn∈N^∗, exhiber un groupeGde cardinal 2ⁿ tel que g²= 1 pour toutg∈G.

Exercice 2 : Sous-anneau dense de R

1Montrer qu’un sous-groupeGde (R,+) tel que inf(G∩R^∗+) = 0 est dense dansR.

2SoitAun sous-anneau de R. Montrer queA est dense dansRsi et seulement siA∩]0,1[6=∅.